专题2.8等边三角形大题培优专练（压轴篇）-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.8等边三角形大题培优专练（压轴篇）班级：_____________姓名：_____________得分：_____________一、解答题1．（2023春·广东·八年级统考期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC．(1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你写出结论，并说明理由．AEDB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点(3)【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（直接写出结果）．【答案】(1)=(2)=，见解析(3)3【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠D=∠ECD，再由等边三角形的性质得到∠ECD=12∠ACB=30°，然后证∠D=∠DEB（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证出△AEF为等边三角形，得出AE=EF，再证△DBE≌△EFC，得出（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，同（2）得出△BEF为等边三角形，△DBE≌△EFC，则BF=EF=1，【详解】（1）AE=DB，理由如下：∵ED=EC，∴∠D=∠ECD，∵三角形ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠ABC=60°，∵点E为AB的中点，∴∠ECD=12∠ACB=30°∴∠D=30°，∵∠ABC=∠D+∠DEB，∴∠DEB=∠ABC-∠D=30°，∴∠D=∠DEB，∴DB=BE，∴AE=DB；（2）AE=DB，理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点则∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∠FEC=∠ECD，∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠AEF=∠AFE=∠A=60°，∴△AEF为等边三角形，∴∠EFC=120°，∴AE=EF，∵ED=EC，∴∠D=∠ECD，∴∠D=∠FEC，在△DBE和△EFC中，∠DBE=∠EFC∠D=∠FEC∴△DBE≌△EFCAAS，∴DB=EF，∴AE=DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥同（2）可得则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB=1，AE=2，∴BE=1，∴BF=BE=1，∵DB=FC=FB+BC=2，则CD=BC+DB=3．【点睛】本题是三角形综合题目，考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，点D为线段BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．

(1)如图1，若∠BAC=∠DAE=60°，判断△BEF的形状并说明理由；(2)若∠BAC=∠DAE≠60°，如图2，判断△BEF的形状，并说明理由．【答案】(1)△BEF为等边三角形，理由见解析(2)△BEF为等腰三角形，理由见解析【分析】（1）证明△EAB≌△DAC，得到∠EBA=∠C=60°，根据EF∥BC，得到（2）证明△EAB≌△DAC，得到∠EBA=∠C，根据EF∥BC，得到【详解】（1）△BEF为等边三角形，理由如下：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴△AED和△ABC为等边三角形，∴∠C=∠ABC=60°，∠EAB=∠DAC，组合EA=DA，∴△EAB≌△DACSAS∴∠EBA=∠C=60°，∵EF∥∴∠EFB=∠ABC=60°，∵在△BEF中，∠EFB=∠EBA=60°，∴△BEF为等边三角形，（2）△BEF是等腰三角形；理由如下：∵∠BAC=∠DAE，∴∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD，即：∠EAB=∠DAC．∵AB=AC，AD=AE，∴△EAB≌△DACSAS∴∠ABE=∠C，又由AB=AC得：∠C=∠ABC∴∠ABE=∠ABC，∵EF∥∴∠EFB=∠ABC，∴∠EFB=∠ABE，

