义务教育《数学课程标准》(2022年版)

《义务教育数学课程标准》

（2011年版）解读固原三中李国旗2001年颁布了《义务教育数学课程标准》（实验稿）十年后2011年底经教育部批准2012年初颁布了《义务教育数学课程标准》（2011年版）《标准》修订的原由课程良性循环发展的系统课程的确定评价与反馈课程的实施课程的研究设计第一阶段（2005年5月-2006年3月）：组建课标修订组；展开基础调研；召开研讨会确定修订原则、工作方案和具体分工第二阶段（2006年3月-2006年9月）：初稿的整理、集中或分散的征求意见第三阶段（2006年9月-2011年12月）：修订一、修订过程数学课程标准修订以《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020）》为指导，遵循《基础教育课程改革纲要》确定的基础教育课程改革的基本理念，总结新一轮课程改革实施10年来的经验，使数学课程更加完善，适应社会发展与教育改革的需要。

二.数学课程标准修订的依据

修改的基础是课程改革实施以来的实践和调查研究的结果；修改应稳步进行，使得《标准》更加准确、规范、明了、全面；增强可操作性，更适合于教材编写、教师教学、学习评价。修改组明确修改过程中要进一步处理好以下几个关系：一是关注过程和结果的关系；二是学生自主学习和教师讲授的关系；三是合情推理和演绎推理的关系；四是生活情境和知识系统性的关系。

三、《标准》修改的基本原则和思路

我国基础教育现在实行“一纲多本”的政策，“课标”的地位和重要性远远高于各出版社出版的教材。《课程标准》是国家的法定文件，应该特别重视。教师备课，应该避免“重教材，轻课标”的情况；看《课程标准》，应该避免“重内容部分，轻理念部分”的情况。四、课程标准的地位和重要性课程内容的变化：什么增了，什么减了……课程内容和要求。核心概念。义务教育阶段到底要实现什么目标。

思考数学教育的基本问题：数学是什么、为什么要学习数学、学习活动的本质…………五、学课标要学些什么一、体例与结构二、基本理念与目标三、若干核心概念四、第三学段的课程内容对《义务教育数学课程标准》

（2011年版）的认识本次修订，在保持《标准》（实验稿）基本体例不变的基础上，在结构上有以下调整。1.重新撰写“前言”2.整合三个学段的“实施建议”3.将“行为动词”和“案例”等统一放入附录一、体例与结构1.重新撰写“前言”数学的意义与价值数学教育的功能数学课程的基本理念数学课程的性质数学课程设计思路“义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性”，“义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础”，标准进一步明确了义务教育阶段数学课程在提高公民素质中的重要作用。2.整合三个学段的“实施建议”为了避免行文的重复、进一步突出义务教育阶段数学教育的完整性，《标准》（2011年版）将原来分三个学段撰写的实施建议进行了整合，三个学段统一撰写了教学建议、评价建议和教材编写建议，并增加了课程资源开发与利用建议。3．将“行为动词”和“案例”等统一放入附录描述结果目标的行为动词，包括“了解、理解、掌握、运用”等术语。描述过程目标的行为动词，包括“经历、体验、探索”等术语。案例增加了详细的说明和解答，使案例能更好地发挥对课程内容含义的阐释及对教师实施过程的指导，并对案例进行统一编号，便于查找和使用。了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。（同类词：知道、初步认识）理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。（同类词：认识、会）掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。（同类词：能）运用：综合使用自己掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。（同类词：证明）经历：在特定的数学活动中，获得一些感性的认识。（同类词：感受、尝试）体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一些经验。（同类词：体会）探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识。以三角形为例：了解的内容有：三角形的稳定性，等腰三角形的概念，直角三角形的概念，三角形重心的概念，全等三角形的对应边对应角等。理解的内容有：三角形及其内角，外角，中线，高线，角平分线等概念。全等三角形的概念，线段垂直平分线的概念等。掌物的内容有：三角形三边的关系，三角形内角和定理及其推论，三角形全等的判定方法（SAS、ASA、SSS、不证明。AAS、HL、证明）。角平分线的性质及判定、线段垂直平分线的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、等边三角形的性质及判定、直角三角形的性质及判定、勾股定理及其逆定理。运用的内容有：教材中要求证明的定理以及综合利用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决问题。1.关于数学的意义和数学教育的作用2.关于数学课程的“基本理念”3.关于数学课程目标二、基本理念与目标1．关于数学的意义和数学教育的作用(1)数学的意义

“数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类的发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学的发展中发挥着越来越大的作用，特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动者社会生产力的发展。”(2)数学教育的作用

“数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面不可替代的作用。”2．关于数学课程的“基本理念”(1)“基本理念”的意义

