第三章 函数 综合（同步）-高中数学人教B版（2019）必修第一册

第三章函数

一、单选题

/、[1,xeQ,/、

i.狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数：若/(》)=八A；则称y=/a)为狄

[U,XG

利克雷函数.给出以下四个命题：

①对任意xeR,都有〃〃x))=l;

②对任意为、WeR,都有|/怠)—/(动归1；

③对任意王、X26R,都有/(百+*2)=/(毛)；

④对任意xeR,者K有/(x)+f(-x)=。.

其中，真命题的序号是()

A.①@B.①②C.②④D.③④

2.已知函数/(x)=x-〃?6+5,当时，〃x)>l恒成立，则实数〃?的取值范围为

()

A.1-8,5B.(3,5)C.(3,4)D.(^0,5]

3.若“太2],使2dTx-1<0成立”是假命题，则实数2的取值范围是()

A.(-8,—JB.-]C.(-00,1]D.[g,+8)

4.已知不等式x-K+女>o对任意的正整数化成立,则实数x的取值范围为()

X—k+1

A.(F,-2)U(2,3)B.18,_?“2,3)

C.(f—2)|J(3,4)D.卜8；-1[U(3,4)

5.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且〃1-幻=-/(1+幻，/(0)=1,则

/(0)+/(1)+--.+/(2020)=()

A.-1B.0C.1D.2020

6.在直角坐标系中，函数y=/r(。为大于0的常数)所表示的曲线叫箕舌线.则箕舌

%+。一

线可能是下列图形中的()

7.若/(x),g(x)都是奇函数，iLF(x)=af(x)+bg(x)+2在(0,+00)上有最大值8,则F(x)

在(-8,0)上有()

A.最小值-8B.最大值-8C.最小值-6D.最小值-4

8.已知是偶函数，它在［(),”)上是增函数.若则x的取值范围是

()

A.曲)B.|焉?(10.?)C.(Qo)D.(0,1)510,网

二、多选题

9.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的

函数=:署署］，称为狄利克雷函数，则关于f(x),下列说法正确的是()

A.“X)的值域为［0,1］

B.的定义域为R

C.VxwR,/(/(x))=l

D.任意一个非零有理数T,/(x+T)=/(x)对任意xeR恒成立

10.关于函数〃x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()

A.函数/(x)在区间(1,2)上单调递增

B.函数y=的图象关于直线x=2对称

C.若公二电，但/(玉)=/(々)，则%+々=4

D.函数/(x)有且仅有两个零点

—x+2,x<1

11.已知/(幻二%,。,(常数ZwO),则()

—+k+2,x>l

、龙

A.当2>0时，在R上单调递减

B.当时，f(x)没有最小值

C.当％=-1时，f(x)的值域为(0,+8)

D.当％=-3时，>1,3x,<1,有/(%)+/(々)=0

12.下列说法正确的是()

A.若方程/+(“-3)x+a=0有一个正实根，一个负实根，则。<0

B.函数y(x)=收-1+Qi-x2是偶函数,但不是奇函数

C.若函数y(x)的值域是[―2,2J,则函数人元+1)的值域为[-3,1]

D.曲线y=|3一和直线y=a(adR)的公共点个数是相，则，"的值不可能是1

三、填空题

13.定义在义1,1)上的函数〃X)满足f(x)=g(x)-g(-x)+1,对任意的西€(-1,1),X产々，

恒有卜a)-/优)](%一w)>0，则关于X的不等式/(2x+D+/(%)>2的解集为

14.已知函数/(x)=|x+l|-|x-3],若对VxeR,不等式/(为〈机恒成立，则实数小的取值

范围是.

15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+l)=I，当xe(0,l]时，/«=2\则

f(x)

3

/(log,—)+/(2018)=.

Io

[X,X<1,

16.设函数"力=/八2,,则不等式f(l—|x|)+/(2)>0的解集为______.