∴EB=EF（等角对等边），∴△BEF为等腰三角形．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明△EAB≌△DAC是解题的关键．3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，△ABC是等边三角形，D是AC边上一点，在CA右侧作∠ACE=∠ABD，且CE=BD，连接AE，DE．(1)求证：△ADE是等边三角形；(2)若D是等边△ABC外一点，且与点A都在直线BC同侧，若∠BDC=60°，连接AD，画出图形，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明过程见详解(2)当点D在AC右侧时，BD=AD+CD；当点D在AB左侧时，CD=BD+AD，理由见详解【分析】（1）△ABC是等边三角形，∠ACE=∠ABD，CE=BD，可证△ABD≌△ACE(SAS（2）如图所示（见详解），当点D在AC右侧时，当点D在AB左侧时，【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，又∵∠ABD=∠ACE，BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS∴AD=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴△ADE是等边三角形；（2）解：如图所示，当点D在AC右侧时，BD=AD+CD．证明：在BD上取点M，使BM=CD，连结AM，设AC与BD交于点O，∵∠BDC=60°，∴∠BDC=∠BAC，又∵∠COD=∠AOB，∴∠ABO=∠ACD，又∵AB=AC，BM=CD，∴△ABM≌△ACD(SAS∴AM=AD，∠BAM=∠CAD，∴∠BAM+∠CAM=∠CAD+∠CAM，即∠BAC=∠MAD=60°，∴△AMD是等边三角形，∴AD=MD．∵BD=BM+MD，∴BD=AD+CD；如图，当点D在AB左侧时，CD=BD+AD．在CD上取点N，使CN=BD，连接AN，同理可得△ABD≌△ACN(SAS∴AD=AN，∠BAD=∠CAN，同理可得△ADN为等边三角形，AD=DN，∵CD=CN+DN，∴CD=BD+AD．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键．4．（2022秋·陕西商洛·八年级统考期末）已知，在等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，BE=CD，连接AE、(1)如图1，求∠AFD的度数；(2)如图2，过点A作AH⊥BD于H，若EF=HD，求证：BF=HF；(3)如图3，在（2）的条件下，延长BD到点M，连接AM，使∠AMB=∠ABM，若AF=10，求FM的长．【答案】(1)∠AFD=60°(2)见解析(3)15【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=BC,∠ABC=∠C=60°，可证明△ABE≌△BCD，从而得到∠BAE=∠CBD，然后依据三角形的外角的性质得到∠AFD=60°；（2）由（1）得△ABE≌△BCD,∠AFD=60°求出AE=BD，∠FAH=30°，再由直角三角形的性质得出HF=12AF，得出AF=BH（3）由（2）得：BH=AF=10,HF=12AF=5，由等腰三角形的性质得出MH=BH=10【详解】（1）解：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°，在△ABE和△BCD中，AB=BC∠ABE=∠BCD∴△ABE≌△BCDSAS∴∠BAE=∠CBD，∴∠AFD=∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠CBD=∠ABC=60°；（2）证明：由（1）得：△ABE≌△BCD,∠AFD=60°，∴AE=BD，∵AH⊥BD，∴∠FAH=30°，∴HF=1∵EF=HD，∴AF=BH，∴HF=1∴BF=HF；（3）解：由（2）得：BH=AF=10,HF=1∵∠AMB=∠ABM，∴AB=AM，∵AH⊥BD，∴MH=BH=10，∴FM=FH+HM=5+10=15．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含30°的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．5．（2022秋·上海杨浦·八年级统考期中）如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，点D、A、C在同一直线上，延长BA交边DE于点F，联结AE、BD．(1)试说明△ADB≌△FAE的理由；(2)延长EA交BD于点H，求∠DHE的度数．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）证△ADF是等边三角形，得AD=FA=DF，∠DFA=60°，再证CD=BF，则AB=FE，然后证∠BAD=∠EFA，进而证△ADB≌△FAE；（2）由全等三角形的性质得∠ABD=∠FEA，再证∠DHE=∠FEA+∠FAE，即可得出结论．【详解】（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB=AC，∠DAF=∠BAC=60°，∠CDE=60°，CD=DE，∴△ADF是等边三角形，∴AD=FA=DF，∠DFA=60°，∴AC+AD=AB+FA，即CD=BF，∴BF-FA=DE-DF，即AB=FE，∵∠BAD=180°-∠DAF=180°-60°=120°，∠EFA=180°-∠DFA=180°-60°=120°，∴∠BAD=∠EFA，在△ADB和△FAE中，AD=FA∠BAD=∠EFA∴△ADB≌△FAE（（2）解：由（1）得：△ADB≌△FAE，∴∠ABD=∠FEA，∵∠DHE=∠ABD+∠BAH，∠FAE=∠BAH，∴∠DHE=∠FEA+∠FAE，∵∠DFA=∠FEA+∠FAE，∴∠DHE=∠DFA=60°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．6．（2023秋·山东日照·九年级校考阶段练习）△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则∠BCE=______度；（2）将图①中的△CDE绕着点C逆时针旋转到如图②的位置，求证：AD=BE．【答案】（1）120；（2）证明见解析．【分析】（1）根据△CDE是等边三角形及点B、C、D在同一条直线上即可求解；（2）证明ΔBCE≌ΔACD即可求解．【详解】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE=60°，∵点B、C、D在同一条直线上，∴∠BCE+∠DCE=180°，∴∠BCE=180°-∠DCE=120°（2）∵△ABC与△CDE都是等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE与△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACD∴ΔBCE≌ΔACDSAS∴BE=AD．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．7．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5，点D在CB的延长线上，点M在∠ABD的平分线上，连接DM，AM，AD，且DM=AM

