专题3.16 勾股定理（全章复习与巩固）（分层练习）（培优篇）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.16勾股定理（全章复习与巩固）（分层练习）（培优篇）一、单选题1．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（）A． B． C． D．2．如图，动点从（0，3）出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向下移动，同时动点从出发，沿轴以每秒2个单位长度的速度向右移动，当点移动到点时，点、同时停止移动．点在第一象限内，在、移动过程中，始终有，且．则在整个移动过程中，点移动的路径长为（

）A． B． C． D．3．如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（

）A．47 B．62 C．79 D．984．如图，在中，以AC为直角边向外作，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆，面积分别记为S1，S2，S3，S4，已知，，，则S4为（

）A．2 B．3 C． D．5．如图，在中，，以各边为斜边分别向外作等腰、等腰、等腰，将等腰和等腰按如图方式叠放到等腰中，已知，，则长为（

）A．2 B． C．6 D．86．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，O，E在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，下列结论：①∠COD＝45°；②AE＝5；③CF＝BD＝；④△COF的面积是．其中正确的结论为（）A．①②④ B．①④ C．②③ D．①③④7．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE＝90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE＝2FA；④AD2+BE2＝DE2．其中错误结论的个数有（  ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（

）A． B．2 C． D．9．若的三边长a、b、c满足，那么是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形10．图中不能证明勾股定理的是（

）A．B．C． D．11．如图，等边的边长为8．P，Q分别是边上的点，连结，交于点O．以下结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径长为．其中正确的（

）A．①②③ B．①④ C．①② D．①③④二、填空题12．如图，四边形中，，，，（表示的面积，表示的面积），则的长为______．

13．在中，，为上一点，连接交于，交于，若，，，则________．14．在矩形ABCD中，M为BC中点，连结AM，将△ACM沿AM翻折至△AEM，连结CE，BE，延长AM交EC于F，若，则BE＝___．15．在中，，，，为中点，为边上一动点，当四边形有一组邻边相等时，则的长为_____________．16．如图，点E在边DB上，点A在内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是_____（填序号）①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）．17．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，斜边的长为c，作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A，C，E三点在一条直线上.若，四边形与面积之和为13.5，则正方形的面积为_______________.18．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．19．如图,一个圆柱形水杯深20cm,口周长为36cm,在杯子外侧底面A点有一只蚂蚁,它想吃到杯子相对的内壁上点B处的蜂蜜,已知点B距离杯子口4cm,不考虑杯子的厚度,蚂蚁爬行的最短距离为________．三、解答题20．在数轴上作出表示的点21．计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：．(1)如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）(2)已知：两数x，y满足，，求的值．(3)如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）22．如图，已知圆柱底面的周长为12，圆柱的高为8，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是______．(2)如图①，求该长度最短的金属丝的长．(3)如图②，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？23．如图，长方形ABCD中，，．E为CD边上一点，．（1）求AE的长；（2）点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，是等腰三角形；②当t=______时，．24．如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．25．已知AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图1：连AM，BN，求证：AOM≌BON；（2）若将RtMON绕点O顺时针旋转，当点A，M，N恰好在同一条直线上时，如图2所示，线段OH//BN，OH与AM交点为H，若OB＝4，ON＝3，求出线段AM的长；（3）若将MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好落在AB边上时，如图3所示，MN与AO交点为P，求证：MP2+PN2＝2PO2．参考答案1．D【分析】过点作，过点作，连接交于点，根据勾股定理求出，再证明得，从而进一步可得结论．解：过点作，过点作，连接交于点，如图，在中，，在中，，∴∵，∴设，则，∴解得，,∴,∴；在中，，在中，，设，则同理可得，，解得，，∴∴∴又，∴，∴，又，∴，∴，∴∵，∴最小的圆形纸板的直径应当为才能完全遮盖四边形，故选：D．【点拨】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．2．A【分析】由题意过P点作交于D点，作交于E点，并利用全等三角形判定,得出，从而分当时，有（0，3），，设P点坐标为以及当时，有、O（0，0），、H，设P点坐标为，求出P点坐标，继而由点移动的路径为一条线段利用两点间距离公式求得点移动的路径长.解：由题意过P点作交于D点，作交于E点，如图，∵，∴,∴,∵,∴,即有,由题意可知，当时，有（0，3），，设P点坐标为，由，即有，解得，即此时P点坐标为；当时，有、O（0，0），、H，设P点坐标为，由即图上，即有，解得，即此时P点坐标为；由图可知点移动的路径为一条线段，则点移动的路径长为：.故选：A.【点拨】本题考查平面直角坐标系点的运动问题，熟练掌握全等三角形的性质和判定以及两点间距离公式是解题的关键.3．C【分析】依据每列数的规律，即可得到，进而得出的值.解：由题可得：……当故选：C【点拨】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.4．B【分析】以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，再分别用含AB、BC、CD、AD的式子表示S1，S2，S3，S4，结合可得S1＋S2＝S3﹣S4，从而可得答案．解：∵以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆的面积分别为S1，S2，S3，S4，∴，，∴，，∵∠ABC＝∠CAD＝90°，∴∴，∴S1＋S2＝S3﹣S4，∵S1＝3，S2＝1，S3＝7，∴3＋1＝7﹣S4，∴S4＝3，故选：B．【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键．5．D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由，可求b＝4，即可求解．解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴ABa，ACb，BCc，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵，∴（a+c）（c﹣a）＝16，∴c2﹣a2＝32，∴b2＝32，∴b＝4，∴ACb＝8，故选：D．【点拨】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．6．A【分析】①根据正方形的性质和平角的定义可求得∠COD；②根据正方形的性质求得OE的长，再根据线段的和差解得AE的长；③作于H，作交CO的延长线于G，根据含45°的直角三角形的性质可求FG的长，根据勾股定理可求得CF，BD的长，据此解答；④根据三角形面积公式即可解答．解：①故①正确；②故②正确；③作于H，作交CO的延长线于G，则FG=1故③错误；④，故④正确，即正确的结论为：①②④故选：A．【点拨】本题考查正方形的性质、含45°的直角三角形的性质、三角形面积、勾股定理、平角的定义等知识，综合性较强，掌握相关知识是解题关键．7．B【分析】结论①错误，因为图中全等的三角形有3对；结论②正确，由全等三角形的性质可以判断；结论③错误，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论④正确，利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断．解：连接CF，交DE于点P，如下图所示结论①错误，理由如下：图中全等的三角形有3对，分别为△AFC≌△BFC，△AFD≌△CFE，△CFD≌△BFE．由等腰直角三角形的性质，可知FA=FC=FB，易得△AFC≌△BFC．∵FC⊥AB，FD⊥FE，∴∠AFD=∠CFE．∴△AFD≌△CFE（ASA）．同理可证：△CFD≌△BFE．结论②正确，理由如下：∵△AFD≌△CFE，∴S△AFD=S△CFE，