+1,X>1,

四、解答题

已知函数/")=胃?是定义在(-11)上的奇函数，且/2

17.

(1)确定函数/(x)的解析式;

(2)用定义法证明/(x)在(-U)上是增函数;

(3)解关于x的不等式/(x—l)+〃x)<0.

V+h

18.已知函数y=(〃、匕为正实数)的图像是中心对称图形，求它的对称中心的坐标.

19.已知函数“力=黑巳是定义在区间(-2,2)上的奇函数，且〃1)=|.

(1)用定义证明函数f(x)在区间(-2,2)上单调递增；

(2)解不等式/(后+1)+/(2机—2)>0.

20.已知f(x)是定义在12,2]上的奇函数，且当xe[-2,0)时，/(A:)=X2-X.

(1)求函数“X)在[-2,2]上的解析式；

⑵若的-9对所有xe[-2,2],ae[T,l]恒成立,求实数机的取值范围.

21.定义在上的函数〃x）满足：对任意的x,y«-Li）,都有f（x）+〃y）=/［肃J.

（1）求证：函数”X）是奇函数；

（2）若当xe（—l,O］时，有/（力＞0,求证：在（一1,1）上是减函数；

⑶在（2）的条件下，若吗,—〃力/一20一］对所有xe一器，恒

成立，求实数，的取值范围.

22.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知

该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）

之间的函数关系可近似地表示为＞'=^X2-200X+80000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用

的化工产品价值为100元.

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴

多少元才能使该单位不亏损？

参考答案

1.B

【分析】

根据狄利克雷函数的定义，然后讨论x是有理数和无理数两种情况，进而判定各个答案.

【解析】无论X是有理数或是无理数，/(X)的值必为有理数，因此/(/(x))=l恒成立，所

以①对；

对任意内、的值只能为0或1,所以②对；

当为为无理数，々为有理数时，为+看为无理数，因此f(x+w)=O,/(电)=1,所以③错;

当X为有理数时，-X也为有理数，因此/(x)+〃-x)=2,所以④错.

故选：B.

2.C

【分析】

通过换元令t=«，函数可变为g⑺=/—〃4+5将“X)>1恒成立可转化为g⑺>1在1VY3

上恒成立.即y=r-〃?t+4,te［l,3］大于0恒成立，通过对加与区间［1,3］之间的关系讨论得

出结果.

【解析】令"五，贝岫14x49,得1叩,3］.由题意，得

g(r)=」-w+5=，-£］+54>l在［L3］上恒成立，故有①当宇1，即

心42时,函数g(f)在［1,3］上单调递增，式%“=g⑴=6-m,由6>1,得加<5,因

此〃区2.

②当1音<3,即2cm<6时，g(/)min=g(£)=5由5>1,得因此

2<m<4.

③当葭23,即加26时，函数g(。在［1,3］上单调递减，g(①n=g(3)=14-3加，由

13

14—3m>1,得加<不，与相>6矛盾.

综上，m<4.

故选：C.

3.C

【分析】

等价于Wxe口，2],4,2x-L恒成立，令/(x)=2x」，xe[l,2],求出/(幻而,，最小值即得

XX

解.

【解析】解:若“二日1,2],使得2d一尢―1<0成立，，是假命题，

即“玉e[l,2],使得2>2x-‘成立”是假命题，

X

故Vxe[l,2],〃2x-L恒成立，

X

令〃x)=2x-」，xe[l,2],所以f(x)是增函数(增函数+增函数=增函数)，

X

所以f(X)mE=〃l)=l，

・••4,1,

故选：C.

4.A

【分析】

(22

由题意转化条件得「x>k，-;3k或ix<k-3k对任意的正整数人成立，在同一直角坐标系内

[X>AC-1

作出函数)，=f—3x(xNl)与y=x-1(x21)的图象，并标出x取正整数的点，数形结合即可

得解.