(1)求AB的长；(2)求证：△ADM是等边三角形；(3)求BM-BD的值．【答案】(1)10(2)见解析(3)10【分析】（1）先求出∠BAC=30°，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB的长；（2）过点M作MF⊥AB于点F，作MG⊥CB交CB的延长线于点G，根据平角定义和四边形内角和为360°，可求出∠FMG=60°，根据角平分线性质可得MG=MF，可证明Rt△MGD≌Rt△MFAHL，得∠AMF=∠DMG，可得（3）在BM上截取BE=BD，连接DE，则△BDE是等边三角形，可证明△MDE≌△ADBSAS得ME=AB=10，得到【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=5∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×5=10，∴AB的长为10；（2）如图，过点M作MF⊥AB于点F，作MG⊥CB交CB的延长线于点G，

∵∠ABD=180°-∠ABC=120°，∴∠FMG=360°-90°-90°-120°=60°，∵∠G=∠MFA=90°，点M在∠ABD的平分线上，∴MG=MF，在Rt△MGD和RtDM=AMDG=FM∴Rt∴∠AMF=∠DMG，∴∠AMF+∠FMD=∠DMG+∠FMD，即∠AMD=∠FMG=60°，∵AM=MD，∴△ADM是等边三角形；（3）如图2，在BM上截取BE=BD，连接DE，

∵∠EBD=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=DB，∠BDE=60°，∴∠MDE=∠ADB=60°-∠ADE，在△MDE和△ADB中，DE=DB∠MDE=∠ADB∴△MDE≌△ADBSAS∴ME=AB=10，∴BM-BD=BM-BE=ME=10．【点睛】此题重点考查直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、同角的补角相等、等边三角形的判定与性质，角平分线性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．8．（2022秋·北京·八年级北京市十一学校校考阶段练习）如图，在等边△ABC中，点D是线段BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为E．连接CE并延长，交射线AD于点F．

(1)根据题意，补全图形；(2)设∠BAF=α，求∠BCF的度数(用α表示)；(3)用等式表示线段AF、CF、EF之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)α(3)AF=EF+CF，见解析【分析】（1）依照题意画出图形即可；（2）根据∠BCF=∠ACE-∠ACB，求出∠ACE、（3）结论：AF=EF+CF，如图，作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，证明△ACG≌△BCF即可解决问题．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：连接AE，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴AE=AB，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∴∠EAC=60°-2α，∴∠ACE=1∴BCF=∠ACE-∠ACB=60°+α-60°=α；（3）解：结论：AF=EF+CF，证明：如图，作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，

∵∠BAF=∠BCF=α，∴∠ABC=∠AFC=60°，∴△FCG是等边三角形，∴GF=FC，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，∴∠ACG=∠BCF=α，在△ACG和△BCF中，CA=CB∠ACG=∠BCF∴△ACG≌△BCFSAS∴AG=BF，∵点B关于射线AD的对称点为E，∴BF=EF，∴AF-AG=GF，∴AF=EF+CF．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．（2023秋·广西南宁·八年级南宁二中校考阶段练习）如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．

