2023年江西省九校重点高考数学五模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3,请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线C：V=4x和点0（2,0）,直线》="-2与抛物线。交于不同两点A,B,直线5。与抛物线。交于

另一点£.给出以下判断：

①以8E为直径的圆与抛物线准线相离；

②直线OB与直线OE的斜率乘积为-2；

③设过点A,B,E的圆的圆心坐标为（。,为，半径为「，则〃—产=4.

其中，所有正确判断的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.设直线/过点A（0,-l）,且与圆c：x2+y2—2y=o相切于点8,那么髭.花=（）

A.±3B.3C.6D.1

炉23

3.已知双曲线C:=-V4=l（a>0/>0）的渐近线方程为y=?2x,且其右焦点为（5,0）,则双曲线。的方程为（）

a~b~4

4.AASC中，角A,8,C的对边分别为凡戾c,若a=l,5=30。，cosC二逢!L则的面积为（）

7

A.—B.73C,V?D.—

22

22

5.抛物线1.2=6僮>0/的准线与双曲线E=/的两条渐近线所围成的三角形面积为2m，贝除的值为（）

,84

A.8B.6C.4D.2

6.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为100分,

分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（）

.▲■甲■乙

A.甲的数据分析素养优于乙B.乙的数据分析素养优于数学建模素养

C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数学运算最强

7.一小商贩准备用5()元钱在一批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出

去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚L8元.该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为

()

A.甲7件，乙3件B.甲9件，乙2件C.甲4件，乙5件D.甲2件，乙6件

8.函数/(x)=2sin(<yx+。)(。>0,0<。(心的部分图像如图所示，若AB=5,点A的坐标为(T,2),若将函数

/(x)向右平移皿m>0)个单位后函数图像关于N轴对称，则m的最小值为()

9.若2Hl>2">1,贝IJ()

1、1

A.—>-B.

mn

C.In(/n-ri')>0Dlog.ni>logxn

22

10.已知直线2mx+〃y=2(加>0,〃>0)过圆(x—l)2+(y—2)2=5的圆心，则的最小值为()

mn

A.1B.2C.3D.4

11.已知函数/(x)=ln%+ox+b的图象在点(l,a+3处的切线方程是y=3x-2,则。一〃=()

A.2B.3C.-2D.-3

\a,a>b11

12.定义={,己知函数/(X)=T；_1―,g(x)=-------,则函数/(%)=/(九)③g(x)的最小

b,a<b2-sin~x2-cos-x

值为（）

24

A.-B.1C.-D.2

33

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在AABC1中，AB=25AC=6ZBAC=9Q°,则AABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表

面积为.

ir

14.曲线y=xcosx在x=］处的切线的斜率为.

15.定义在封闭的平面区域O内任意两点的距离的最大值称为平面区域。的“直径”.已知锐角三角形的三个点A,B,

C,在半径为6的圆上，且NBAC=?,分别以AABC各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和AABC构成平

面区域O,则平面区域。的“直径”的最大值是.

X

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）△ABC的内角A、B、。所对的边长分别为以、b、c,已知QCOS8=（4C—A）COSA.

（1）求cosA的值；

uuur_

（2）若b=4,点M是线段8C的中点，AM=V10,求AABC的面积.

2+2'fx=l+cos0

18.（12分）在平面直角坐标系x0y中，已知直线/的参数方程为。为参数）和曲线C：,八

1y=sin6

y=——t

［2

为参数），以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线/和曲线。的极坐标方程；

，八万|ON|

（2）在极坐标系中，已知点M是射线（：6=a（aGfO,y］）与直线/的公共点，点N是4与曲线C的公共点，求力就

的最大值.

r22

19.(12分)在平面直角坐标系中，已知椭圆C：二+v匕=1的左顶点为A,右焦点为尸，RQ为椭圆C上两

43

点，圆0：%2+,2=/(r>0).

(D若PFJ.X轴，且满足直线AP与圆。相切，求圆。的方程；

(2)若圆。的半径为百，点P,。满足％8衣3=-\,求直线PQ被圆。截得弦长的最大值.

