第6章 计算机的运算方法

计算机必算方法

康葆奈

6.1无符号数和有符号数

6.2数的定点表示和浮点表示

6.3定点运算

6.4浮点四则运算

6.5算术逻辑单元

本讲简要说明

•目的与要求：熟悉计算机中的数据表示方法，了解

计算机的基本运算和定点加减运算

■授课重点：数据表示方法，基本运算，定点加减运

算

•授课难点：数据表示方法，定点加减运算

数据是计算机加工和处理的对象，数据的

机器层次表示号直接影响到计算机的结构和性

能。

算术和逻辑单元(Arithmetic&LogicUnit)

•执行运算

•计算机其它部件都是服务于该部件

•可以处理整数

•也可以处理浮点数(floatingpoint(real)

numbers)

ALUInputsandOutputs

Control

AHags

Unit

ALU

RegistersARegisters

IntegerRepresentation

无符号数表示：

・只用0&1来表示每个数字

•正数以二进制形式保存

-e.g.41=00101001

•没有负号(minussign)

•没有小数点Noperiod

•符号-幅值表示法Sign-Magnitude

•补码表示法Two'scompliment

符号■幅值表示法(原码Sign-Magnitucie)

・最左边的位是符号位

•0表示正

•1means负

•+18=00010010

•-18=10010010

•问题

—Needtoconsiderbothsignandmagnitudein

arithmetic

—Tworepresentationsofzero(+0and-0)

补码表示法

•时钟正拨和倒拨

•模和同余

结论6.1

»一个负数加上“模”即得该负数的补数

>一个正数和一个负数互为补数时

它们绝对值之和即为模数

•计数器(模16)1011—0000?

10111011

—1011+0101

00001Q000

可见-1011可用+0101代替

自然去掉

t己作"1011=+0101(mod24)

同理-011三+101(mod23)

-0.1001=+1.0111(mod2)

补码定义

整数

0,x2W>x>0

国补=

2/1+x0>x>(mod2n+1)

X为真值〃为整数的位数

如x=+1010x=-1011000

国补=0,1010国补=27+1+(-1011000)

=100000000

-1011000

用逗号将符号位

和数值部分隔开「1,0101000

1

补码表示：

•+3=00000011

•+2=00000010

•+1=00000001

•+0=00000000

•-1=11111111

•-2=11111110

•-3=11111101

优点：

•0的表示是唯一的

•运算容易(seelater)

•求补码容易

-3=00000011

—Booleancomplementgives11111100

-Add1toLSB11111101

补码特例1

・0=00000000

•Bitwisenot11111111

•Add1toLSB+1

•Result100000000

•Overflowisignored,so:

•-0=0

补码特例2

•-128=10000000

•取反01111111

•Add1toLSB+1

•Result10000000

•So:

•-(-128)=-128X

补码的范围

•8bit2scompliment

-+127=01111111=27-1

--128=10000000=-27

•16bit2scompliment

-+32767=01111111111111111=215-1

--32768=10000000000000000=-215

反码表示法6.1

(1)定义

整数

r0,x2n>x>0

[刈反=1

、(2/i—l)+x0>x>2〃(mod2n+1i)

X为真值〃为整数的位数

如x=+1101x=-1101

4+1

国反=0,1101[x]s=(2-1)-1101

=mu-iioi

用逗号将符号位=1,0010

和数值部分隔开

小数6.1

rxi>x>o

[x]反=4

L(2-2-W)+X0>X>1(mod2”

x为真值n为小数的位数

如

x=+0.1101x=-0.1010

[x]反=0.1101M反=(2-24)-0.1010

=1.1111-0.1010

用小数点将符号位=1.0101

和数值部分隔开一t

(2)举例6.1

例6.8已知［刈反=0,1110求x

解：由定义得x=+1110

例6.9已知［刈反=1,1110求x

解：由定义得x=［x］^-(24+1-1)