(1)若AD=BE=CF，求证：△DEF是等边三角形；(2)若△DEF是等边三角形，AD=BE=CF成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)成立，见解析【分析】（1）利用等边三角形的性质可得AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°，由AD=BE=CF，易得BD=CE=AF，利用全等三角形的判定定理可得△ADF≌△BED≌△CFE，易得DF=ED=EF，可得结论；（2）首先证得∠FEC=∠BDE，利用全等三角形的判定定理可得△EFC≌△DEB≌△FDA，易得AD=BE=CF．【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=CA，∠A=∠B=∠C=60°，∵AD=BE=CF，∴BD=CE=AF，∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DF=ED=EF，∴△DEF为等边三角形；（2）成立．∵△DEF为等边三角形，∴DE=EF，∠DEF=60°，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠FEC+∠DEB=180°-∠DEF=120°，∠BDE+∠DEB=120°，∴∠FEC=∠BDE，在△EFC与△DEB中，∠B=∠C=60°∠BDE=∠FEC∴△EFC≌△DEB，∴BE=CF，同理可得，BE=AD，∴AD=BE=CF．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质等，利用等量代换，综合运用定理是解答此题的关键．10．（2021秋·辽宁盘锦·八年级校考期中）某数学小组学习了图形的全等之后，进行了如下研究：

(1)已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为D，E．①如图1．当直线m经过△ABC内部时，在图1中完成，经测量发现，DEBD-CE；(填“=”“<”或“>”)；②如图2，当直线m经过△ABC外部时，DE，BD，(2)如图3，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．（1）②中的结论是否成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展与说明：如图4，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，且DE=a，F是∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE．若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求∠DFE的度数．【答案】(1)①=；②DE=BD+EC(2)仍然成立，理由见解析(3)∠DFE=60°．【分析】（1）①证明△BAD≌△ACE(AAS)，可得BD=AE，DA=EC，②证明△BAD≌△ACE(AAS)，可得BD=AE，DA=EC，（2）证明△ABD≌△CAE，可知AD=CE，（3）△ABF与△FAC都是等边三角形，△BFD≌△AFE，由此即可求解．【详解】（1）解：①DE=BD-EC证明：如图：

∵∠BAC=90°，BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BAD+∠CAE=∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE，且∠BDA=∠AEC=90°，AB=AC，∴△BAD≌△ACE(AAS∴BD=AE，DA=EC，∵DE=AE-DA，∴DE=BD-EC如图：

同理，△BAD≌△ACE(AAS∴BD=AE，DA=EC，∵DE=DA-AE，∴DE=CE-BD，综上，DE=BD-EC故答案为：=；②DE=BD+EC，证明：∵∠BAC=90°，BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BAD+∠CAE=∠CAE+∠ACE=90°，∴∠BAD=∠ACE，且∠BDA=∠AEC=90°，AB=AC，∴△BAD≌△ACE(AAS∴BD=AE，DA=EC，∵DE=DA+AE，∴DE=BD+EC；故答案为：DE=BD+EC；（2）解：仍然成立，理由如下：∠BDA=∠BAC=∠CEA=α，∵∠DBA+∠BAD=180°-α，∠BAD+∠EAC=180°-α，∴∠DBA=∠EAC，∵AB=AC，∴△ABD≌∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD+AE=BD+EC；（3）解：由（2）可知：△ABD≌△CAE，又∵△ABF与△FAC都是等边三角形，∴∠ABE=∠FAC=60°，∴∠FBD=∠FAE，又∵BF=FA，∴△BFD≌△AFE，∴∠BFD=∠AFE，∵∠BFA=60°，∴∠DFE=60°．【点睛】本题主要考查全等三角形的判断和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法，性质，等边三角形的性质是解题的关键．11．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接(1)求证：△OCD是等边三角形；(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)△AOD是直角三角形，理由见解析(3)见解析【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；（2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO=90°，那么可得所求三角形的形状；（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．【详解】（1）证明：∵△BOC≌∴OC=DC，∵∠OCD=60°，∴△OCD是等边三角形．（2）△AOD是直角三角形．理由如下：∵△OCD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∵△BOC∴∠ADC=∠BOC=α=150°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，∴△AOD是直角三角形．（3）∵△OCD是等边三角形，∴∠COD=∠ODC=60°．∵∠AOB=110°，∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-190°-α①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，∴α=125°．②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，∴α=140°．③当∠ADO=∠OAD时，α-60°=50°，∴α=110°．综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．12．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，在CA的延长线上取点D，在BC上取点E、F，连接ED、DF，DE交AB于点G，已知∠FDC=∠AGD．(1)如图1，求证：DE=DF；