【解析】不等式.一内+弘>0对任意的正整数后成立,

X-Z+1

a矛+3&>0或x-k2+3k<0

对任意的正整数k成立,

x—%+1>0x-Z+l<0

x>k2-3k_^\x<k2-3k

或V对任意的正整数人成立,

x>k-\x<k-\

在同一直角坐标系内作出函数丁=幺-3万(尤21)与丁=彳-1(工21)的图象，并标出x取正整数

的点，如图:

数形结合可知，若要使kv>1k2_3一k或x对<A?任—3k意的正整数k成立,

则xe(f,-2)U(2,3).

故选：A.

【点睛】

本题考查了分式不等式的求解及二次函数图象的应用，考查了转化化归思想与数形结合思

想，属于中档题.

5.C

【分析】

由函数的奇偶性和川-x)=-f(1+x)可得〃x)是周期为4的函数，分别求得

/⑴，〃2),〃3),进而根据函数的周期性求解即可.

【解析】由题，因为/(x)是定义在R上的偶函数，所以x)=〃x),

因为/'(1一》)=一/(1+幻,所以/(尢-1)=—/(1+工),则/(》一2)=-/(外，

所以“X-4)=-/(x-2)=/(x),所以是周期为4的函数，

因为/。)=一/。),所以/(1)=0;

因为〃2)=-〃0)=-1,/(3)=/(-1)=八1)=0,

所以〃0)+/•⑴+f(2)+/(3)=0,

所以“0)+/(1)+…+/(2020)=505[〃0)+〃1)+/(2)+〃3)]+〃0)=505X0+1=1,

故选:C

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性和对称性判断函数周期性,考查利用函数周期性求值.

6.A

【分析】

首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后根据特殊值即可判断；

【解析】解：因为丫=/("=/方定义域为R,―=故

函数y=〃X)=Y^为偶函数，图象关于y轴对称，故排除D;

X-+a~

又函数y=f在(0,+⑹上单调递增，函数y=勺%>0)在(0,+8)上单调递减，

根据复合函数的单调性可得函数/")=*了在(0,+8)上单调递减，故排除B；

当x=0时，f(0)=1^=a>0,故排除C；

0'+«'

故选：A

【点睛】

本题考查函数图象的识别，函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.

7.D

【分析】

由题意，得到/(力-2=4(力+像(同是奇函数，再结合题设条件和函数的奇偶性，即可求

解.

【解析】由题意,F(x)=>(x)+-(x)+2,可得*x)—2=/'(x)+bg(x)

函数〃x),g(x)都是奇函数，

所以b(—x)-2=4(f)+bg(-X)=-{af(x)+bg(x)]=T尸(x)-2],

所以*x)—2=4(力+像(可是奇函数，

又由F(x)在(0,+s)上有最大值8,即尸(力48,所以F(x)—246,

当XC(T»,O)时，则-xe(0,+oo),

则F(—力一246,即一[/(同一2]46,所以尸(x)—22-6,即E(x)NY,

所以当xe(y),0)时，尸(x)有最小值T.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数值及其意义，其中解答中根据函数的奇偶性的

性质，构造新函数尸(x)-2=4(x)+像(x)为奇函数是解答的关键，着重考查了推理与运算

能力，属于基础题.

8.C

【分析】

利用偶函数的性质将不等式变形为可怆可<〃1),再由函数y=/(x)在

[0,+w)上的单调性得出|也可<1,利用绝对值不等式的解法和对数函数的单调性即可求出结

果.

【解析】由于函数y=/(x)是偶函数，由/(lgx)</(—l)得/(|怆X)</(1)，

又••・函数y=/(x)在[0,长。)上是增函数，则即解得自<x<10.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，同时也涉及了对数函数单调性的应用，考查

分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

9.BCD

【分析】

根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.

(1%=为有理数

【解析】因为函数f(x)=0x=为无理数，所以/(X)的值城为｛0,1｝，故A不正确；

因为函数〃X)=0:二端无理数，所以/(X)的定义城为R，故B正确；

因为VxeR,f(x)e{0,l},所以f(/(x))=l,故C正确;

对于任意一个非零有理数T,若x是有理数，则x+T是有理数；若x是无理数，则x+T是无

理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T,都有/(x+T)=/(x)对任意xeR恒

成立，故D正确，

故选：BCD.

