专题06 全等三角形常见五种辅助线添法专训（解析版）

专题06全等三角形常见五种辅助线添法专训【目录】辅助线添法一倍长中线法辅助线添法二截长补短法辅助线添法三旋转法辅助线添法四作平行线法辅助线添法五作垂线法【经典例题一倍长中线法】【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】【例1】（2021春·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）如图，四边形、都是正方形，是的中点，连接、．(1)当、、三点共线时，求证：，且．(2)当、、三点不共线时，（1）中的结论是否成立，并加以证明．【答案】(1)见解析(2)成立，证明见解析【分析】（1）延长交于点N，连接，通过证明，得出即点M为中点，再证明，得出为等腰直角三角形，即可求证；（2）过点E作；延长，交于点N；延长交于点P；与相交于点Q；连接；用和（1）一样的方法即可证明．【详解】（1）证明：延长交于点N，连接，∵四边形为正方形，∴，∴，∵是的中点，∴，在和中，，∴∴，∵，∴，∵四边形是正方形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴为等腰直角三角形，∵，∴，即点M为中点，∴．（2）过点E作；延长，交于点N；延长交于点P；与相交于点Q；连接；∵是的中点，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∵，∴在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴为等腰直角三角形，∵，∴，即点M为中点，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的性质和判定，解题的关键是正确画出辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形的性质进行证明．【变式训练】1．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）阅读理解：如图①，在中，若，求边上的中线的取值范围．可以用如下方法：将绕着点D逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_______；（2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，DF交于点F，连接，求证：；（3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个的角，角的两边分别交于E、F两点，连接EF，探索线段之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）；（2）见解析；（3），理由见解析【分析】（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到可得，得出，然后根据三角形的三边关系求出的取值范围，进而求得的取值范围；（2）如图②：绕着点D旋转得到可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论；（3）将绕着点C按逆时针方向旋转得到可得，得出，证出，再由证明，得出，进而证明结论．【详解】解：（1）如图①：将绕着点D逆时针旋转得到∴（），∴，,即∵是边上的中线，∴，在中，由三角形的三边关系得：，∴，即，∴；故答案为；（2）证明：如图②：绕着点D旋转得到∴（），∴，∵∴，在中，由三角形的三边关系得：，∴；（3），理由如下：如图③，将绕着点C按逆时针方向旋转∴△DCF≌△BCH，∴∴∵∴，∴点A、B、H三点共线∵，∴∴，在和中，，∴（）∴，∵∴．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查对全等三角形的性质和判定、三角形的三边关系定理、旋转的性质等知识点，通过旋转得到构造全等三角形是解答本题的关键.2（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知中，（1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________．（2）如图2，若，点E为边一点，过点C作的垂线交的延长线于点D，连接，若，求证：．（3）如图3，点D在内部，且满足，，点M在的延长线上，连交的延长线于点N，若点N为的中点，求证：．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）通过证明，即可求解；（2）过点A引交于点F，通过得到，再通过即可求解；（3）过点作交的延长线于点，，在上取一点，使得，连接，利用全等三角形的性质证明、，即可解决．【详解】证明：（1）由题意可得：在和中∴∴（2）过点A引交于点F，如下图：由题意可得：，且则又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴∴（3）证明：过点作交的延长线于点，，在上取一点，使得，连接，如下图：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2022秋·八年级课时练习）在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，．（1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：．（2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度．（3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系．【答案】（1）见解析；（2）；（3）线段、和的位置关系为，数量关系为或或【分析】（1）根据平行线的性质证得再根据，即可得到，得到．（2）延长与的延长线相交于点．证明，推出，求出的面积即可解决问题．（3）位置关系的证明比较简单，数量关系分四种情形：当直线与线段交于一点时，当直线与线段交于一点时，当直线与线段的延长线交于一点时，当直线与线段的延长线交于一点时，画出对应的图形，利用三角形和梯形的面积公式分别证明即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1，直线于点，直线于点，，，，又为边中点，，在和中，，，．（2）解：如图2，延长与的延长线相交于点，直线于点，直线于点，，，，，又为中点，，又，∴在和中，，，，，，∵，，，，，，，．（3）位置关系：，数量关系：分四种情况讨论∵直线于点．直线于点，直线于点，∴，①如图3，当直线与线段交于一点时，由（1）可知，，即，，，，∵，．②当直线与线段交于一点时，如图，延长交的延长线于点．直线于点，直线于点，，，，又为边中点，，在和中，，，．，即，，，，∵，．③如图4，当直线与线段的延长线交于一点时．由（2）得：，，，∴，即，．④当直线与线段的延长线交于一点时，如图，延长交的延长线于点．直线于点，直线于点，，，，，又为中点，，又，∴在和中，，，，，∴，即，．综上所述，线段、和的位置关系为，数量关系为或或．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，以及三角形和梯形的面积公式的应用等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形熟练运用全等三角形的判定与性质．【经典例题二截长补短法】【模型分析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系．截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段．该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）．