课程理念是关于课程的目标、内容、教与学、评价等的基本认识和观点，是统领课程的指导思想，理解它有助于教师树立正确的数学课程观，从思想观念的层面更好地把握课程标准。课程理念12345课程的核心理念课程内容学与教的活动信息技术学习评价（2）“基本理念”的内容《标准》（2011年版）的课程理念由实验稿的六个方面表述为五个方面：《标准》提出：“数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要。使得人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。”《纲要》要求：“把育人为本作为教育工作的根本要求。要关心每个学生，促进每个学生主动地、生动活泼的发展，尊重教育规律和学生身心发展规律，为每个学生提供适合的教育。”“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一。学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”3．关于数学课程目标

《标准》（2011年版）对课程目标进行了完善，在具体表述上做了修改，更加凸显了课程改革倡导的使学生经历数学学习过程、学会数学思考等。课程目标概述具体阐述知识技能数学思考问题解决情感态度学段目标第一学段第二学段第三学段总体目标课程目标的结构

通过义务教育阶段的数学学习，学生能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。总体目标基础知识基本技能“双基”基础知识基本技能基本思想基本活动经验“四基”1.培养创新型人才的需要2.实现三维目标的需要3.教育要“以人为本”的需要“四基”是一个有机的整体，是相互联系相互促进的。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体，需要花费较多的课堂时间；数学思想则是数学教学的精髓，是统领课堂教学的制高点；数学活动是不可或缺的教学形式与过程。“双基”发展为“四基”分析问题解决问题“两个能力”发现问题提出问题分析问题解决问题“四个能力”一

一.“双基”为何要发展为“四基”？

体现数学教育三维目标：知识与技能；过程与方法；情感、态度和价值观。

符合素质教育的理念，有利于培养创

新型人才。

2.获得基本的数学思想

数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索研究数学所依赖的基础，也是数学课程教学的精髓，内涵十分丰富。

不懂得数学思想方法的数学教师不是一个称职的教师。

徐利治

数学思想是对数学知识的本质的认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内容和对数学认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用带有普遍的指导意义是建立数学和用数学解决问题的指导思想。

钱佩玲主编《中学数学思想方法》

数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中。

高考考试大纲的说明

在中学教学和高考考查中，取得共识的数学思想有：函数与方程的思想，数形结合的思想，分类与整合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，有限与无限的思想，或然与必然的思想。

高考考试大纲的说明

《标准》中“数学的基本思想”主要指：

数学抽象的思想；数学推理的思想；数学模型的思想。

人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。

数学抽象的思想派生出的有：

分类的思想；集合的思想；数形结合的思想；变中有不变的思想；符号表示的思想；对称的思想；对应的思想；有限与无限的思想等。

数学推理的思想派生出的有：

归纳的思想；演绎的思想；公理化思想；转换与化归的思想；联想与类比的思想；逐步逼近的思想；代换的思想；特殊与一般的思想等。

数学模型的思想派生出的有：

简化的思想；量化的思想；函数的思想；方程的思想；优化的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。

数学方法：在用数学思想解决具体问题时，会形成程序化的操作，就构成数学方法。

数学方法具有层次性，较高层次的有：演绎推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法，等价变形的方法，分类讨论的方法等。较低层次的有分析法，综合法，穷举法，反证法，构造法，待定系数法，数学归纳法，递推法，消元法，降幂法，换元法，配方法，列表法，图象法等。

3.获得基本的活动经验

“活动经验”与“活动”密不可分，要有

“动”——手动、口动和脑动。既包括学生在课堂上学习数学时的探究性学习活动，也包括与数学课程相联系的学生实践活动；既包括生活、生产中实际进行的活动，也包括课程教学中特意设计的活动。

“活动经验”与“经验”密不可分。学生要把活动中的经历、体会总结上升为“经验”。既可以是活动当时的经验，也可以是延时反思的经验；既可以是学生自己摸索出的经验，也可以是受别人启发得出的经验；既可以是从一次活动中得到的经验，也可以是从多次活动中逐渐积累得到的经验。这些经验必须实现内化，才可以认为学生获得了“活动经验”。

数学基本活动经验是学生从数学的角度进行思考，通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。应具有主体性、实践性、发展性、多样性等特征。

学生只有积极参与数学课程的教学过程，经过独立思考，探索实践，合作交流等，才有可能积累数学活动经验。

《标准》中设置“综合与实践”的课程内容，强调以问题为载体，让学生在解决问题的实践中获得数学活动经验。

4.“四基”是一个有机的整体

“四基”不是简单的叠加与混合，而是相互联系、相互交融，相互促进的整体。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体；数学思想则是数学教学的精髓，是课堂教学的主线；数学思想的教学要以数学知识为载体，因势利导，画龙点睛，避免生硬牵强和长篇大论。数学活动是不可或缺的教学形式与过程。

（二）如何培养能力

1.体会数学的联系

2.运用数学的思维方式进行思考

3.增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力

1.体会数学的联系

数学知识之间的联系；

数学与其他学科之间的联系；

数学与生活之间的联系。

对数学知识的考查，既要全面又突出重点.注重学科的内在联系和知识的综合性，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点设计试题，使对数学知识的考查达到必要的深度.

