第4章数列 基础测试一-人教A版（2019）高中数学选择性必修第二册章节复习-教案课件-人教版高中数学选择性必修二（选修二）

人教A版选择性必修第二册第四章数列基础测试1

一、单选题

1.在等差数列｛〃〃｝中，己知45=3,09=6,则03=（）

A.9B.12C.15D.18

2.已知数列｛4,｝为等比数列，4=2,且％=/，则％。的值为（）

A.1或一1B.1C.2或一2D.2

3.已知数列｛4｝的前项和S“=2/+1,〃eN*，则为=（）

A.20B.17C.18D.19

4.在等差数列｛2｝中，若S,为其前〃项和，4=5,则S”的值是（）

A.60B.11C.50D.55

5.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.

其中记载着这么一道“女子织布''问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增

加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）

尺

416c84

A.-B.—C.—D.一

729155

6.正项等比数列｛%｝满足。；+2%%+。640=16,则。=（）

A.1B.2C.4D.8

7.设等差数列｛4｝的前〃项和为S〃，若%+%=%+8,则几=（）

A.60B.120C.160D.240

8.公差不为。的等差数列｛q｝中，2%—%2+2〃“=0,数列｛%｝是等比数列，且

b-,=a-,,则b6b8=()

A.2B.4c.8D.16

5=J,则区=

9.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且4+cZ3='a2+a4()

4an

A.4'iB.4H-1

C.2'iD.2n-l

10.数列一；,；,-

…的通项公式可能是a%=（）

911

A,且RIzlZl(-D"T

C.D,"

3〃+23n+22及+32n+3

3

11.已知数列｛a｝满足2a-aa=1,a,=一，则“2021=()

nnnn+i12

2020202120222023

A.----B.----c.D.----

2019202020212022

12.等差数列｛4“｝中，a1+a2+a5=-24,al8+a19+a20=78,则此数列的前20项和

等于（）

A.160B.180C.200D.220

二、填空题

13.设｛%｝为等比数列，且%4=5,则2抬=.

14.已知｛a,,｝是递增的等差数列，是方程%2-5%+6=0的根.则%=.

15.若S“是等差数列｛%｝的前〃项和，S2=S,,=-22,则53=.

16.等差数列｛为｝中，S“为｛为｝的前"项和，若学=6,则3=______.

33d

三、解答题

17.已知等差数列｛%｝中，4=1,

(1)求数列｛勺｝的通项公式；

(2)求数列｛4｝的前九项和S“.

18.已知数列｛%｝的前n项和为5a=2n2-30n.

(1)当S“取最小值时，求〃的值；

(2)求出｛4｝的通项公式.

19.设〃eN*，数列｛0“｝的前〃项和为S“，已知=S,+a„+2,%,a2,牝成等

比数列.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

n

(2)若数列｛4｝满足bn=(-l)a„+(0产”，求数列也｝的前2〃项的和T2„.

20.已知点(1,))是函数/*)=1优3>0,。71)图象上一点，等比数列｛4｝的前〃项

62

和为c-f(n).数列依｝应>0)的首项为2c,前f项和满足疯=£7+1(〃..2).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝的前〃项和为北，问使(,>线塔的最小正整数〃是多少？

2017

21.已知数列｛4｝(〃eN*)是公差不为0的等差数列，若4=1,且利，七，的成

等比数列.

(1)求｛4｝的通项公式;

(2)若优=―--,求数列也｝的前〃项和S“.

an'an+i

22.设｛%｝是等比数列，其前〃项的和为S“，且生=2,52-3fl,=0.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若5“+。”>48,求”的最小值.

参考答案

1.A

【分析】

在等差数列｛斯｝中，利用等差中项由2名=为+%求解.

【详解】

在等差数列｛斯｝中，“5=3,"9=6,

所以2%=%+%3'

所以43=2a9—a5=2x6—3=9,

故选：A

2.C

【分析】

根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果.

【详解】

设等比数列｛a,J的公比为9，

因为q=2,且%=。3,所以q2=i,解得q=±l,

所以=4/=±2.

故选：C.

3.C

【分析】

根据题中条件，由q=S5-S4,即可得出结果.

【详解】

因为数列｛4｝的前项和5“=21+1,”eN*,

所以氏=$5-$4=(2x52+1)-(2x4、1)=18.

故选：C.

4.D

【分析】

根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】

因为在等差数列｛4｝中，若S.为其前〃项和，4=5，

所以詈1=11/=55.