3

20.(12分)在锐角AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos2C=一-.

4

(1)求sinC的值；

(2)当c=2a,且。=3"时，求AABC的面积.

21.(12分)已知函数〃x)=---------.

(1)若对任意x>0,/(x)<0恒成立，求实数a的取值范围；

22

(2)若函数/(X)有两个不同的零点Xl,X2(X.<X2),证明：工+二>2.

X2Xj

22.(10分)已知/(%)=X2+2,一1|.

(1)解关于x的不等式：

(2)若外力的最小值为M,且a+"c=M(a,"ccH+),求证：++>2.

cba

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

对于①，利用抛物线的定义，利用〃="&=述"5>空3=式可判断；

222

对于②，设直线OE的方程为x=〃少+2,与抛物线联立，用坐标表示直线与直线OE的斜率乘积，即可判断;

对于③，将x=（X-2代入抛物线C的方程可得，力弘=8,从而，%=-必，利用韦达定理可得

|BE|2=16m4+48^+32,再由/=|出『+（野1）,可用m表示/,线段5E的中垂线与x轴的交点（即圆心

N）横坐标为2/r+4,可得a,即可判断.

【详解】

如图，设/为抛物线C的焦点，以线段3E为直径的圆为则圆心M为线段的中点.

设3,£到准线的距离分别为4，d2,的半径为R,点/到准线的距离为”，

显然3,E,尸三点不共线，

则4=生辿=受此叵!〉型1=R.所以①正确.

222

由题意可设直线DE的方程为x=my+2,

代入抛物线C的方程，有丁一4〃?y-8=0.

设点6,E的坐标分别为（％,X）,（工2，%），

则X+%=4根，乂％=-8.

所以=（/盯+2）（加%+2）=%+2m（y+%）+4=4.

则直线OB与直线OE的斜率乘积为＞①=-2.所以②正确.

将x=）-2代入抛物线C的方程可得，为必=8,从而，%=-%•根据抛物线的对称性可知,

A,E两点关于x轴对称，所以过点A,B,E的圆的圆心N在x轴上.

2

由上，有X+%=4加，x,+x2=4m+4,

42

则|BE『=（玉+々）~-4xtx2+（必+y2）-4乂％=16m+48m+32.

所以，线段座的中垂线与x轴的交点（即圆心N）横坐标为2m2+4,所以〃=2加2+4.

于是，/=|MN『+（1^、=，2m2+4—^^1）+[♦；%）+4机4+12m2+8,

代入玉+々=4机2+4,凹+%=4，〃，得产=4m4+16加2+12,

所以/一产=（2加2+4）--^4m4+16m2+12）=4.

所以③正确.

故选：D

【点睛】

本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.

2.B

【解析】

过点4（0,-1）的直线/与圆C：尤2+y2-2y=0相切于点8,可得送i.陇=0.因此

2222

ABAC=AB（AB+BC\=AB+ABBC=AB=AC-r>即可得出.

【详解】

由圆C：/+：/一2丁=0配方为x2+（y-i『=i,

C（0,l）,半径尸=1.

•••过点A（0,—l）的直线/与圆C：/+,2-2）,=0相切于点8,

：,ABBC=0；

：.ABAC=AB（AB+BC）=AB2+ABBC^AB2^AC2-r2=3i

故选：B.

【点睛】

本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题.

3.B

【解析】

1□22

试题分析：由题意得一=二，c2=a2+b2^25,所以a=4,6=3,所求双曲线方程为土—二=1.

a4169

考点：双曲线方程.

4.A

【解析】

先求出sinA,由正弦定理求得c,然后由面积公式计算.

【详解】

由题意sinC=J1-（一手）=理，

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=­x(—

72714

,,asinBlxsin30°rz

ab,=b=--------=-----f=—=,7

由一^=-^得sinAJ?

smAsinB

14

1,.1.[ZV210

S———cibsinC——x1xx-----=—♦

2272

故选：A.