(2)如图2，若∠EDF=∠B+∠FDC，连接GF，∠GFD=∠DGA，求证：DG=BE；

(3)如图3，在（2）的条件下，延长BA至点H，连接HF，使∠H=∠DFE，且DG=AG，若BE+EG+FC=10，求BH长．

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)10．【分析】（1）根据等腰三角形的性质，得出∠B=∠C，再根据∠FDC=∠AGD以及三角形外角性质，得出∠DEF=∠DFE，即可得到DE=DF；（2）先判定△DEF是等边三角形，再过点G作GM∥EF，交DF于点M，则△DGM为等边三角形，进而得出DG=GM=DM，GE=FM，∠BEG=∠GMF=120°，再根据∠GFM=∠DGA=∠BGE，可得△BEG≌△GMFASA（3）先根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出∠FGH=∠FGE，再根据△DEF是等边三角形，且∠H=∠DFE，得出∠H=∠GEF=60°，进而判定△GEF≌△GHF，得到HF=EF=DE，再判定△BFH≌△CDEAAS，即可得出BH=EC=EF+CF=DE+CF=DG+GE+CF=BE+EG+FC=10【详解】（1）证明：如图1，∵AB=AC，

∴∠B=∠C，∵∠FDC=∠AGD=∠BGE，∴∠B+∠BGE=∠C+∠FDC，又∵∠DEF=∠B+∠BGE，∠DFE=∠C+∠FDC，∴∠DEF=∠DFE，∴DE=DF；（2）证明：∵∠EDF=∠B+∠FDC=∠C+∠FDC，∠DFE=∠C+∠FDC，∴∠EDF=∠DFE，∴ED=EF，又∵DE=DF，∴ED=EF=DF，即△DEF是等边三角形，如图2，过点G作GM∥EF，交DF于点M，则

∴DG=GM=DM，GE=FM，∠DMG=∠DEF=60°，∴∠BEG=∠GMF=120°，又∵∠GFM=∠DGA=∠BGE，∴△BEG≌△GMFASA∴BE=GM=DG；（3）解：如图3，∵DG=AG，

∴∠GDA=∠GAD，又∴GF∥∴∠FGH=∠GAD，∠FGE=∠GDA，∴∠FGH=∠FGE，∵△DEF是等边三角形，且∠H=∠DFE，∴∠H=∠GEF=60°，∵在△GEF和△GHF中，∠H=∠GEF∠FGH=∠FGE∴△GEF≌△GHFASA∴HF=EF=DE，∵在△BFH和△CDE中，∠B=∠C∠H=∠DEF∴△BFH≌△CDEAAS∴BH=EC=EF+CF=DE+CF=DG+GE+CF=BE+EG+FC=10．【点睛】本题主要考查了请点击三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．13．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，BC=DE．边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧．