故选：D.

5.D

【分析】

设该妇子织布每天增加4尺，由等差数列的前n项和公式即可求出结果

【详解】

设该妇子织布每天增加4尺，

20x19

由题意知$2。=20x4+—^—4=232,

4

解得d=g.

4

故该女子织布每天增加二尺.

故选：D

6.C

【分析】

利用等比数列的性质运算求解即可.

【详解】

根据题意，等比数列｛。“｝满足a；+2a必+必4。=16,

则有G+2生必+"；=16,即（。2+«8）'=16,

又由数列｛/｝为正项等比数列，故/+/=4.

故选：C.

7.B

【分析】

根据等差数列的性质可知4+%=%+/，结合题意，可得出%=8,最后根据等差数列

的前几项和公式和等差数列的性质，得出几=1"“；阳）=]5%,从而可得出结果.

【详解】

解：由题可知，生+。9=〃3+8，

由等差数列的性质可知/+%=%+%，则。8=8,

故'="（"；须）=1^^=15%=15x8=120.

故选：B.

8.D

【分析】

根据等差数列的性质得到%=4=加数列也｝是等比数列，故38=4=16.

【详解】

等差数列｛4｝中,%+4=2%，故原式等价于-4%=0解得%=0或%=4,

各项不为0的等差数列｛4｝,故得到%=4=优,

数列出｝是等比数列，故44=片=16.

故选：D.

9.D

【分析】

根据题中条件，先求出等比数列的公比，再由等比数列的求和公式与通项公式，即可求出结

果.

【详解】

因为等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且4+%=|，4+%=；

5

上.a,+a41

所以q=4=w==

q+432

2

q(j")]

\-q_\-qn

因此也1=2n-l.

J(1-加

故选：D.

10.D

【分析】

根据观察法，即可得出数列的通项公式.

【详解】

因为数列—LL-L-!"，…可写成

57911

(-l)x-^—,(-1)2X——-————-——,(-1)4X——-——

')2+3'72x2+3''2x3+3''2x4+3

所以其通项公式为an=(一1)"x♦与=异:.

故选：D.

11.D

【分析】

c13c14c15

根据题意可得。什|=2,先求弓=一，a2=2---=—,%=2----=~,

a„2q3a24

%=2—上=£,…，所以猜测q="2，经验证即可得解.

【详解】

因为2。“一。"。“+]=1,所以％=2一」

3014汽15c16

因为4二不，所以生=2---=—,%=2---=-,a4=2=-,

2q3a24%5

n4-2

所以猜测为=——，

〃+1

2〃+4〃+2〃+3〃+1

代入2%一----x-----=-----

〃+1〃+1〃+2〃+1

〃+22023

所以q=——满足题意,所以生021

〃+12022

故选：D.

【点睛】

本题考查了通过数列的递推关系求通项公式，考查了利用规律对通项公式的猜想和验算，属

于中档题.解本类问题有两个关键点：

(1)当数列无法直接得出通项公式时，可观察前几项的规律；

(2)通过前几项的规律进行猜想；

(3)最后验算，必须带入原等式进行验算.

12.B

【分析】

把已知的两式相加得到q+%)=18,再求520得解.

【详解】

由题得（弓+“20）+（4+49）+（4+“18）=-24+78=54,

所以3(q+4o)=54,q+a2。=18.

所以昆。=弓(4+4。)=10x18=180.

故选：B

13.10

【分析】

根据题中条件，由等比数列的性质，可直接得出结果.

【详解】

因为｛q｝为等比数列，且44=5,

所以2a；=2a4a6=10・

故答案为：10.

I,

14.—H+1

2

【分析】

先求得方程V-5x+6=0的根，根据｛凡｝是递增的等差数列，可求得。2，4的值，代入等

差数列的通项公式，即可求得公差d和首项外,进而可求得凡.

【详解】

方程/一5x+6=0的两根为2,3,由题意得%=2,%=3.

13

设数列｛4｝的公差为4则4一%=21,解得d=],从而q=],

311*

所以数列伍“｝的通项公式为%=：+5（〃-1）=/〃+1,（〃67^）.

故答案为：一“+1

2

15.0

【分析】

根据题意，利用等差数列的前〃项和公式列方程组，求得首项和公差，再利用等差数列的前

〃项和公式即可得解.

