北师大版八年级数学上册7 .4 平行线的性质

7.4平行线的性质

一.选择题

1.如图，已知直线AB〃C£>,直线£F分别与AB、CQ交于点M、N,点”在直线CQ上,

HG_LE尸于点G,过点作GP〃A8.则下列结论:

①与NONF是同旁内角:

②ZPGM=NDNF；

③NBMN+NGHN=90"；

④NAMG+NCHG=270°.

C.3个D.4个

2.如图，AC//BD,AE平分NBAC交于点E,若/1=64°,则/2=()

C.128°D.142°

,则乙4EC=()度.

90D.100

4.如图，ZDAC+ZACB=180°,EF//BC,CE平分NBCF,ZDAC=3ZBCF,ZACF=

20°,则/FEC的度数是（)

DA

C.15°D.30°

5.如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若Nl=43°,那么N2

的度数是（）

6.小明将含30°的三角板和一把直尺如图放置，测得/1=25。，则/2的度数是（）

7.如图，直线a〃江直线/与a、6分别相交于A、B两点，过点4作直线/的垂线交直线

b于点、C,若Nl=60°,则N2的度数为（）

8.如图，AB//CD,Z£GB=50°,NCHF=()

E

A.25°B.30°C.50°D.130°

9.在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）

A.相交或垂直或平行B.相交或垂直

C.垂直或平行D.平行或相交

10.如图，将矩形纸片ABC。沿BQ折叠，得到△BC'D,CD与AB交于点E,若/1=

40。，则/2的度数为（）

20°C.15°D.10°

11.如图，把一张上下两边平行的纸条沿EF折叠,若Nl=84°,则/2的度数为（)

A.106°B.132°C.84°D.127°

12.如图，AB//CD,BF平分/ABE,且BFA.DE垂足为F,则NABE与NEDC的数量关

B.ZABE+Z£DC=180°

4

C.ZEDC-Az90"D.ZABE+^ZEDC=90°

22

13.下面说法正确的个数为（)

①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

②两直线被第三条直线所截，同旁内角互补

③两角之和为180°,则这两个角一定是邻补角

④画一条线段的垂线段可以画无数条

A.1个B.2个C.3个D.4个

14.如图，直线点C在直线Z?上，/AC2=90°,贝IJ()

A.ZA=Z1+Z2B.Z2+Z3+ZA=180°

C.Zl+Z2=90°D.Zl+Z2+Z3=180°

15.下列说法正确的有()

①平面内，不相交的两条直线是平行线；

②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

④相等的角是对顶角；

⑤两角之和为180°,这两个角一定邻补角；

⑥P是直线a外一点，A、B、C分别是4上的三点，PA=],PB=2,PC=3,则点尸到

直线a的距离一定是1.

A.1个B.2个C.3个D.4个

二.填空题

16.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果Nl=36°,那么N2的

度数是.

17.如图，直线AB〃CD,NA=60°，ZD=40"，则NE=

18.如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段OE射出（此

时/1=/2）,若测得/OC尸=100°,则/A=.

R

19.如图，已知直线AB〃C£）,MN分别交A8,CD于点,E,F,/BEF与NOEE的两条平

分线相交于点外，NBEPI与NOFP的两条平分线相交于点匕，则/P2的度数为.

20.如图，。为△ABC中54延长线上一点，AE//BC,若Nl=/2,ZBAC=36°,则

21.如图，AB〃C£>,CB平分NA8。，若NABC=40°,则N。的度数为

AB

,则Nl=

23.如图，若48〃C£>,BF平分NABE,DF平分NCDE,NBED=90°,则/BF£>=

24.如图，已知点C为两条相互平行的直线AB,ED之间一点，NABC和/CDE的角平分

线相交于F，若NBCZ)=gNBF£>+10°,则NBC。的度数为

2

，那么/4的度数为

26.问题情境

(1)如图1,已知AB〃CD,NPBA=125°,ZPCD=\55a,求NBPC的度数.