2.运用数学的思维方式进行思考

学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终身受益。运用数学的思维方式进行思考，也称为数学的理性思维。包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，合情推理和演绎推理等等。

义务教育阶段数学课程进行的全过程，都应注意培养学生的数学思维和数学推理。其中的第一学段和第二学段，学生较多接触和学习的是合情推理，第三学段则必须加强演绎推理的教学。

合情推理包括分类、归纳、类比、联想、猜测等，它们常常是得到新结论的方法和途径，合情推理对于探索规律和发现结论不可或缺。但是，合情推理的结论可能是正确的，也可能是错误的，还需要依靠演绎推理去证明或者证否。对此，在第一学段和第二学段，可以逐渐渗透给学生知道，在第三学段则应该明确地告诉学生，让学生对此有清醒的认识。

数学课程的统计部分则有自身的思维规则，不同于演绎推理。统计是从数据出发，以归纳为主要特征，不是从公理和定义出发以演绎为主要特征。统计的结论只有“好”与“差”的区别，而不是“对”与“错”的区别。对于统计在思维方式上的这些特点应有清醒的认识，并且以恰当的方式渗透给学生。

3.增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力

“发现问题”，是经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看来没有关系的一些现象中找到数量关系或者空间形式的某些联系，或者找到数量关系或者空间形式的某些矛盾，并把这些联系或者矛盾提炼出来。“提出问题”，是在已经发现问题的基础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以问题的形态表述出来。

此次修订增加的“发现问题和提出问题的能力”，是从培养学生的创新意识和创新能力考虑的，是对创新性人才的基本要求。

为此，在数学教学中教师就要努力创设适当的情境，让学生用数学的眼光来看待和分析这些情境，采用探究式的教学方法，引导学生发现问题和提出问题。

知识技能数学思考问题解决情感态度课程目标的具体阐述课程目标的四个维度1.数与代数体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。2.图形与几何探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平面直角坐标系及其应用。3.统计与概率体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一步认识随机现象，能计算一些简单事件的概率。知识技能建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。

数学思考第一，初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。第二，经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。第三，在与他人合作和交流过程中，能较好的理解他人的思考方法和结论。第四，能针对他人所提出的问题进行反思，初步形成评价与反思意识。问题解决第一，积极参与教学活动，对数学有好奇心和求知欲。第二，感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程、有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。第三，在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。第四，敢于发表自己的想法，勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成严谨求实的科学态度。情感态度

“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，义务教育阶段的数学课程要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。”——摘自《标准》（2011年版）P5三、核心概念《标准》实验稿《标准》（2011年版）观念观念1、学生在数学学习中应该建立和培养的关于数学的感悟、观念、意识、思想、能力等，因此，可以认为，它们是学生在义务教育阶段数学课程中最应培养的数学素养，是促进学生发展的重要方面。为什么设计核心概念2、这些概念是实实在在蕴涵于具体的课程内容之中，或者与课程内容紧密结合的。从这一意义上看，核心概念往往是一类课程内容的核心或聚焦点，它有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键。并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养。3、核心概念本质上体现的是数学的基本思想。4、这些核心概念都是数学课程的目标点，也应该成为数学课堂教学的目标，并通过教师的教学予以落实。主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。数感实例一：2010年2月25日，国家统计局公布的《2009年国民经济和社会发展统计公报》显示：我国70个大中城市房屋销售价格同比上涨1.5%，其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实际状况严重不符。面对公众质疑，国家统计局召开紧急会议，讨论统计数据来源是否真实可靠？统计方法是否科学？舆论提出的一个问题是：不论统计部门统计方式是否科学，为何公众对房价的感觉与统计结果是大相径庭的呢？此例说明数感的确是存在的，它与公众的社会生活息息相关，并已成为现代社会公民所具有的基本数学素养的一部分。案例主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。符号意识老师在黑板上写出三个算式，52-32=8×2，

92-72=8×4，152-32=8×27，王华接着又写出了两个具有同样规律的算式：

112-52=8×12，152-72=8×22，请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；用文字写出反映上述算式的规律；证明这个规律的正确性。案例主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。空间观念