【详解】

、2a,+J=—22,fa=—12,

设｛（叫的公差为d,则由S,=品=一22,得g，解得Lc

[Ha,+55a=-22,[d=2,

"Sx2=0.

故$3=13x(-12)+

2

故答案为：0

16.2

【分析】

直接利用等差数列求和公式求解即可.

【详解】

So9a,+36d,

因为-------=6,

S33q+3d

所以q=2d,

所以3=2.

a

故答案为：2.

〃(〃+1)

17.(1)a=n-(2)S=------

n"2

【分析】

(1)根据题中条件，先得出公差，进而可求出通项公式；

(2)根据(1)的结果，由等差数列的求和公式，即可求出结果.

【详解】

(1)因为等差数列｛4｝中，首项为q=l,公差为一%=1，

所以其通项公式为%=1+(〃-1)=〃；

(2)由⑴可得，数列｛q｝的前〃项和s.二二)=M：+i).

18.(1)〃=7或〃=8；(2)an=4/z-32

【分析】

(1)直接对5.=2〃2—30〃.进行配方，由〃eN+可求出其最小值

(2)由%'。c求解｛4｝的通项公式

⑸一S“T，〃22

【详解】

解：(1)5“=2〃2-30〃=2(“2-15〃)=2若

因为〃GN+，

所以当〃=7或〃=8时，S“取最小值,

(2)当〃=1时，at=St=2-30=-28,

22

当〃22时，an=S„-Si=2n-30n-[2(〃-I)-30(〃-l)]=4n-32,

当”=1时，4=—28满足上式，

所以。“=4九一32

【点睛】

此题考查由数列的递推公式求通项公式，考查q,S“的关系，属于基础题

2n+1

19.(1)an=2n-l(neN*);(2)7；„=2+2n-2.

【分析】

(1)由S.M=S“+4,+2,得a,川一4=2(〃€N+),所以数列｛"”｝是以q为首项，2为公

差的等差数列，再由己知条件可得：卬=1,即可得解；

(2)由(1)得a“=2〃—1,所以“=(夜)"“+(_1)"q=2"+(—1)“(2〃-1),

分组求和即可得解.

【详解】

(1)由S“+i=邑+4+2,得a“+1一4=2(〃wN+),

所以数列｛4｝是以％为首项，2为公差的等差数列.

由q,a2,a5成等比数列可得靖=%%，

即(q+2)-=4(4+8),解得q=l,

所以为=2〃一1(〃6N*).

(2)由⑴得％=2〃-1,所以〃=(点产”+(—1)"4

=2"+(-1)"(2"-1)

所以耳=2(；'：)+[-1+3-5+7-一(4〃-3)+(4〃+1)]

=22n+,+2n-2.

【点睛】

本题考查了数列的基本量的运算和数列的分组求和法，是常规的计算题，属于基础题.

20.(1)%=谑；⑵59.

【分析】

(1)由已知求得a=—,a=c--,a,=(c--)-(c——)=—,

3x161869

111%1

%=(c-—)-(c一一)=—,得公比4=」=二，即可写出通项；

541827«23

(2)由题意可得可得再是首项为1,公差为1的等差数列.所以«=1+(〃-1)=〃，所

S=〃2

以s.=〃2,由〈”,(n..2),作差可得：bn=2n-\,〃=1时仿=1也满足上式

K，=(n-1)

(〃..2),根据裂项相消法求和即可得解.

【详解】

/(〃)=a，则等比数列｛4｝的前"项和为c一

1/1、，1、1,1.,1、1

a.=c——,=(c---)-(c——)=—，ci.-(c----)-(c)=—

1618693541827

a,1

由｛4｝为等比数列，得公比4=」=片，

1

91

4--==

13-

3-

(2)：由)=2c—1,得J=1,

当近2时，6-痒=1，则上是首项为1,公差为1的等差数列,

二«=1+(〃_1),S“=〃2(〃GN*)

s=n2

则《"2(〃-2),作差可得勿=2〃一1(〃..2).

〔s,_i=(〃T)-

当〃=1时，4=1满足上式

+

bn=2H-1,MG7V

----=-------------=­(------------)

bnbn+[(2〃—1)(2〃+1)22n-l2〃+1

1111

—I—+...H------

3352〃一1-1）=扪备卜备

由？；,=」一＞史艺，得”＞［理，则最小正整数〃为59.

2〃+1201717

【点睛】

本题考查了数列与函数，考查了求等比数列的通项公式以及裂项求和法，有一定的计算量,

属于中档题.