佩佩同学的思路：过点P作PG〃AB,进而尸G〃CC,由平行线的性质来求NBPC,求

得NBPC=

问题迁移

(2)图2,图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的

两边重合，ZACB=90°,DF//CG,AB与相交于点E,有一动点P在边BC上运动,

连接PE,PA,记/PEZ)=/a,ZB4C=Zp.

①如图2,当点P在C,。两点之间运动时，请直接写出/4PE与/a,之间的数量

关系；

②如图3,当点P在从。两点之间运动时，NAPE与Na,之间有何数量关系？请

判断并说明理由.

27.综合与探究

问题情境

在综合实践课上，老师组织七年级(2)班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活

动，如图，已知射线AM〃BN,连接A3,点P是射线AM上的一个动点(与点A不重合)，

BC,分别平分/A8P和NP8N,分别交射线AM于点C,D.

探索发现

“快乐小组”经过探索后发现：

(1)当NA=60°时，NCBD=NA.请说明理由.

(2)不断改变NA的度数，/CB力与却始终存在某种数量关系，用含/A的式子表

示NCBD为.

操作探究

(3)“智慧小组”利用量角器量出ZAPB和NADB的度数后,探究二者之间的数量关系.他

们惊奇地发现，当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，NAPB与

N4DB之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由.

(4)点P继续在射线AM上运动，当运动到使/AC8=ZABD时，请直接写出2/A5C+L

2

NA的结果.

28.填空：（将下面的推理过程及依据补充完整）

如图，已知：CQ平分NACB,AC//DE,CD//EF,求证：EF平■分4DEB.

证明：；CD平分/ACB（已知），

：.ZDCA^ZDCE（角平分线的定义），

,JAC//DE（已知），

：.ZDCA=（）,

:.NDCE=NCDE（等量代换），

■:CD//EF（已知），

=NCDE（）,

NDCE=NBEF（）,

/.=（等量代换），

：.EF平分NDEB（）.

29.完成下面推理过程.

如图：已知，/A=112°,ZABC=68°,8D_L£)C于点。，EFLDC于点F,求证：Z

1=N2.

证明：：乙4=112°,/A8C=68°(己知)

ZA+ZABC=180°

J.AD//BC()

；./1=()

'：BDYDC,EF_LOC(已知)

:.NBDF=90°,NEFC=90°()

:.NBDF=NEFC=90°

J.BD//EF()

AZ2=()

.*.Z1=Z2()

30.如图：已知，ZHCO^ZEBC,NBHC+NBEF=180°.

(1)求证：EF//BH-,

(2)若BH平分NEBO,EFl.AOF,N”CO=64°,求NCaO的度数.

参考答案

一.选择题

1.解：:NAM/与NOV/不是同旁内角，

・••①错误；

U：AB//CD,GP//AB,

：.AB//CD//GP,

:./PGM=NCNM=NDNF,/BMN=/HNG,NAMN+NHNG=18U0,故②正确;

■:HG工MN,

:./HNG+/GHN=9U°,

:./BMN+/GHN=9U°,故③正确；

*.•ZCHG=NMNH+NHGN,

:./MNH=/CHG-90°,

AZAMN+ZHNG=ZAMN+ZCHG-90°=180°,

・・・NAMG+NC”G=270°,故④正确，

故选：C.

2.W：VZ1=64°,

・・・N3+N4=180°-64°=116°,

TAE平分N84C,

AZ3=Z4=116°+2=58°,

9：AC//BD,

AZ2+Z4=180°,

AZ2=180°-58°=122°.

故选：B.

3.解：如图，延长AE交CD于点凡

9

：AB//CDf

：.ZBAE+ZEFC=180°,

又・・・N8AE=120°,

AZEFC=180°-N8AE=180°-120°=60°,

又・・・NOCE=30°,

AZAEC=ZDCE+ZEFC=300+60°=90°.

故选：C.

4.解：设NBCE=/ECF=1^NBCF=x,

2

:/DAC=3/BCF,

：.ZDAC=6x,

'：ZDAC+ZACB=]S0°,

；.6x+x+x+20°=180°,

解得x=20°,

所以，NFEC的度数为20°.