∴S四边形CDFE=S△CFD+S△CFE=S△CFD+S△AFD=S△AFC=S△ABC，即△ABC的面积等于四边形CDFE的面积的2倍．结论③错误，理由如下：∵△AFD≌△CFE，∴CE=AD，∴CD+CE=CD+AD=AC=FA．结论④正确，理由如下：∵△AFD≌△CFE，∴AD=CE；∵△CFD≌△BFE，∴BE=CD．在Rt△CDE中，由勾股定理得：，∴．故选B．【点拨】本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强．解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质．8．C【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果．解：过点K作，与的延长线交于点M，∵，，∴，∵是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，，∵，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴中，．故选：C．【点拨】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形．9．B【分析】先用完全平方公式进行因式分解求出a、b、c的值，再确定三角形的形状即可．解：，移项得，，，，，，，，是直角三角形，故选：B．【点拨】本题考查了运用完全平方公式因式分解，勾股定理逆定理，非负数的性质，解题关键是通过等式的变形，恰当的拆数配成完全平方，再根据非负数的性质求边长．10．A【分析】根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项．解：A选项不能证明勾股定理；B选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得；C选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得；D选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式，可得．故选：A．【点拨】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．11．B【分析】第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹(通过对称性)在来计算路径长．解：①在三角形△BAP和△ACQ中：则△BAP≌△ACQ(SAS)；①正确；②如图1，题中AQ=BP，存在两种情况：在的位置，∠AOB=120°，在的位置，∠AOB的大小无法确定；②错误；③本问与AP=CQ这个条件无关，如图，P还是会有两个位置即：、，当在时，作BE⊥AC于E点，则E为AC中点，∵AB=8，AE=，∴，又BP=7，∴,∴CP=CE+PE=5，当在时，同理解△BCP，得CP=CE-PE=3；故③错；④由题可得：AP=BQ，由对称性可得O的运动轨迹为△ABC中AB边上的中垂线则∵AB=8，∴BC=AB=8，则AB边上的中垂线的长为：∴运动轨迹路径长为；④正确；∴正确的为①④；故选：B．【点拨】此题考查了三角形全等，利用等边三角形的性质找出相应的全等条件是关键，还考查了等边三角形是周对称图形这一性质．12．【分析】将沿折叠得到，即可得到，，，结合，即可得到，即可得到，得到，可得，，根据可得，结合即可得到答案.解：将沿折叠得到，∵沿折叠得到，∴，，，∵，∴