主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。即依托、利用图形进行思考、想象。爱因斯坦：“想象力比知识更重要，因为知识是有限的，想象力概括着世界上的一切，推动者进步，并且它是进化的源泉，严格的说，想象力是科学研究中的实在因素。”

几何直观

主要是指了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，即一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析观念1.点明了统计的核心是数据分析。数据是信息的载体，这个载体包括数、语言、信号、图像等，凡是能够承载事物信息的东西构成数据，而统计学就是通过这些载体来提取信息进行分析的科学和艺术。2.点明了数学分析观念的三个重要方面的要求：体会数据中蕴涵的信息；根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性。数据分析

主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算能力

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。演绎推理：演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。

合情推理：合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于验证结论。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理能力推理

模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。模型思想

应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。

应用意识

创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。创新意识1.课程内容结构上的变化2.第三学段具体内容的修改

三、课程内容1.课程内容结构上的变化四个领域：数与代数图形与几何统计与概率综合与实践

“数与代数”部分内容结构上没有变化:数与式

方程与不等式函数“数与代数”实验稿（空间与图形）2011年版（图形与几何）图形的认识图形与变换图形与坐标图形与证明图形的性质图形的变化图形与坐标“图形与几何”大纲（几何）图形与证明第一学段内容减少，主要是学会分类、会进行简单的数据搜集与整理的；第二学段分为“简单数据统计过程”和“随机现象发生的可能性”两部分；第三学段分为“抽样与数据分析”和“事件的概率两部分”。“统计与概率”“综合与实践”在三个学段上统一了提法。进一步明确了“综合与实践”的内涵和要求：以问题为载体以学生自主参与为主的学习活动。“综合与实践”的教学目标是帮助学生积累数学活动经验，培养学生应用意识和创新意识。2.第三学段具体内容的修改从学生发展的角度出发，重点考虑以下几方面：与前后学段的知识内容的衔接；

与学生的生活经验和未来的生活实践的联系；学生对知识内容的接受能力和水平；对学科本质以及核心思想的体现。（1）删减的一些主要内容及其分析能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断；了解有效数字的概念；能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题与梯形有关的内容：掌握梯形的概念和性质；探索并了解等腰梯形的有关性质和四边形是等腰梯形的条件；证明等腰梯形的性质定理和判定定理；探索并了解圆与圆的位置关系；关于影子、视点、视角、盲区等内容，以及对雪花曲线和莫比乌斯带等图形的欣赏等；关于镜面对称的要求；极差、频数折线图等内容（2）增加的一些内容及其分析最简二次根式和最简分式的概念；能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。会比较线段的大小，理解线段的和、差，以及线段中点的意义了解平行于同一条直线的两条直线平行会按照边长的关系和角的大小对三角形进行分类了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系尺规作图：过一点作已知直线的垂线；已知一直角边和斜边作直角三角形；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形能用计算器处理较为复杂的数据；理解平均数的意义，能计算中位数、众数；在第三学段的“数与代数”和“图形与几何”部分，分别有以“*”标注的选学内容，列举如下：*能解简单的三元一次方程组*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数*了解一元二次方程的根与系数的关系*了解平行线性质定理的证明*了解相似三角形判定定理的证明*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画圆的两条切线的长相等（3）在要求上有变化的内容此外，标准中还有一些是在知识内容的具体要求程度上的变化或要求的精细化，如原来要求的是“了解”，现在则是“理解”，等等。如实验稿中的“了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算”，修改稿阐述为“理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算”；实验稿中的“了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等，理解对顶角、余角、补角等概念”，在修改稿中的要求变化为“探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质”；实验稿:“能在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化”2011年版：“在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”、“在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系”等四句话来阐述。上述的变化，一方面是对一些知识内容在要求上的重新考虑，比如增加了探究性，另一方面是希望能够对内容的要求更加具体、明确，从而可以保证课程的实施更加顺利。公理？出发点？基本事实？关于“基本事实”实验稿2011年版（1）两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。

(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（3）两边及其夹角分别相等的两个三角形全。（4）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（5）三边分别相等的两个三角形全等。（6）两个全等三角形的对应边相等，对应角相等。（1)两点确定一条直线。（2）两点之间线段最短。(3)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(4)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（8）三边分别相等的两个三角形全等。（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。基本事实课程总目标数学核心概念数学知识与技能1、数学教学活动要注重课程目标的整体实现2、重视学生在学习活动中的主体地位3、注重学生对基础知识和基本技能的理解和掌握4、感悟数学思想，积累数学活动经验5、关注学生情感态度的发展6、合理把握“综合与实践”的实施7、教学中应当注意的几个关系实施建议（1）面向全体学生与关注学生个体差异的关系（2）“预设”与“生成”的关系