【模型图示】（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段．例：如图，求证BE＋DC＝AD方法：①在AD上取一点F，使得AF＝BE，证DF＝DC；②在AD上取一点F，使DF＝DC，证AF＝BE（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等例：如图，求证BE＋DC＝AD方法：①延长DC至点M处，使CM＝BE，证DM＝AD；②延长DC至点M处，使DM＝AD，证CM＝BE【例2】（2023·全国·九年级专题练习）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为；（直接写出答案）(2)如图（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB、BD、DE、AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．【答案】(1)AE=AB+DE；(2)猜想：AE=AB+DE+BD，证明见解析．【分析】（1）在AE上取一点F，使AF=AB，由三角形全等的判定可证得△ACB≌△ACF，根据全等三角形的性质可得BC=FC，∠ACB=∠ACF，根据三角形全等的判定证得△CEF≌△CED，得到EF=ED，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE上取点F，使AF=AB，连接CF，在AE上取点G，使EG=ED，连接CG，根据全等三角形的判定证得△ACB≌△ACF和△ECD≌△ECG，由全等三角形的性质证得CF=CG，进而证得△CFG是等边三角形，就有FG=CG=BD，从而可证得结论．【详解】（1）AE=AB+DE；理由：在AE上取一点F，使AF=AB．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD边的中点，∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，，∴△CEF≌△CED（SAS），∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE．故答案为：AE=AB+DE；（2）猜想：AE=AB+DE+BD．证明：在AE上取点F，使AF=AB，连结CF，在AE上取点G，使EG=ED，连结CG．∵C是BD边的中点，∴CB=CD=BD．∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，，∴△ACB≌△ACF（SAS），∴CF=CB，∴∠BCA=∠FCA，同理可证：CD=CG，∴∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF．∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，∴∠FCA+∠GCE=60°，∴∠FCG=60°，∴△FGC是等边三角形，∴FG=FC=BD．∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+BD．【点睛】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022秋·全国·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图．平分，．在和中，，，，．，．．，．方法2：延长到点，使得，连接，如图．平分，．在和中，，．，．，．，，．（2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）．延长到点，使，连接，如图2所示．由（1）可知，．为等边三角形．，．，．．，为等边三角形．，．，，即．在和中，，．，，．（3），，之间的数量关系为：．（或者：，）解：连接，过点作于，如图3所示．，．．在和中，，，，．在和中，，．，，．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．2．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．【答案】（1）5.8；（2）4.3【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长；（2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．在△ACD与△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴AD＝DE，∠A＝∠DEC，∵∠A＝2∠B，∴∠DEC＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴△BDE是等腰三角形；∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6，∴BC的长为5.8；（2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，∴∠ABC＝∠C＝80°，∵BD平分∠B，∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°，在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，在△DEB和△DBC中，，∴△DEB≌△DBC（SAS），∴∠BED＝∠C＝80°，∴∠4＝60°，∴∠3＝60°，在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，同理可得△BDE≌△FDE，∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2，∵∠A＝20°，∴∠6＝20°，∴AF＝EF＝2，∵BD＝DF＝2.3，∴AD＝BD+BC＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析．【分析】（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题；（2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可．【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD为△ABC的角平分线，即，∴；∴（2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则；又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．【经典例题三旋转法】【模型分析】旋转：将包含一条短边的图形旋转，使两短边构成一条边，证与长边相等．注：旋转需要特定条件（两个图形的短边共线），该方法常在半角模型中使用．【模型图示】例：如图，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求证BM＋CN＝MN方法：旋转△ABM至△ACF处，证NE＝MN【例3】（2022秋·湖北孝感·八年级统考期中）已知：，，．(1)如图1当点在上，______．(2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的）【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可．（2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可．【详解】（1）解：，，又，，，在中，，故答案为：．（2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知：，，，（同角的余角相等），