(1)若∠B=30°，∠APC=70°，求∠CAE的度数；(2)当∠B=30°，AB⊥AC，AB=6时，设AP=x，请用含x的式子表示PD，并写出PD的最大值【答案】(1)40°(2)PD=6-x；当x=3时，PD有最大值，即PD=3【分析】（1）根据SAS证明△ABC与△ADE全等，进而解答即可；（2）根据当AD⊥BC时，x最小，进而利用三角形面积公式解答即可．【详解】（1）解：在△ABC与△ADE中，AB=AD∠B=∠D∴△ABC≌∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∵∠B=30°，∠APC=70°，∴∠CAE=∠BAD=∠APC-∠B=70°-30°=40°；（2）解：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∵AB=6，AP=x，△ABC≌∴AB=AD=6，∴当AD⊥BC时，x最小，PD最大，PD=6-x，∵∠B=30°，AD⊥BC，∴∠APB=90°，∴AP=1∴AP=x=3时，PD有最大值，即PD=AD-AP=6-3=3．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定两个三角形全等的方法是解题的关键．14．（2023秋·吉林·八年级校考期末）【感知】如图①，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD=CF．若DE⊥BC，则∠DFC的大小是______度；【探究】如图②，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF=60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD=CF．求证：BE=CD；【应用】若D是边BC的中点，且AB=2，其它条件不变，如图③所示，则四边形AEDF的周长为______．

【答案】90；证明见解析；4【分析】【感知】根据等边三角形的性质可知∠C=60°，求得∠FDC=30°，再根据三角形内角和定理即可求出∠DFC的度数；【探究】根据等边三角形的性质可知∠B=∠C=60°，推得∠B=∠EDF，根据三角形的外角性质可推得∠BED=∠CDF，根据全等三角形的判定和性质即可证明；【应用】根据等边三角形的性质可知∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2，推得BD=CD=CF=AF=1，根据全等三角形的性质可得BE=CD=1，DE=DF，根据等边三角形的判定和性质可得DF=DE=BD=1，即可求出四边形AEDF的周长．【详解】【感知】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵DE⊥BC，∴∠EDC=90°，∵∠EDF=60°，∴∠FDC=EDC-∠EDF=90°-60°=30°，∴∠DFC=180°-∠FDC-∠C=180°-30°-60=90°，故答案为：90；【探究】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵∠EDF=60°，∴∠B=∠EDF，∵∠EDC是△BED的外角，∴∠B+∠BED=∠EDC=∠EDF+∠CDF，∴∠BED=∠CDF，在△BED和△CDF中，∠BED=∠CDF∠B=∠C∴△BED≌∴BE=CD；【应用】解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，∴∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2，∵D是BC的中点，BD=CF，∴BD=CD=CF=AF=1，由探究可知△BED≌∴BE=CD=1，DE=DF，∵∠B=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DF=DE=BD=1，∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．15．（2022秋·北京海淀·八年级清华附中校考期中）在等边△ABC中，D为直线BC上一动点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连CE．

(1)如图1，若点D在线段BC上，求证：BD=CE；(2)若AC=7，CE=3，直接写出CD的长度．【答案】(1)证明见解析(2)CD的长为4或10【分析】（1）证明△ABD≌△ACESAS（2）分两种情况画出图形，结合（1）的结论可得答案．【详解】（1）证明：如图1中，∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACESAS∴BD=CE；（2）解：①D在边BC上，如图：

∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC=7，由（1）知BD=CE=3，∴CD=BC-BD=7-3=4，②D在B左侧时，如图：