=14110-mu

=-oooi

例6.10求0的反码

解：设x=+0.0000［+0.0000］反=0.0000

x=-0.0000［-0.0000］反=1.1111

同理，对于整数［+0］反=0,0000［-0］反=1,1111

•••［+0］反声［划反

移码表示法

补码表示很难直接判断其真值大小

如十进制二进制补码

x=+21+10101040101错

大

x=-21-101011,01011

x=+31+111110,11111、错

x=-31-111111,00001>大

X+2，

*0101+100000=110101、大

-10101+100000=001011/正确

+11111+100000=111111,大

正确

-11111+100000=000001

⑴移码定义

[x]^=2n+xC2n>x>2")

工为真值，〃为整数的位数

移码在数轴上的表示

移码

如

国移=25+10100=1,10100

x=-101001--------用逗号将符号位

和数值部分隔开

国移=25—10100=0,01100

移码的特点

A当X=0时［+0］移=25+0=1,00000

［叫移=25-0=1,00000

，［+0］移=卜0］移

»当〃=5时最小的真值为15=-100000

［-100000］移=25-100000=000000

可见，最小真值的移码为全0

用移码表示浮点数的阶码

能方便地判断浮点数的阶码大小

三种码制的比较与转换

工■比较

•对于正数它们都等于真值本身，而对于负数各有不同的

表示。

•最高位都表示符号位，补码和反码的符号位可作为数值

位M一部分看信，和数值位一起参加运算；但原码的符

号位不允许和数值位同等看待，必须分开进行处理。

•对于真值o,原码和反码各有两种不同的表示形式，而

补码只有唯一的一种表示形式。

•原码、反码表示的正、负数范围相对零来说是对称的；

但补码负数展示范围较正数表示范围宽，能多袤示一个

最负的数（绝对值最大的负数），其值等于・2八（纯整

数）或■工（纯小数）。

数值数据的表示

设机器字长4位（含1位符号位），以纯整数为例:

原码或反码可表示的数

-0+0

I_I_I_I_I_I_[\|/[_I_I_I_I_I_I

-7-6-5-4-3-2-10+1+2+3+4+5+6+7

K

------------------▼------------------J---------sz----------

7个负数7个正数

补码可表示的数（多表示一个负数）

T-6-5-4-3j0+2+3+4+5+6+7

8个负数77S

真值与3种机器数间的对照

真值X［X］原［X］反［X］补真值X［X］原［X］反［X］补

十进制二进制十进制二进制

+0+0000000-0-000100011110000

+1+0010001-1-001100111101111

+2+0100010-2-010101011011110

+3+0110011-3-011101111001101

+4+1000100~4-100110010111100

+5+1010101-5-101110110101011

+6+1100110-6-110111010011010

+7+1110111-7-111111110001001

+8——-8-1000—一1000

2•转换

如果已知机器的字长，则机器数的位数应补够相

应的位。例如，设机器字长为8位，贝

X^lOllX2=-1011

[XJ原=00001011.区]原二100010工工

[XJ补=00001011[X2]#=11110101

[XJ反=00001011[X2]反=工工工10100

X3=0,1011X4=-0.1011

[X3]原=。・101工。00[X4]原=工,10工1000

[X3]补=0・10工1000[X4]#=1.0101000

[X3]反=0・10工1000[X4]反=1.0100工工工

6.2数的定点表示和浮点表示

小数点按约定方式标出

一定点表不

或

I数值部分I数值部分

小数点位置小数点位置

定点机小数定点机整数定点机

原码—(1—2・与〜+(1—2-)-(2n-1)^+(2n-l)

补码-1+(1-2~n)-2n^+(2n-l)

反码—(1—2-n)〜+(1-2-n)_(2〃一1)〜+(2n-l)

:、浮点表示6.2

N=Sx/j浮点数的一般形式

S尾数j阶码〃基数（基值）

计算机中/取2、4、8、16等

当r=27V=11.0101一二进制表不

/=0.110101X2回了规格化数

=1.10101X21

=1101.01X210

Z=0.00110101X2100

计算机中s小数、可正可负

j整数、可正可负

1.浮点数的表示形式6.2

JfJlJ1LsfS\S)