10.ABD

【分析】

画出函数的图像，根据图像分析判断即可

【解析】函数〃x)=|ln|2-刈的图像如图所示：

由图可得：函数/(X)在区间(1,2)上单调递增，故A正确；

函数y=/(x)的图像关于直线x=2对称，故B正确；

若入尸々，但/(芭)=/(々)，则当％>2,々>2时，%,+x2>4,故C错误；

函数/(x)的图像与x轴有且仅有两个交点，故D正确.

关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查函数的性质的应用，解题的关键是画出

函数图像，根据图像求解即可,，考查数形结合的思想，属于中档题

11.BD

【分析】

根据不同的左值，研究函数的单调性、最值与值域等，从而可判断各选项.

【解析】％>0时，-1+2=1,彳+/+2=2&+2,2k+2>\,f(x)在R上不是减函数，A错;

由上面讨论知Q0时，〃x)在［1,+8)上是减函数，无最小值.而x<l时/(x)=-x+2递减,

也无最小值，因此/(x)无最小值,

当时，x>l,f(x)——F&+2是增函数，/⑴=2左+2,但2%+2>1,不是/(X)的

zx

最小值，

综上，f(x)无最小值，B正确；

4=一1时，x<l,/(X)=-X+2G(1,+OO),

xNl时，f(x)=-」-l+2=-L+l是增函数，/(1)=0,/(%)=--!-+16[0,1),

XXX

・・・/(X)的值域是[O,l)u(L”),C错；

女=-3时.，xNl时，/(x)=---le[-4,-l),而x<l时，/(%)=-%+2e(l,+oo),

x

(1,4]£(1,4W),因此％21,3X2<1,使得/(西)+/(々)=0.D正确.

故选：BD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查分段函数的单调性与值域，解题关键中根据上的不同取值，确定函数

的单调性，由单调性确定函数的值域.从而判断各选项.

12.AD

【分析】

对A,结合韦达定理判断；对B,先判断定义域，再结合奇偶函数定义判断；对C,结合函

数平移特点可判断错误；对D,画出/(》)=|3-丹的图像，采用数形结合方法判断即可

【解析】设方程/+(a—3)x+a=0的两根分别为xi,X2,则xrX2=a<0,故A正确；

函数加+Jl-f的定义域为，:；-?则*=±1,.\/U)=0,所以函数兀t)既是奇

1-x>0,

函数又是偶函数，故B不正确；

函数7U+1)代表函数/(可向左平移一个单位，故人x+1)的值域与函数人的的值域相同，故

C不正确；

曲线y=|3一灯的图像如图，由图知曲线y=|3—和直线y=“的公共点个数可能是2,3或

4,故D正确.

故选：AD

【点睛】

关键点睛：本题考查一元二次方程根与系数的关系，奇偶函数的判断，函数图像的平移与值

域的判断，数形结合法判断交点问题，综合性强，解题关键在于：

(1)学会应用韦达定理处理两根之和与两根之积对应的系数问题；

(2)奇偶函数的判断，一定要先判断定义域，再根据〃-x)与“X)关系判断即可；

(3)当函数图像发生左右平移时，函数值域不变；

(4)数形结合法常用于处理两函数图像交点个数判断问题.

13.(季)

【分析】

设/i(x)=/(x)-l=g(x)-g(-x),由已知不等式得函数f(x)是增函数，即得〃(X)是增函数，

又由函数表达式得函数为奇函数，不等式转化为〃(X)的函数不等式，利用奇偶性变形，再

由单调性可解.