同理可证△ABD≌△ACESAS∴BD=CE=3，∴CD=BC+BD=7+3=10，综上所述，CD的长为4或10．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ABD≌△ACE．16．（2023秋·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．(1)求证：AE=BD；(2)求证：CM=CN．(3)判断△CMN的形状，并说明理由．【答案】(1)证明见详解；(2)证明见详解；(3)△CMN是等边三角形，证明见详解【分析】（1）先由△ACD和△BCE是等边三角形，可知AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，故可得出∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，根据SAS可证得△ACE≌△DCB，由全等三角形的性质即可得出结论；（2）由（1）中△ACE≌△DCB，可得到∠NDC=∠MAC，由△ACD和△BCE是等边三角形，AC=DC，∠DCA=∠ECB=∠NCD=60°，根据ASA可证的△NCD≌△MCA，即可得到CM=CN，（3）根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可判断．【详解】（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC=DC，CE=CB，∠DCA=60°，∠ECB=60°，∵∠DCA=∠ECB=60°，∴∠DCA+∠DCE=∠ECB+∠DCE，∠ACE=∠DCB，在△ACE与△DCB中，AC=DC∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB(SAS∴AE=BD；（2）∵由（1）得△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD=∠ECB=60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN=60°，在△ACM与△DCN中，∠MAC=∠NDCAC=DC∴△ACM≌△DCN(ASA)∴MC=NC；（3）△CMN为等边三角形，理由如下：∵∠MCN=60°，MC=NC，∴△MCN为等边三角形．【点睛】本题属于三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．17．（2023秋·广东广州·八年级广州市广外附设外语学校校考阶段练习）如图，△ABD和△BCE均为等边三角形，∠ABC<105°，AE与DC交于点F，

(1)求证：AE=DC；(2)求∠DFE的度数；(3)若AF=9cm，BF=3.5【答案】(1)见解析(2)∠DFE=120°；(3)CD=20【分析】（1）由等边三角形的性质可知∠DBA=∠EBC=60°，BD=AB，BC=BE．从而可证∠DBC=∠ABE．即可利用SAS可证明△DBC≌△ABE，得出结论（2）由△DBC≌△ABE可知∠BDF=∠BAF．再结合等边三角形的性质可求出∠FDA+∠DAF=120°，进而求出∠DFA=180°-120°=60°，即求解；（3）过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．由△DBC≌△ABE，得出结论BH=BN，即得出BF平分∠DFE，即可求出∠BFE=60°．延长BF至Q，使FQ=AF，连接AQ．证明△AFQ是等边三角形，得出结论AF=AQ=BQ，∠FAQ=60°．证明△DAF≌△BAQSAS【详解】（1）证明：∵△ABD和△BCE都是等边三角形，∴∠DBA=∠EBC=60°，BD=AB，∴∠DBA+∠ABC=∠EBC+∠ABC，即∠DBC=∠ABE，∵在△DBC和△ABE中，BD=AB∠DBC=∠ABE∴△DBC≌△ABESAS∴AE=DC；（2）解：∵△DBC≌△ABE，∴∠BDF=∠BAF，∵△ABD是等边三角形，∴∠BDA+∠BAD=120°，∴∠FDA+∠DAF=120°，∴∠DFA=180°-120°=60°，∴∠DFE=180°-60°=120°；（3）解：如图，过点B作BN⊥CD于N，BH⊥AE于H．∵△DBC≌△ABE，AE=DC，∴S△DBC∴BH=BN，∴BF平分∠DFE，∴∠BFE=1如图，延长BF至Q，使FQ=AF，连接AQ．

则∠AFQ=∠BFE=60°，∴△AFQ是等边三角形，∴AF=AQ=BQ，∠FAQ=60°，∵△ABD是等边三角形，∴AD=AB，∴∠DAB+∠BAF=∠BAF+∠FAQ，即∠DAF=∠BAQ，在△DAF和△BAQ中，AD=AB∠DAF=∠BAQ∴△DAF≌△BAQSAS∴DF=BQ=BF+FQ=BF+AF，∴CD=DF+CF=BF+AF+CF=3.5+9+7.5=20cm【点睛】本题为三角形综合题．考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及角平分线的判定和性质．正确的作出辅助线也是解答本题的关键．18．（2021秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）已知：△ABC是等边三角形，点E在边AC上，点D在边BC上，且∠AEB+∠ADB=180°，连接AD、BE相交于点G，过点B作BF⊥AD，垂足为F．