吩阶码的

法尾数的数值部分

数值部分

小数点位置

Sf代表浮点数的符号

n其位数反映浮点数的精度

m其位数反映浮点数的表示范围

衣和阳共同表示小数点的实际位置

2.浮点数的表示范围6.2

上溢阶码,最大阶码

下溢阶码v最小阶码按机器零处理

上溢上溢

负数区下溢正数区

丁o

最小负数最大正数

—2(2J)X(1—2-〃)2(2，M-DX(1-2-W)

最小正数

-215X(1-2-10)215X(1-2-10)

2-(2J)X2f

2T§X2H0

最大负数设胆=4

-2-(2J)x2fn=10

_2小x2To

3.浮点数的规格化形式6.2

r=4尾数最高2位不全为0基数不同，浮点数的

r=8尾数最高3位不全为0规格化形式不同

4.浮点数的规格化

r=2左规尾数左移1位，阶码减1

右规尾数右移1位，阶码加1

r=4左规尾数左移2位，阶码减1

右规尾数右移2位，阶码加1

r=8左规尾数左移3位，阶码减1

右规尾数右移3位，阶码加1

基数『越大，可表示的浮点数的范围越大

基数「越大，浮点数的精度降低

例如：设阳=4,n=10,r=26.2

尾数规格化后的浮点数表示范围

最大正数2+U11X0.1111111111=215X(l-2-10)

、________J

V

10个1

最小正数21111X0.1000000000=2-15X2」=2十

9个0

最大负数2-11nX(-0.1000000000)=-2-15X=-2-16

9个0

最小负数2+uiiX(-O.Hllllllin=-215X(l-2-10)

Y

10个1

•例6.14将-58表示成二进制定点数和

浮点数，并写出它在定点机和浮点机中的三种机

器数及阶码为移码、尾数为补码的形式（其他要

求同上例）。

6.2

解：设x=-58

二进制形式x=-111010

定点表示x=-0000111010

浮点规格化形式x=-(0.1110100000)x2n°

定点机中浮点机中

原=1,0000111010团原=0,0110;1.1110100000

补=1,1111000110区补=0,0110;1.0001100000

反=1,1111000101区反=0,0110;1.0001011111

团阶移、尾补=1，0110;1.0001100000

机器零6.2

＞当浮点数尾数为o时，不论其阶码为何值

按机器零处理

＞当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小

数时，不论尾数为何值，按机器零处理

如阳=4n=10

当阶码和尾数都用补码表示时，机器零为

x,xxxx；0.00・・・0

（阶码=T6）1,0000；x.xx…x

当阶码用移码，尾数用补码表示时，机器零为

0,0000；0・00・・・0

有利于机器中“判0”电路的实现

IEEE754格式

(a)Singleformat

sign

bit<IIbits52bits

biased

fraclinn

cxponenl

Ib>Doubleformat

浮点数(FloatingPoint)

signof

significand

8bits23bits

biasedexponentsignificand

(a)Format

•+/-.significandx2exP°nent

・小数点位于符号位和尾数之间

•Exponent指示小数点位置

IEEE754标准的浮点数

最高位为数符位；

其后是8位阶码，以2为底，阶码的偏置值为127;