∴，∵，∴，∴，，，∵，∴，即：，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案为：；

【点拨】本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线找到段关系根据面积关系列等式．13．12【分析】作的平分线交于，交于，结合可得，进而可证，得到，推出，即可证明，得到，最后在中用勾股定理计算即可．解：作的平分线交于，交于，如图∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用二倍角作辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．14．．【分析】根据四边形是矩形，可知，，，由是的中点，可知，由折叠性质可知，，即可证明，再利用三角形的内角和，得到，根据，，可知垂直平分，即可得到，利用勾股定理得到，设，代入等式，即可求出的值，即可解决问题．解：四边形是矩形，，，，是的中点，，由折叠的性质可知，，，，，，，，，，，，，垂直平分，，，是的中点，，在中，，在中，，在中，，，，，设，则，解得：，，．故答案为：．【点拨】本题四边形的综合题，考查了矩形的性质，图形的折叠，全等三角形的性质，勾股定理等知识．15．或或．【分析】分、、三种情况考虑，当时，由即可求出的长度；当时，过点作于，通过解直角三角形可得出的长度，再根据等腰三角形的三线合一即可得出的长度；当时，过点作于，设，则，利用勾股定理表示出的值，结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而即可得出的长度，综上即可得出结论．解：在中，，，，，，为中点，，当四边形有一组邻边相等时，由以下三种情况．①如图1，当时，，；②如图2，当时，作，垂足为点，，，在中，，，；③如图3，当时，作，垂足为点，，设，则，在中，，，，，即，解得：，即，．故答案为：或或．【点拨】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形以及解一元一次方程，分三种情况寻找的长度是解题的关键．16．①③【分析】①由已知条件证明DAB≌EAC即可；②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°；③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45°+45°=90°可判断③；④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判断④．解：∵DAE＝BAC＝90°，∴DAB＝EAC，∵AD＝AE，AB＝AC，∴AED=ADE=ABC=ACB=45°，∵在DAB和EAC中，，∴DAB≌EAC，∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正确；由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②错误；∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45°+45°=90°，∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确；∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2．∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④错误．故答案为：①③．【点拨】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键．17．36【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，．解：如图，作于点，则，四边形、四边形、四边形都是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，①，，②，由①②得，，，故答案为：36．【点拨】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．18．5【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴；如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，∵,∴．故答案为：5；．【点拨】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P、Q的位置是解题关键．19．30cm【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边EF的对称点D，然后利用勾股定理求出AD的长，再算出时间．解：解：如图，AC=36÷2=18cm，作B关于EF的对称点D，连接AD，则PB=PD蚂蚁走的最短路程是AP+PB=AP+PD=AD，由图可知，CD=20+4=24（cm）．根据勾股定理可得：AD==30蚂蚁爬行的最短距离为30cm故答案为30cm.【点拨】本题考查的是平面展开-最短路径问题，将图形展开，“化曲面为平面”，利用勾股定理进行计算是解题的关键．20．见分析【分析】首先将这个无理数的平方分成两个整数的平方，然后在数轴上标出其中一个正数，再在这个整数所在的直线上的上方标出另外一个点，最后以数轴的原点为圆心，原点与这个点的距离为半径画弧，交数轴的正方向上的一点，这个点即为我们所要作的点解：把看作是一个直角三角形的斜边，由勾股定理，可得直角三角形的两直角边的整数解为2和4，在数轴的正半轴上找一点A，使得OA=4，作直线l垂直OA，在l上取一点B，使得AB=2，以原点O为圆心，OB为半径画弧，弧与数轴的交点C即为表示的点，如图所示：【点拨】此题主要考查的是借助数轴画出无理数在数轴上所对的点21．(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出；（2）根据（1）中等式，整体代入计算；（3）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出．（1）解：如图2，正方形的面积，正方形的面积，；（2），且，，，即，的值为．（3）如图3，正方形的面积，正方形的面积，，即．【点拨】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用面积法得出完全平方公式：．解题时注意数形结合思想的运用．22．(1)A；(2)；(3)【分析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（2）要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可；（3）若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍．（1）解：因圆柱的侧面展开面为长方形，展开应该是两线段，且有公共点．故选：A；（2）解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度．圆柱底面的周长，圆柱的高，该长度最短的金属丝的长为．（3）解：若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是以周长及的高为直角三角形的斜边长的4倍：．【点拨】本题考查了平面展开最短路径问题，解题的关键是掌握圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．23．（1）5；（2）2或或；（3）【分析】（1）求出，，利用勾股定理即可求出AE的长；（2）①根据若是等腰三角形，分三种情况讨论：，和时．分别进行求解即可；②过点E作，利用勾股定理可以表示出在和中，，，联立方程即可求解．解：（1）∵四边形ABCD是长方形，∴，，∴，

在中，，（2）①若为等腰三角形，则有三种可能.当时，，∴，当时，，∴，当时，过点E作，在中，，∴，即，解得：，，∴综上所述，符合要求的t值为2或或；②当时，在中，，即，在中，，即，∴，解得：，∴，∴，∴当时，．【点拨】本题考查了勾股定理的综合应用，解题的关键是注意分类讨论思想，以防漏解．24．（1）△ABC是直角三角形，理由见分析；（2）（2）甲方案所修的水渠较短；理由见分析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果．解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠较短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC，∴CH＝（m），∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