故选：B.

5.解：：将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，Nl=43°,

.•.N2=/3=180°-43°-30°=107°.

故选：B.

6.解:如图:

・・・/3=55°,

•・•直尺的对边平行,

AZ4=Z3=55°，

AZ2=180°-90°-Z4=180°-90°-55°=35°,

故选：C.

7.解:,:

.*.Zl+Z2+ZBAC=180°,

VZABC=90°,Zl=60°,

.\Z2=30°,

故选：C.

8.解：,:ABH3,/EGB=50°,

：.ZEHD=ZEGB=50°,

：.ZCHF=ZEHD=50°.

故选：C.

9.解：在同一个平面内，两条直线只有两种位置关系，即平行或相交.

故选：D.

10.解：在矩形A3CQ中，NC=90°,AB//CD,

・・・Nl+NC8O=90°,CD//AB,

VZ1=4O°,

：.ZCBD=50°,ZABD=Zl=40°,

由折叠可知：Z2+ZABD=ZCBD1

••.N2+N480=50°,

：.Z2=10°.

故选：D.

11.解：如图，

9：AF//BE,

.*.Z1=Z4=84°,

・・,把一张上下两边平行的纸条沿律折叠,

・・・N3=NAEF=1^-341_=48°,

2

♦：AF〃BE,

・・・N3+N2=180°,

.*.Z2=180°-48°=132°,

故选：B.

12.解：过尸点作尸G〃A8,

VAB//CD,

：.FG//CD,

：.ZBFG=ZABF,ZDFG+ZCDF=\SOQ,

VBF1DE,

：.ZBFD=90°,

・・・5/平分N43E,

・•・NABE=2NABF,

：.ZBFG+ZDFG+ZCDF=ZABF+\SO°,

.•.90°+ZCDE=^ZABE+180°,即NEQC-L/ABE=90°.

22

13.解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故此选项正确；

②两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故此选项错误；

③两角之和为180°,则这两个角互补，不一定是邻补角，故此选项错误；

④在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，经过的点不确

定，可以画无数条，故此选项正确；

综上所述，正确的个数有2个，

故选：B.

14.解：,：a//b,

.\Z4+ZACB+Z2=180o,

VZACB=90°,

.,.Z4+Z2=90°，

VZ4=Z1,

.,.Nl+/2=90°.

故选：C.

15.解：①根据平行线的定义，平面内，不相交的两条直线是平行线，故本选项正确；

②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确正确；

③平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；

④相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；

⑤两角之和为180°,则这两个角互为补角，但不一定是邻补角；故本选项错误；

⑥产是直线/外一点，A,B,C分别是/上的三点，已知必=1,PB=2,PC=3,则点

P到/的距离不大于1.故此选项错误.

综上所述，正确的有2个,

故选：B.

二.填空题

16.解：'.,AB//CD,

；.N2=N3,

VZ1=36°,Zl+Z3=90°,

.*.Z3=54°,

，N2=54°,

故答案为：54°.

AZA=Z1=6O°,

VZ1=ZE+ZD,ZD=40°,

AZE=Z1-ZD=60°-40°=20°,

故答案为：20°.

18.解：*：DE//AF,

・・・N2=NA,

VZ1=Z2,

AZ1=Z2=ZA,

VZDCF=ZA+Z1=2Z>1=100°,

AZA=50°,

故答案为：50°.

19.解：过Pi作PiG〃A8,可得PiG〃C。，如图,

：・NBEP尸NEPiG,NGP、F=/P\FD,

・・・"1、/Pi分别为N跳尸与NE/。的平分线，

：.NBEPi=NFEPi，NEFP尸NDFP、,

VAB//CD.

・・・/BEPi+NFEPi+NEFPi+NDFPi=180°,即2(NBEPi+NDFPP=180°,

：.ZBEPi+ZDFPl=90°,

「NBEPi、NDFPi的平分线相交于点K\,

：.NBEP2=NPTEP2,/P\FP2=/DFP2,

VZBEPi+ZFEPi+ZEFP^ZDFP]=180°,即2(NBEPi+NP[FD)=180°,

：.ZBEPi+ZPiFD=90°,即/尸]£尸2+/尸1尸尸2=45°,

・・・NKi=180°-(NPiEF+NEFPi)-(NP1EP2+NP1FP2)=45°,

故答案为：45°.