【解析】设〃(x)=f(x)-l=g(x)-g(-x),

因为对任意的西,々€(-l，l)，x产々，恒有[/(为)-f(w)](x_7)>0,

所以函数fM在以1,1)上为增函数,则h(x)在(-1,1)上为增函数,

又〃(-x)=g(-x)-g(x),而〃(x)=g(x)-g(-x),所以/z(x)+M-x)=O,

所以力(x)为奇函数，综上，4(X)为奇函数，且在(-1,1)上为增函数,

所以不等式/(2x+1)+/(X)>2等价于f(2x+1)-1+/(x)-1>0,

即h(2x+l)+h(x)>0,亦即h(2x+1)>-h(x)=h(-x),

—1<2x+1<1,

可得一1<X<1,,解得-Q<X<。.

2x+l>-x,

故答案为：

14.［4,+<»)

【分析】

去绝对值将f(x)转化为分段函数，求出其最大值，帆即可.

【解析】因为VxeR,不等式恒成立，则机2/。)皿,

-x-l-(3-x),x<-1-4,x<-l

/(x)=|x+l|-|x-3|=",x+l-(3-x),-l<x<3=<2x—2,—1<x<3,

x+l-(x-3),x>34,x>3

作出函数/(x)的图象如图:

所以机24,

所以实数”?的取值范围是［4,+8),

故答案为：［4,+00)

5L

6

【分析】

依题意首先求出函数的周期，再结合周期及相关条件分别求得了(log,和“2018),进而

可得到结果.

【解析】函数/(©满足：/(》+1)=7L，

可得：对VxwR,都有〃x+2)=Uy=/(x),

71/.函数/(x)的周期T=2.

总=〃1叫3-4)"(1暇3)=温其=普=|,

由〃°)=赤=3得f(2018)=f(0)=g,

••・{log高+/(2018)=|+>].

-7

故答案为：—■

0

【点睛】

结论点睛：定义在R上的函数/*),若存在非零常数。，使得对X/xeR,都有/(》+幻=7二,

f(x)

则函数f(x)的周期T=2a.

16.(-3,3)

【分析】

根据分段函数的单调性，把问题中的函数值大小比较转化为自变量大小比较，从而求得解集.

【解析】由函数解析式知f(x)在R上单调递增，且-/(2)=-2=/(-2),

则/(1-W)+〃2)>0n/(1-|动>-/(2)=/(-2),

由单调性知1-国>-2,解得xe(-3,3)

故答案为：(-3,3)

【点睛】

关键点点睛：找到函数单调性，将函数值大小比较转化为自变量大小比较即可.

17.

⑴/(%)=—^-7

1+X

(2)证明见解析

⑶(0.1)

【分析】

(1)由f(O)=O,求得匕=0,再根据/(》=],求得。的值，即可求得函数的解析式.

(2)根据函数单调性的定义和判定方法，即可证得函数f(x)在区间(-1』)上是增函数.

(3)把不等式f(x—l)+f(x)<0转化为f(x—l)=〃T),列出不等式组，即可求解.

(1)

(1)由题意，函数〃力=学岑是定义在(7,1)上的奇函数，

可得40)=0,即〃x)=b=0,可得6=0,即〃到=恐，

\_a

又由可得上「=叁，解得a=l,所以/(》)=三，

⑶51+(%51+x2

经验证，此时满足/(-x)=—/(x),所以函数/(x)为奇函数.

所以函数/(x)的解析式为/(力=品，

(2)

解：设内,%€(-1,1)且玉<多，

则/(苍)-"々)=X,W=(王一%2)(1一中2)

1+工；1+考(1+内2)(1+《)，

2

因为历,王W(—LD且看</，可得％-占<0A-X]X2>0,1+%(>0,l+Xj>0,

所以即/(x)</(w)，

所以函数/(X)在区间(T1)上是增函数.