【点睛】

本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知

求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解.

5.A

【解析】

求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值.

【详解】

22*可得两交点为刍卜净

抛物线/=ax（a＞力的准线为X双曲线C；工_E=/的两条渐近线为y=土

484

即有三角形的面积为/-9*上=2小，解得。=8,故选A.

244

【点睛】

本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题.

6.D

【解析】

根据所给的雷达图逐个选项分析即可.

【详解】

对于A,甲的数据分析素养为100分，乙的数据分析素养为80分,

故甲的数据分析素养优于乙，故A正确；

对于B,乙的数据分析素养为80分，数学建模素养为60分，

故乙的数据分析素养优于数学建模素养，故B正确；

对于C,甲的六大素养整体水平平均得分为

100+80+100+80+100+80310

---------------------------------------------•

3

80+60+80+60+60+100

乙的六大素养整体水平均得分为---,故C正确；

3

对于D,甲的六大素养中数学运算为80分，不是最强的，故D错误；

故选：D

【点睛】

本题考查了样本数据的特征、平均数的计算，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.

7.D

【解析】

由题意列出约束条件和目标函数，数形结合即可解决.

【详解】

'4x+7yW50,

设购买甲、乙两种商品的件数应分别x,＞利润为z元，由题意.z=x+1.Sy,

x,yeN,

画出可行域如图所示

显然当尸一白+?经过A（2,6）时，z最大.

故选：D.

【点睛】

本题考查线性目标函数的线性规划问题，解决此类问题要注意判断x,）'是否是整数，是否是非负数，并准确的画出

可行域，本题是一道基础题.

8.B

【解析】

根据图象以及题中所给的条件，求出和。，即可求得了(x)的解析式，再通过平移变换函数图象关于)'轴对称,

求得加的最小值.

【详解】

由于AB=5,函数最高点与最低点的高度差为4,

所以函数/(x)的半个周期q=3,所以7=二=6一啰=1,

2co3

又0<夕<乃，则有2sin(_lxq+o)=2,可得°=葛，

715万入.7T7171

所以/(x)=2sin—X+——2sin—xH---1—=2C0Sy(X+l),

36(332

将函数/(X)向右平移m个单位后函数图像关于>'轴对称，即平移后为偶函数，

所以)的最小值为L

故选：B.

【点睛】

该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的

变换关系，属于简单题目.

9.B

【解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.

【详解】

若2"'>2">1=2°,：.m>n>0,，k"一">/=1,故8正确；

而当,"=！，"二"1■时，检验可得，A、C、。都不正确，

24

故选：B.

【点睛】

此题考查根据指数幕的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数幕或对数的大小关系，需要熟练掌握指数

函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.

10.D

【解析】

圆心坐标为(1,2),代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值.

【详解】

圆(x—+(y-2尸=5的圆心为(1,2),

由题意可得2/〃+2〃=2,即加+〃=1,〃〉0,

IIijnirinmj

则—F—=(F-)(w+rt)=2H---1—..4,当且仅当一=—且机+〃=1即机=〃=一时取等号，

mnmnmnmn2

故选：D.

【点睛】

本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，

考查运算能力，属于基础题.

11.B

【解析】

根据尸(1)=3求出。=2,再根据(1,。+份也在直线y=3x-2上，求出b的值，即得解.

【详解】

因为/'(x)=‘+a，所以/'(1)=3

x

所以1+。=3,。=2,

又(l,a+b)也在直线y=3x-2上，

所以a+Z?=l,

解得a=2,Z?=-1,

所以。一力=3.

故选：B

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12.A

【解析】

根据分段函数的定义得F(x)>/(x),F(x)>g(x),则2F(%)>/(尤)+g(x)，再根据基本不等式构造出相应的所需的

形式，可求得函数的最小值.