在与中有：（），，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等．【变式训练】1．（2023春·全国·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；【详解】解：（1）证明：延长到，使得

连接

∵四边形是正方形

∴，

又∵

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴（2）证明：延长到，使得

连接

∵，

∴

又∵，

∴

∴，

∵

∴

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键．2．（2021秋·天津和平·八年级校考期中）在中，，，是过A的一条直线，于点D，于E，（1）如图（1）所示，若B，C在的异侧，易得与，的关系是____________；（2）若直线绕点A旋转到图（2）位置时，（），其余条件不变，问与，的关系如何？请予以证明；（3）若直绕点A旋转到图（3）的位置，（），问与，的关系如何？请直接写出结果，不需证明．【答案】（1）；（2），证明过程见解析；（3）【分析】（1）根据已知条件证明即可得解；（2）根据已知条件证明即可得解；（3）根据已知条件证明即可得解；【详解】（1）在和中，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，又，∴，即；故答案是：；（2）答：；证明：∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；（3）∵于D，于E，∴．∴，∵，∴．在和中，，∴（），∴，，∴；【点睛】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析证明是解题的关键．3．（2021秋·河南周口·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．（1）操作发现如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为；线段BD、AB、EB的数量关系为；（2）猜想论证当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，请你直接写出△ADE的面积．【答案】（1）AB⊥BE，AB＝BD+BE；（2）图2中BE＝AB+BD，图3中，BD＝AB+BE，证明见解析；（3）72或2【分析】（1）首先通过SAS证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质和等量代换即可得出答案；（2）仿照（1）中证明△ACD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质即可得出结论；（3）首先求出BE的长度，然后利用S△AED•AD•EB即可求解．【详解】解：（1）如图1中，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠A，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴ABE＝90°，∴AB⊥BE，∵AB＝AD+BD，AD＝BE，∴AB＝BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB＝BD+BE．（2）①如图2中，结论：BE＝AB+BD．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，AD＝BE，∴BE＝AB+BD．②如图3中，结论：BD＝AB+BE．理由：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∵BD＝AB+AD，AD＝BE，∴BD＝AB+BE．（3）如图2中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝5+7＝12，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB12×12＝72．如图3中，∵AB＝5，BD＝7，∴BE＝AD＝BD﹣AB＝7﹣5＝2，∵BE⊥AD，∴S△AED•AD•EB2×2＝2．【点睛】本题主要考查全等三角形，掌握全等三角形的判定及性质并分情况讨论是关键．【经典例题四作平行线法】【例4】（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点．求让：【答案】见详解【分析】过点D作DE∥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDE=∠MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．【详解】过点D作DE∥AC，交BC于点E，∵是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE∥AC，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC，∴是等边三角形，∴BD=DE，∵，∴DE=CE，又∵∠EMD=∠CME，∴∆EMD≅∆CME，∴．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）证明：PD＝DQ．（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3．【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可；（2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果．【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．∵AC=6，∴DE=3．