其余23位是尾数。

隐含尾数最高数位1（24位）

隐含的1是一位整数（即位权为2。）

浮点数的阶码采用移码的原因

•便于比较浮点数的大小。阶码大的，其对应的

真值就大，阶码小的，对应的真值就小。

•简化机器中的判零电路。当阶码全为0,尾数也

全为0时，表示机器零。

浮点数的符号

•最高位表示尾数的符号

•阶码用移码来表示

—e.g.偏移量128means

—8bitexponentfield

—Purevaluerange0-255

—Subtract128togetcorrectvalue

—Range-128to+127

规格化尾数

•浮点数通常都是规格化的

•i.e.通过阶码的调整使得尾数的最高位是1

•因为规格化的最高位总是1,因此没有必要来专

门保存它

•e.g.3.123x103

FloatingPointExamples

10100,•5n

1.1010001o01001001110100010000000000000000=1.638125x2-u

-1.101000111001001110100010000000000000000=-1.638125x220

X；-101001

20

1.1010001ZSM00110101110100010000000000000000=1.638125x2~

yO-1D10Q_

-1.1010001A410110101110100010000000000000000=-1.638125x2-20

lb>Examples

FPRanges

•对于一个32位数

—8bitexponent

一?*

•精度

—23bitmantissa?*

IEEE754标准的浮点数

例13:将(1OO.25)io转换成短浮点数格式。

⑴十进制数二进制数

(1OO.25)1O=(11OO1OO.O1)2

⑵非规格化数一规格化数

1100100.01=1.10010001X26

⑶计算移码表示的阶码(偏置值+阶码真值)

1111111+110=10000101

⑷以短浮点数格式存储该数。

符号位=0

阶码=10000101

尾数=10010001000000000000000

IEEE754标准的浮点数（续）

短浮点数代码为

0;10000101;1001000100000000000

0000

表示为十六进制的代码：42C88000Ho

例14:把短浮点数C1C90000H转换成为十进制数。

⑴十六进制一二进制形式，并分离出符号位、阶码和尾

数。

ClC90000H=

工;100000工工;10010010000000000000000

符号位油码&

IEEE754标准的浮点数(续)

⑵计算出阶码真值(移码-偏置值)

10000011-1111111=100

⑶以规格化二进制数形式写出此数

1.1001001X24

(4)写成非规格化二进制数形式

11001.001

⑸转换成十进制数，并加上符号位。

(11OO1.OO1)2=(25.125)1O

所以，该浮点数=・25.125

6.3定点运算

•、移位运算

1.移位的意义

15•m=1500•cm

小数点右移2位

机器用语15相对于小数点左移2位

（小数点不动）

左移绝对值扩大

右移绝对值缩小

在计算机中，移位与加减配合，能够实现乘除运算■

2.算术移位规则6.3

符号位不变

码制添补代码

正数原码、补码、反码0

原码0

左移添0

负数补码

右移添1

反码1

例6J66.3

设机器数字长为8位（含1位符号位），写出

力=+26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表

示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。

解：A=+26=+11010

则⑷原=［同补=⑷反=0,0011010

机器数

移位操作⑷原二⑷产⑷对应的真值

P

移位前0,0011010+26

左移一位0,0110100+52

左移两位0,1101000+104

右移一位0,0001101+13

右移两位0,0000110+6

例6J76.3

设机器数字长为8位（含1位符号位），与出

4=-26时，三种机器数左、右移一位和两位后的表

示形式及对应的真值，并分析结果的正确性。

解：^=-26=-11010

原码移位操作机器数对应的真值

移位前1,0011010-26

左移一位1,0110100-52

左移两位1,1101000-104

右移一位1,0001101-13

右移两位1,0000110一6

籍位程佐札奥特对由的吉仲6.3

移位刖1,1100110-26

左移一位1,1001100-52

左移两位1,0011000-104

右移一位1,1110011-13

右移两位1,1111001-7

反码移位操作机器数对应的真值

移位前1,1100101-26

左移一位1,1001011-52

左移两位1,0010111-104

右移一位1,1110010-13

右移两位1,1111001一6

籍位程佐札奥特对由的吉仲6.3

移位刖1,1100110-26

左移一位1,1001100-52

左移两位1,0011000-104

右移一位1,1110011-13

右移两位1,1111001-7

反码移位操作机器数对应的真值

移位前1,1100101-26

左移一位1,1001011-52

左移两位1,0010111-104

右移一位1,1110010-13

右移两位1,1111001一6

4.算术移位和逻辑移位的区别6.3

算术移位有符号数的移位

逻辑移位无符号数的移位

逻辑左移低位添0,高位移丢r^o

逻辑右移高位添0,低位移丢0^1

例如0101001110110010

逻辑左移10100110逻辑右移01011001

算术左移00100110算术右移11011001（补码）

高位1移丢

cWoioioon回110100117

J

二、加减法运算6.3

1.补码加减运算公式

(1)加法

整数⑷补+回补=[4+司补(mod2"+i)