【详解】

依题意得尸(x)Nf(x),F(x)>g(x),则2尸(x)N/(x)+g(x),

11111,,

f(x)+g(x)=-------—+----------=-(-------—+---------)[(2-sin2X)+(2—cos-x)]

2-sin2x2-cos2x32-sin2x2-cos2x

12-cos2x2-sin2%.1_12-cos2x2—sin2x.42-cos2x2-sin3x

=-(2+--------+---------)>-(2+2J----------------------)=-Z(13UJaH-1X3-----------------------—»H即n

32-sin'x2-cos2x3V2-sirrx2-cos'x32-sin'x2-cos'x

sin?x=cos?x=g时”=”成立.此时,/(x)=g(x)=g，,2F(x)>^,：.F(x)的最小值为g,

故选:A.

【点睛】

本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出2f'(x)N/(x)+g(x),再由基本不等式求得最值，属

于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.6&

【解析】

由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥侧面积S=万〃计算公式可得.

【详解】

解：由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，

在AABC中，AB=25AC=非，N84C=90°,如下图所示,

2V5.V5

底面圆的半径为=2

则所形成的几何体的表面积为5=万r（4+4）=万*2X（2石+石）=6石乃.

故答案为：6亚兀.

【点睛】

本题考查旋转体的表面积计算问题，属于基础题.

14.1-^

26

【解析】

TT

求出函数的导数，利用导数的几何意义令％=彳，即可求出切线斜率.

【详解】

,/y=/(%)=xcosx,

/./'(x)=cosx-xsinx,

力4〃.〃1y/37r

33326

即曲线.丫二犬^^工在工二工处的切线的斜率上=1一叵.

326

故答案为：,一叵

26

【点睛】

本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数，属于基础题.

9

15.-

2

【解析】

先找到平面区域D内任意两点的最大值为g+百sin6+百sinC,再利用三角恒等变换化简即可得到最大值.

【详解】

由已知及正弦定理，得£=」也=匹=2/?=26,所以BC=3,

sinBsinCsinA

AC=20sin6,AB=2百sinC，取AB中点E,AC中点尸，BC中点G,

如图所示

AT

显然平面区域任意两点距离最大值为g+Gsin6+百sinC,

2

而5+6sin3+百sinC=,+V3[sinB+sin(-^--B)]=

—+V3(—sinB+—cosB)=+3sin(B+g)Wg,

222262

当且仅当8=§时，等号成立.

9

故答案为：一.

2

【点睛】

本题考查正弦定理在平面几何中的应用问题，涉及到距离的最值问题，在处理这类问题时，一定要数形结合，本题属

于中档题.

16.28

【解析】

将已知式转化为。+,一2)4=任孚-,贝lJ(X+'—2)4的展开式中Y的系数(x-l)8中丫6的系数，根据二项式展开式

XXX

可求得其值.

【详解】

•••(%+--2)4=(%2-2^+1)4=史戈，所以(X+，-2)4的展开式中X2的系数就是(X-1)8中X6的系数，而(X-1)8

XXXX

中尤6的系数为C；-(-l)2=C；=28,

•••展开式中』的系数为或=28

故答案为：28.

【点睛】

本题考查二项式展开式中的某特定项的系数，关键在于将原表达式化简将三项的幕的形式转化为可求的二项式的形式,

属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)cosA=；(2)=2V15

【解析】

(D利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出cosA的值；

(2)由题意得出通+恁=2丽7,两边平方，化简得出c=4,根据三角形面积公式，即可得出结论.

【详解】

(1),/acosB=(4c-b)cosA

由正弦定理得sinAcosB=(4sinC-sinB)cosA

即sinAcosB+cosAsinB=4sinCcosA

即sinC=4cosAsinC

在△ABC中，sinCH0,所以cosA=—

4

(2)因为点M是线段8c的中点，所以恁=2AA/

两边平方得AB'+AC2+2AB-AC=4AM'

由/?=4,|=Vl(),cosA=—,sinA=—―^C-+ZJ'+2XCXZ?X—=4x10

II444

整理得。2+16+2。=40,解得C=4或C=-6(舍)

所以AABC的面积S=-besinA=2而

2

【点睛】

本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题.