【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．2．（2022秋·八年级课时练习）读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．图(1):延长DE到F使得EF=DE图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.【答案】选择（1）（3）证明，证明见解析【分析】如图(1)延长DE到F使得EF=DE,证明△DCE≌△FBE,得到∠CDE=∠F,BF=DC,结合题干条件即可得到结论;如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F,得到△ABE≌△FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,【详解】如图(1)延长DE到F使得EF=DE在△DCE和△FBE中,∴△DCE≌△FBE（SAS)∴∠CDE=∠F,BF=DC∵∠BAE=∠CDE∴BF=AB∴AB=CD如图3,过C点作CF∥AB交DE的延长线于F在△ABE和△FCE中∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AB=FC∵∠BAE=∠CDE∴∠F=∠CDE∴CD=CF∴AB=CD【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明3．（2023春·全国·七年级专题练习）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．【答案】(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=ME．【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；（3）MD=ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；【详解】（1）解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中，∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．（2）解：成立；证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；（3）解：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，∵∠DBM=∠EFM，∠DMB=∠EMF∴△DBM∽△EFM，∴BD：EF=DM：ME，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠F=∠ABC，∴∠F=∠C，∴EF=EC，∴BD：EC=DM：ME=1：2，∴MD=ME．【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．【经典例题五作垂直法】【例5】（2022秋·湖北武汉·八年级统考期中）我们定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．(1)如图1，是中的遥望角．①直接写出与的数量关系___________；②连接AE，猜想与的数量关系，并说明理由．(2)如图2，四边形ABCD中，，点E在BD的延长线上，连CE，若已知，求证：是中的遥望角．【答案】(1)①；②，理由见解析(2)见解析【分析】（1）①运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，即、可得出；②过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，运用角平分线的性质及判定定理可证，由，可得；（2）过作交于点，过作交延长线于点，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可．【详解】（1）解：①∵平分，即，∴．∵平分，即，∴．又∵，∴．②猜想：，理由如下：如图2，过点作交延长线于点，过点作交于点，过点作交延长线于点，∵平分，，，∴，同理，，∴，∵，，∴平分，即，∵，∴．（2）证明：如图3，过作交于点，过作交延长线于点，∵，，，∴，，，∴四边形是矩形，∴，即，∵，∴，∴，∵，，∴，在与中，∵，∴，∴，∵，，∴平分，∴，即平分，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分，∵平分，∴是中的遥望角．【点睛】本题考查了角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，熟练掌握角平分线判定定理及相关性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·八年级课时练习）如图1，已知四边形ABCD，连接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延长CA到点E，使得AE＝AD，点F为AB上一点，连接FE、FD，FD交AC于点G．（1）求证：△EAF≌△DAF；（2）如图2，连接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠DCF＝45°．【分析】（1）由垂直定义可得∠CAD=∠ACB=90°，再根据题意得∠EAF=∠DAF，即可证得结论；（2）过点F作FM⊥FA交AC于点M，由“AAS”可证△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可证△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．【详解】证明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，∴∠EAF＝∠DAF，在△EAF和△DAF中，，∴△EAF≌△DAF（SAS）；（2）如图2，过点F作FM⊥FA交AC于点M，∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，∴∠FMA＝45°＝∠FAM，∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，∵EF＝FC，∴∠FEM＝∠FCA，在△AEF和△MCF中，，∴△AEF≌△MCF（AAS），∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，∵△EAF≌△DAF，∴∠EFA＝∠DFA，∴∠DFA＝∠MFC，∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∵DF＝EF＝CF，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠DCF＝45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2．（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB＝CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；【分析】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，△BEF≌△CED，∠BAE＝∠F，AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，△BEF≌△CEG△BAF≌△CDG，AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，△BAE≌△CFE（AAS），∠F＝∠EDC，CF＝CD，AB＝CD；【详解】（1）①如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接BF，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如图2，分别过点B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分别为点F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如图3，过C点作CM∥AB，交DE的延长线于点M，则∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中点，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．3．（2022秋·八年级课时练习）如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD．分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．【答案】见解析【分析】方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可；方法二：如图2中，作CF∥AB交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可．【详解】证明：方法一：如图1，作BF⊥DE交DE的延长线于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F=∠CGE=90°，在△BFE和△CGE中，，∴△BFE≌△CGE（AAS），∴BF=CG，在△ABF和△DCG中，，∴△ABF≌△DCG（AAS），∴AB=CD；方法二：如图2，作CF∥AB交DE的延长线于点F．∴∠F=∠BAE．又∵∠BAE=∠D，∴∠F=∠D，∴CF=CD，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（AAS），∴AB=CF，∴AB=CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．【重难点训练】1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，为中边上的中线．（1）求证：；（2）若，，求的取值范围．【答案】（1），（2）【分析】（1）延长至，使，连接，然后再证明，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，利用等量代换可得；（2）把，代入（1）的结论里，再解不等式即可．【详解】（1）证明：如图延长至，使，连接，∵为中边上的中线，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的对应边相等），在中，由三角形的三边关系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．①请证明△CED≌△ABD；②中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析【分析】（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可；②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得；（2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵，∴即，又∵，∴；故答案为：；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，∵BC=BN，∴AE=BN，∵∠ABM=∠NBC=90°，∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，又∵AB=BM，∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE，∵BE=BD+ED=2BD，∴MN=2BD．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．3．（2023春·全国·七年级专题练习）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接．请根据小明的方法思考：（1）如图2，由已知和作图能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如图2，长的取值范围是．A．B．