(3)

(3)因为函数是定义在(T1)上的奇函数,

则不等式/(x-l)+F(x)<0可化为/(X-1)=-/(X)=F(T),

又因为函数/(X)在区间(-1,1)上是增函数,

x-\<-x

可得,解得0<x<；,即不等式的解集为(0,；)

18.对称中心的坐标为

【分析】

设函数＞=£幼(〃、〃为正实数)的图像的对称中心为C(机,〃)，进而根据定义域得

2-a

^=log2a,再根据点的对称性求解得〃=f,进而得答案.

2a

【解析】解:记“X)=号2.设函数y=学2(a、b为正实数)的图像的对称中心为c(〃7,n).

2-a2-a

*4-h

因为函数y=-^——的定义域为(T»,log2a)U(log24+co)，所以机fog?。.

2-a

(2*+b\

由题意，对于函数图像上任意一点PA;,,—,其关于点C的对称点

、z一aJ

P'\2m-,2n-——也在函数y=的图像上.

VXv2—a)2-a

所以42〃L%)=2〃-；、“+♦，即2"-；=；2,吁、“+6对任意xe(-oo,log2a)u(log2«,+<»)

恒成立.

2^+h22gg2"*。+〃

将m=k>g2a代入上式，得2〃-二把.

2^-a2?鹤

a2,

»---Fb

记1=2”,整理得2〃一^一-=p——,即(2〃〃+/?—。)，=2W2—/+"对一切，£(0,+00)恒成

-----a

2na+b-a=0iwna-b

立.所以解得〃F

Ina1-a2+ab=O'

综上所述，函数二法nb为正实数)的对称中心的坐标为(晦。，啜

19.

(1)证明见解析

(2)(72-1,1)

【分析】

(1)先求出/(X)的解析式，再利用定义法证明函数/(x)在区间(-2,2)上单调递增;

(2)利用单调性法解不等式，求出实数，”的取值范围.

(1)

为定义在区间(-2,2)上的奇函数,

/./(0)=^=0,：.b=0.

又‘⑴=WH'•5L

QY—qV-

检验：当』，时‘小)=工,八-3

.../(x)为奇函数，符合题意,

•••小)=言・

对任意的-2<X1<工2<2,

3x,3X3(%一玉)(4-办々)

/(%)--(占)=2

x；+4x；+4(片+4)(W+4)・

-2<Xj<x2<2,

/.Xj-<0,x[x2<4,/.4-x1x2>0.

又#+4>0,x?+4>0,f(石)一。(电)<0.

函数〃x)在区间(-2,2)上单调递增.

〃x)为定义在区间(-2,2)上的函数,

.—2<+1<2.

••<,,♦0<772<1.

—2<2m—2<2

V/(;n2+l)4-/(2^-2)>0,且/(x)为定义在区间(—2,2)上的奇函数,

又/(%)在区间(-2,2)上单调递增,

m2+1>2-2m,,,/??>\/2—1m<—y/2.—1•

综上，实数〃7的取值范围是

20.

x2-x,-2<x<0

(1)/(x)=<0,x=0

——x,0<xW2

(2)[-1,1]

【分析】

(1)利用奇函数的定义可得函数的解析式;

(2)由二次函数的性质可得函数/(x)的最小值，代入不等式，进而利用一次函数的性质列

不等式组，可得实数加的取值范围.

(1)

因为函数/(x)为定义域上的奇函数，所以/(0)=0,

22

当x«0,2］时，-xe［-2,0),/(-x)=(-x)-(-x)=x+x,

因为f(x)是奇函数，所以/(一x)=-/(x)=d+x,

所以”X)=-x2-X,

x2-x,-2<x<0

所以〃x)=O,x=O

-x2-x,0<x<2

作出在区间［-2,2］上的图象，如图:

可得函数〃x)在［-2,2］上为减函数，所以/(x)的最小值为"2)=-6,

要使/(无)2加2-2加-9对所有工€［-2,2］,ae［-Ll］恒成立，

即-62痴2-2a/w-9对所有“w[-l,»亘成立，

令g(a)=_2ma+，〃2-3,«e[-l,l],

^(-l)=/w2+2/n-3<0f-3