小数⑷补+[用补=[4+司补(mod2)

(2)减法

A-B=A+(-B)

整数[A—用补=[A+(-B)]补=[Z]补+[—用补(mod2"+i)

/」、数[A-均补=[4+(—万)]补=[Z]补+[—£]补(mod2)

连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉

2.举例6.3

例6.18~~设力一0・1。11,牙――U.UIUI--------------------

求因+用补验证

解：⑷补=0.1011

0.1011

+［万］补=1.1011—0.0101

3］补+［£］补#.0110=的+£］补0.0110

：.A+B=0.0110

例6.19设/=—9,B=-5

求[A+B]^验证

解：⑷补=1,0111

-1001

+㈤补=1,1011+-0101

补+［£］补龙因+-1110

1，0010=£］补L

：.A+B=-U1Q

3.溢出判断6.3

⑴一位符号位判溢出

参加操作的两个数（减法时即为被减数和“求补”

以后的减数）符号相同，其结果的符号与原操作

数的符号不同，即为溢出

硬件实现

最高有效位的进位㊉符号位的进位=1溢出

如1㊉0=1]

卜有溢出

0㊉1=1.

0㊉0=0]

无溢出

1㊉1=0.

（2）两位符号位判溢出6.3

X1>x>0

4+x0>x>-l(mod4)

团补，+m补，=［%+y］补，（mod4）

口E补，=凶补，+［一川补，（mod4）

结果的双符号位相同未溢出00,xxxxx

11,XXXXX

结果的双符号位不同溢出10夕XXXXX

01夕XXXXX

最高符号位代表其真正的符号

补码加减运算的逻辑电路

()1=overflowhit

SW=Switch(seledadditionnrsuhiraciion)

6.3定点乘法运算

在计算机中，乘法运算大多数由累加与移

位来实现，也有些机器中具有由大规模集成电

路制造的阵列乘法模块。

乘法运算(Multiplication)

•比加减法运算复杂

•计算每一位的部分积

•注意移位

•对部分积相加

•例：1011

•x1101

乘法举例

1011被乘数Multiplicand(11dec)

x1101乘数Multiplier(13dec)

1011部分积Partialproducts

0000Note:ifmultiplierbitis1copy

1011multiplicand(placevalue)

1011otherwisezero

10001111乘积Product(143dec)

Note:needdoublelengthresult

自己设计?寄存器数目？

硬件实现

Multiplkand

<a)BlockDia^nini

ExecutionofExample

CAQM

0000011011011InitialValues

0101111011011AddFirst

0010111101011ShiftCycle

Second

0001011111011ShiftCycle

0110111111011AddThird

0011011111011ShiftCycle

1000111111011AddFourth

0100011111011ShiftCycle

乘法流程图

补码乘法运算

•无符号数乘法运算策略不适用!

1001

原因

xOOll1?

1011

=原因2?

x1101

•解决方法1

一将乘数和被乘数转换成正数

一按无符号数乘法规则相乘

一如果符号不同，则结果取负

•解决方法2

—Booth'salgorithm（布思算法）

Booth'salgorithm(布思算法)

•MX(OOOllllO)

•=MX(21+22+23+24)

•=MX(?)