C．

D．【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图3，是的中线，交于点E，交于F，且．求证：．【答案】（1）（2）C（3）见解析【分析】（1）根据全等三角形的判定条件求解即可；（2）根据全等三角形的性质得到，由三角形三边关系得到，即可求出；（3）延长到点M，使，连接，证明，得到，由得到，进而推出，即可证明．【详解】解：（1）如图2，延长到点E，使，连接．∵为的中线，∴，又∵，∴，故答案为：；（2）解：∵，∴，在中，，∴，∴，故答案为：C；（3）证明：延长到点M，使，连接，∵是中线，∴，∵在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等腰三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．（2023·江苏·八年级假期作业）（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，∵AD是△ABC的中线，∴D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，∵M为DE中点，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可证△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此时，延长AE，交CN于T点，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．5．（2023·江苏·八年级假期作业）课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）；(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．【答案】(1)，证明见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论；（2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论；（3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论．【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则，∴，∵平分∴，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．故答案为：．（2）证明：如图3，在上截取，使，连接∵分别平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，

∴，∴，∴．（3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则，∴，∵，∴，∵，

∴，∴，∴，∴，在和中，，∴∴，即平分．【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．(1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)(2)，理由见解析【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论；（2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．（2）结论：．理由：如图2中，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，如图2中，延长到Q，使得，连接，∵，∴，∴，，∴，∴．延长到，使得，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．7．（2023·江苏·八年级假期作业）问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（直接写结论，不需证明）探索延伸：(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数量关系．【答案】(1)EF=BE+FD(2)（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明见解析；(3)结论EF=BE+FD不成立，结论是：EF=BE-FD．证明见解析．【分析】（1）延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，利用全等三角形的性质解决问题即可；（2）延长CB至M，使BM=DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS），由全等三角形的性质得出AF=AM，∠2=∠3．△AME≌△AFE（SAS），由全等三角形的性质得出EF=ME，即EF=BE+BM，则可得出结论；（3）在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．由全等三角形的性质得出∠BAG=∠DAF，AG=AF．证明△AEG≌△AEF（SAS），由全等三角形的性质得出结论．【详解】（1）解：EF=BE+FD．延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，∵∠ABE=∠ADG=∠ADC=90°，AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG．∴∠BAE+∠DAF=∠DAG+∠DAF=∠EAF=60°．∴∠GAF=∠EAF=60°．又∵AF=AF，∴△AGF≌△AEF（SAS）．∴FG=EF．∵FG=DF+DG．∴EF=BE+FD．故答案为：EF=BE+FD；（2）解：（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．证明：如图②中，延长CB至M，使BM=DF，连接AM．∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，∴∠1=∠D，在△ABM与△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS）．∴AF=AM，∠2=∠3．∵∠EAF=∠BAD，∴∠2+∠4=∠BAD=∠EAF．∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．在△AME与△AFE中，，∴△AME≌△AFE（SAS）．∴EF=ME，即EF=BE+BM，∴EF=BE+DF；（3）解：结论EF=BE+FD不成立，结论：EF=BE-FD．证明：如图③中，在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG=EF，∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF＝BE﹣FD，见解析【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论；（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；（3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答．【详解】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠2+∠4＝∠EAF，∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∴∠HAE＝∠FAE，在△HAE和△FAE中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．9．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．（1）求证：BE＝AD；（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？（请你用图2证明你的猜想）【答案】（1）证明见解析；（2）BE＝AD，理由见解析．【分析】（1）证出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出结论；（2）图2、图3、图4同样证出∠BCE＝∠ACD，根据SAS推出△BCE≌△ACD，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA+∠ECA＝∠ECD+∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD；（2）解：图2、图3、图4中，BE＝AD，以图2为例，理由如下：∵∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA－∠ECA＝∠ECD－∠ECA，∴∠BCE＝∠ACD，在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．【点睛】本题考查三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接MC．(1)求证：BE＝AD；(2)用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；(3)当时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．【答案】(1)证明见详解；(2)；(3)等腰直角三角形．【分析】（1）利用SAS证明，即可得BE=AD；（2）根据得出，再利用三角形内角和定理，即可得出的度数；（3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出CP=CQ，，然后得，进而得到结论．【详解】（1）证明：如图1，，，在和中，，，．（2）解：如图1，，，在中，，====，在中，==．（3）解：为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）得BE=AD，AD，BE的中点分别为点P、Q，，，，与中，，，，又，，，为等腰直角三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键．11．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，点D在内，，，点E在外，．(1)的度数为_______________；(2)小华说是等腰三角形，小明说是等边三角形，___________的说法更准确，并说明理由；(3)连接，若，求的长．【答案】(1)(2)小明，理由见解析(3)5【分析】（1）首先证明△DBC是等边三角形，推出∠BDC=60°，可证明△ADB≌△ADC，继而推出∠ADB=∠ADC进行计算即可；（2）小明更准确，△ABE是等边三角形．只需证明△ABD≌△EBC即可；（3）首先证明△DEC是含有30度角的直角三角形，求出EC的长，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC

，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的说法更准确，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE．∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形．（3）解：连接DE，如图所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴．∵△ABD≌△EBC，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图1，已知△ABC、△ADE都是等边三角形，点E在直线BC上，F在直线AC上，且FE＝EA，DE与AB相交于点G，连接BD、EF．（1）如图1，当点E在线段BC上时，①求证：∠BAE＝∠BDE；②求证：BD＋CF＝BC．（2）如图2，如果点E在线段BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出线段BD、CF、BC三条线段之间的数量关系．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）CF＝BC+BD，理由见解析【分析】（1）①先证明得到,得到，从而证得∠BAE＝∠BDE；②结合，得到，继而证明，得到，结合图形即可得到BD＋CF＝BC；（2）先证，得到，继而证明，得到，结合图形即可得到CF＝BC+BD；【详解】解：①∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴=DE，,∴，∴，∴，∴，∵∴∠BAE＝∠BDE②∵,∴，∵∠DBE＝∠DBA+∠ABC=60º+60º=120º,又∠ECF＝180º-∠ACB=180º-60º=120º,∴∠DBE=∠ECF∵FE＝EA∴∠EAC=∠EFA∴又，而∴∴∠EFA=∠BED又∵FE＝EA=DE∴∴,∴（2），简证如下：∵△ABC、△ADE都是等边三角形，同理可得：，得到，，由，得到，又FE＝EA，∴∠EAC=∠EFA，∴又，而，∴∠DAB＝∠BED，∴∠EFA＝∠BED，∴∴【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键．13．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．（1）如图1，若，请说明；（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）见解析；（2），见解析【分析】（1）根据题目中的条件和，可以证明，从而可以得到；（2）作辅助线，过点作，交于点，从而可以得到，然后即可得到，，再根据题目中的条件可以得到，即可得到，然后即可得到，，具有的数量关系．【详解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：过点作，交于点，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．【点睛】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．（2022秋·八年级课时练习）在中，，，点为直线上的一个动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连．（1）如图1，当点在线段上时，①与的位置关系是______；②线段、、之间的数量关系是______．（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的两个结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请写出正确的结论再给出证明．【答案】（1）①垂直；②；（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明见解析；【分析】（1）①先求证，得到，从而求得，即可求解；②根据①中的全等三角形，得到，从而求得；（2）先求证，得到，，从而求得，【详解】解：（1）∵，∴∵∴又∵，∴∴，①∴，∴②∴（2）位置关系：垂直，数量关系：，证明如下：∵，∴∴∵∴又∵，∴∴，∴∴又∵∴【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定方法及有关性质是解题的关键．15．（2023春·上海·七年级专题练习）如图，将两块含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如图①摆放，连结AC，BD．（1）如图①，猜想线段AC与BD存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2）将图①中的△COD绕点O顺时针旋转一定的角度（如图②），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD还存在（1）中的关系吗？请写出结论并说明理由．（3）将图①中的△COD绕点O逆时针旋转一定的角度（如图③），连结AC，BD，其他条件不变，线段AC与BD存在怎样的关系？请直接写出结论．【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，证明见解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【分析】（1）延长BD交AC于点E．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可证∠AED=∠BOD=90º即可；（2）延长BD交AC于点F，交AO于点G．易证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90º即可；（3）BD交AC于点H，AO于M，可证△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90º即可．【详解】（1）AC=BD，AC⊥BD，证明：延长BD交AC于点E．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90º，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，

∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90º，∴AC⊥BD；（2）存在，证明：延长BD交AC于点F，交AO于点G．∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90º，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．证明：BD交AC于点H，AO于M，∵△COD和△AOB均为等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90º，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90º，∴AC⊥BD．

．【点睛】本题考查了三角形旋转变换中对应相等的位置与数量关系，掌握三角形全等的证明方法，及其角度计算是解题关键．16．（2021秋·山东济南·八年级统考期末）[发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC．[拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．[应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或．【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论；拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系；应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD=CP=1，根据DP=BP-BD=6-1=5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，