20.解：yZBAC=36°,Nl+N2+N8AC=180°,

.*.Zl+Z2=144°,

VZ1=Z2,

AZ1=Z2=72°,

*：AE〃BC,

・・・N1=N8,

：.ZB=12°,

故答案为：72.

21.解：・.・C8平分NABO,

・・・NA8O=2NABC=80°,

\9AB//CD,

・・.NA8Q+NO=180°,

AZD=180°-80°=100°,

则NO的度数为1000.

故答案为：100°.

22.解：如图:

D

2

AB

a：AB//CD,

：.ZA+Z2=180°,

VZA=50°,

.\Z1=Z2=18O°-NA=180°-50°=130°.

故答案为：130°.

23.解：•:NB//CD,

：.ZABE=Z4,Z1=Z2,

•；NBED=90°,NBED=N4+NEDC,

ZABE+ZEDC=90Q,

尸平分N48E,DF平分/CDE,

・・・N1+N3=45°,

VZ5=Z2+Z3,

・・・N5=N1+N3=45°,

即N8尸Q=45°,

故答案为：45°.

24.解：・.・N43C和NCDE的角平分线相交于凡

：.ZEDA=ZADC,NCBE=NABE,

又TAB〃七。，

/EDF=ZDABfZDFE=NABF,

设NDFE=NABF=y,

：.ZBFD=ZEDA+ZADE=x+yf

在四边形BCD厂中，NFBC=x,ZADC=y,NBFD=x+y,

：.ZBCD=360°-2(x+y),

VZBCD=^-ZBFD+IO°,

2

：.ZBFD=x+y=\OO",

：.ZBCD=360°-2(x+y)=160",

故答案为：160°.

25.解：2N1=N3,

:.ABHCD,

.\Z2=Z5,

；N2=64°,

.,.Z5=64°,

VZ5+Z4=180°,

.".Z4=116°,

26.解：(1)过点P作尸G〃4B,KOPG//CD,

由平行线的性质可得NB+/BPG=180°,NC+NCPG=180°,

又•.•/PBA=125°,/PCZ)=155°,

：.NBPC=360°-125°-155°=80°,

故答案为：80；

(2)①如图2,图2

NAPE与Na,Zp之间的数量关系为NAPE=Na+N0；

②如图3,乙4PE与Na,N0之间的数量关系为NAPE=N0-Na；理由:

过P作PQ//DF,

图3

'：DF//CG,

：.PQ//CG,

；.NB=NQ%Za=ZQPE,

：.NAPE=ZAPQ-NEPQ=N0-Za.

27.解：⑴,:AM//BN,

.,.N4+/ABN=180°,

又；NA=60°,

.,.NA5N=180°-ZA=120°.

BC,BD分别平分/ABP和ZPBN,

:.ZCBP=^LZABP,NDBP=LNPBN,

22

NCBD=NCBP+NDBP=LNABP+工NPBN=LNABN=60°,

222

：.ZCBD=ZA.

(2),：BC,CO分别平分乙4BP和NPBN,

：.ZCBP=^ZABP,NDBP=L/PBN,

22

ZCBD-ZCBP+ZDBP=AzABP+^ZPBN=^ZABN,

222

,JAM//BN,

：.ZA+ZABN=18OQ,

.,.N4BN=180°-ZA,

NCBQ=180°々A.

2

（3）ZAPB=2ZADB理由如下：

分别平分/PBN,

：.4PBN=24NBD,

"JAM//BN,

：.NPBN=NAPB/NBD=NADB,

：.ZAPB=2ZADB.

（4）-CAM//BN,

：.NACB=NCBN,

当NAC8=NAB。时，有NCBN=NABD,

：.ZABC+ZCBD=ZCBD+NDBN,