•-611111010

Booth'sAlgorithm

ExampleofBooth'sAlgorithm

AQQ-iM

0000001100111InitialValues

1001001100111AA-M7First

1100100110111Shift5,Cycle

Second

1110010010111Shift,Cycle

0101010010111AA+M1Third

0010101000111ShiftJCycle

Fourth

0001010100111Shift

Cycle

(

T

(

7x

)R

X

2)—

••

除法运算（Division）

•比乘法运算更加复杂

•Negativenumbersarereallybad!

•Basedonlongdivision

DivisionofUnsignedBinaryIntegers

00001101.Quotient

Divisor►101110010011Dividend

1011

001110

Partial1011

Remainders

001111

1011

100Remainder

FlowchartforUnsignedBinaryDivision

QuotientinQ

RemainderinA

恢复余数法

AQM=0011

00000111初始值

00001110移位

1101减

ooooino恢复

1移

00O1(M.位

1110减

恢

000101复

移

A1

OOH>01位

减

0000

1uJ1.o1置

0000-=1

移Qo

i位

on.-o

0001J减

l复

1110恢

o4.o

0001HJ

不恢复余数法

AQM=0011

00000111初始值

00001110移位

11011110部分余数为负商为0

10111100左移1位

11101100加上Y

部分余数为负商为0

11011000左移1位

00001001加上Y

部分余数为非负商为1

00010010左移1位

补码的除法运算

•除数装入M寄存器，被除数装入Q寄存器。被除数

必须以2n位的补码来表示。0111^00000111

•A、Q左移一'位。

•M、A符号相同，则A-A-M否则A-A+M

•如果A在操作后符号未改变，则上述操作成功。

(1)操作成功则Q-1。

(2)操作不成功Q-0。

•重复上述步骤。

•余数在A中。如果被除数与除数符号相同，则Q为

商，否则Q中数值的2的补码才是正确的商。

补码除法运算示例:

AQM=0011

11111001初始值

11110010移位

0010加

11110010恢复

移

11100100位

0001加

恢

11100100复

移

位

11001000加

1111

置

11111001=1

移

QO位

11110010加

复

0010恢

11110010

6.4规格化浮点运算

6.4.1浮点加减运算

EA

A=MAX2

EB

B=MBX2

规格化浮点数A、B加减运算通式为:

A±B=(MA,EA)±(MB,EB)

={(MA±MBX29「EB),EA)EA>EB

土

1MAX2-(EB-E4)MB，EB)EA<EB

1.浮点数加减运算步骤

•检查操作数是否有0

•对阶

对阶的规则是：小阶向大阶看齐。

•尾数加/减

•尾数结果规格化

浮点数加减运算流程

2.浮点数加减运算举例

有两浮点数为

A=0.101110X201

B="(0.101011)X210

假设这两数的格式：阶码4位，用移码

(偏置值为23)表示；尾数8位，用补码表示

,包含一位符号位，即

阶码尾数

[A]$=0111;0.1011100

[B]浮=0110;1.0101010

(1)对阶

求阶差:AE=EA-EB=-1-(-2)=1

AE=1,表示EA>EB。按对阶规则,

号MB右移一位，EB+1->EB,得：

[B]浮=0111;1.1010101

⑵尾数求和

00.1011100

+11.1010101

00.0110001

⑶尾数结果规格化

由于结果的尾数是非规格化的数，故应左规

o尾数每左移一位，阶码减1,直至尾数成为

规格化数为止。最后结果为

[A+B]浮=0110;0.110001

即A+B=(0.110001)X210

未发生溢出

6.4.2浮点乘除运算

EA

A=MAX2

EB

B=MBX2

规格化浮点数A、B乘除运算通式为：

(MAzEA)x(MB/EB)=(MAxMB/EA+EB)

(MA，EAA(MB，EB)=(MA+MB，EA-EB)

浮点数乘除运算

•检查0

•力口/减阶码

•乘/除尾数

•规格化尾数

•舍入操作

•乘积的长度是乘数和被乘数的长度两倍

浮点数乘法运算流程图

SubtractBiasj|

浮点数除法运算流程图