18.(1)夕sin(e+?)=-^

夕=2cos8；(2)2逝+2

【解析】

(1)先将直线/和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程;

(2)写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出|QV|和利用三角函数的性质求出苏片的最大

值.

【详解】

解：(1)l:x+y=—,pcos^+psin0=—,

即极坐标方程为夕sin(8+3)=*，

C:(x-l)2+y2=1,极坐标方程0=2cos6.

j_

(2)由题可知A“2、，N(2cosa,a)

sina+cosa

|0N\_PN_2COS6Z

两二六F

2

sina+cosa

=4cosa(sina+cosa)

=2sin2a+2(cos2a+1)

=2V2sin(2a+?)+2,

:,当。弋妣慑M=2&+2.

【点睛】

本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.

19.(1)x2+y~――(2)

【解析】

试题分析：(1)确定圆。的方程，就是确定半径的值，因为直线AP与圆。相切，所以先确定直线方程，即确定点P

331

坐标：因为轴，所以尸根据对称性，可取则直线AP的方程为y=](x+2),根据圆心到

2

切线距离等于半径得r=石(2)根据垂径定理，求直线PQ被圆。截得弦长的最大值，就是求圆心。到直线PQ的

\b\3

距离的最小值.设直线PQ的方程为)，=履+。，则圆心。到直线PQ的距离1=7^,利用分户•心0=-=得

JH+1%4

3玉/+4%%=。，化简得(3+4公)中2+4劭%+9)+4〃=0,利用直线方程与椭圆方程联立方程组并结合韦达

定理得乃2=4左2+3,因此d=；：)=,2_，当攵=0时，d取最小值，PQ取最大值为几.

试题解析：解：(D

22

因为椭圆C的方程为二+匕=1,所以4—2,0),F(l,0).

43

3

因为尸尸，x轴，所以P(l,±5),而直线AP与圆。相切，

根据对称性，可取

则直线AP的方程为y=；(x+2),

即x—2y+2=0.

2

由圆。与直线AP相切，得「=；方，

,,4

所以圆。的方程为f+y2=g

易知，圆。的方程为f+y2=3.

3

①当PQ_Lx轴时，kop-kOQ=-ko^=--,

所以自。=±等，

此时得直线P。被圆。截得的弦长为蛀•

7

②当P。与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为丫=依+匕，产区，凹),。(々,%)(内々70),

3

首先由％•自得3中2+4%必二°，

即3%々+4(3+b)(kx2+/?)=0,

所以(3+4&2)玉々+4左"(％]+工2)+462=0(*).

y=kx+b

联立｛/y2,消去工,得(3+4/)Y+8^^+4〃-12=0,

—+—=1

43

8kb4/-12

将％+々=代入(*)式,

374F，%I%23+442

得2b2=4^+3.

b

由于圆心。到直线PQ的距离为d=XL-

ylk2+]

所以直线P。被圆。截得的弦长为/故当％=0时，/有最大值为指.

综上，因为公然，所以直线加被圆。截得的弦长的最大值为瓜

考点：直线与圆位置关系

孙⑴争⑵乎

【解析】

(1)利用二倍角公式cos2C=l-2sin2c求解即可，注意隐含条件sinC>0.

(2)利用(1)中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sinA,cosAcosC的值，又由

sin8=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC求出sinB的值，最后由正弦定理求出a的值，根据三角形的面积公式

即可计算得出.

【详解】

i3

(1)由已知可得cos2c=l—2sin2c=一己,

4

7

所以sin92c=(,

o

因为在锐角△ABC中，sinOO,

所以sinC=

4

(2)因为c=2。9

所以sinA=—sinC=，

28

因为AABC是锐角三角形，

所以cosC=正,cosA=

48

所以sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

V14V25>/2V143>/7

—___x___।------x___—____

84848

由正弦定理可得：上旦=’—，所以q=Ji4,

sinBsinA

所以S"Bc=《"sinC=《xgx3V7x¥=¥

【点睛】

此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算

能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.

21.(1)«<-1；(2)证明见解析.

【解析】

(1)求出/