(1)证明：BE=AD(2)如图1，求证：EG+2GF=AD；(3)如图2，△ABG和△MBG关于直线BG对称（点A的对称点是点M），BM与AD相交于点N，若EG:GN=1:2，AG=3，求GN的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)GN=2【分析】（1）通过证明△ABE≌△CADAAS（2）根据△ABE≌△CAD，得出∠CAD=∠ABE，根据三角形的外角定理推出∠BGF=60°，则BG=2FG，得出BE=BG+GE=2FG+GE，即可求证（3）设∠ABG=α，推出∠BND=60°+α，∠BDN=60°+α，则∠NBF=∠DBF=30°-α，设DF=FN=b，GE=a，GN=2a，推出BG=4a+2b，则BE=5a+2b，根据AG=3，推出AD=3+2a+2b，最后根据AD=BE，求出a=1，即可求解．【详解】（1）证明：∵∠AEB+∠ADB=180°，∠ADC+∠ADB=180°，∴∠AEB=∠ADC，∠BAE=∠C=60°，AB=AC，∴△ABE≌∴BE=AD；（2）证明：∵△ABE≌∴∠CAD=∠ABE，∴∠BGF=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BF⊥AD，∴∠GBF=30°，∴BG=2FG，∴BE=BG+GE=2FG+GE，∴EG+2GF=AD；（3）解：设∠ABG=α，∴∠ABG=∠NBG=∠CAD=α，∴∠BND=∠BGN+∠GBN=60°+α，∠BDN=∠CAD+∠C=60°+α，∵BF⊥AD，∴∠NBF=∠DBF=90°-60°+α设DF=FN=b，GE=a，GN=2a，∴BG=BE-EG=2GF=2GN+NF=4a+2b，则∵AG=3，∴AD=AG+GN+FN+DF=3+2a+2b，∵AD=BE，∴5a+2b=3+2a+2b，解得：a=1，∴GN=2a=2．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理，含30°角直角三角形的特征，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并熟练运用．19．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知CP是等边△ABC的外角∠ACE的平分线，点D在线段BC上，以D为顶点、DA为边作∠ADF=60°，DF交射线CP于F．求证：(1)∠BAD=∠EDF；(2)AD=FD．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由等边三角形的性质得到∠B=∠ACB=∠BAC=60°．得到∠B+∠BAD=∠EDF+∠ADF．由∠ADF=60°得到∠B=∠ADF，即可得到结论；（2）过点D作DG∥AC交AB于点G，则∠ACB=∠BDG，∠BAC=∠BGD．证明AG=DC，∠AGD=∠DCF，由（1）知，∠GAD=∠CDF．利用ASA证明【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°．∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠ADE=∠EDF+∠ADF，∴∠B+∠BAD=∠EDF+∠ADF．∵∠ADF=60°，∴∠B=∠ADF，∴∠BAD=∠EDF．（2）如图，过点D作DG∥AC交AB于点G，则∠ACB=∠BDG，∠BAC=∠BGD∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠BCA=60°，BA=BC．∴∠BDG=∠BGD=∠B=60°，∴△BDG为等边三角形，∠AGD=∠B+∠BDG=120°．∴BG=BD，∴AG=DC．∵∠ACB=60°，∴∠ACE=180°-∠ACB=120°，∵CF平分∠ACE，∴∠ACF=∠FCE=60°．∴∠DCF=180°-∠FCE=120°．∴∠AGD=∠DCF．由（1）知，∠GAD=∠CDF．在△AGD与△DCF中，∠GAD=∠CDF,∴△AGD≌△DCFASA∴AD=FD．【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．20．（2023秋·八年级课时练习）如图，在△ABC的外部，分别以AB，AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE，CD，BE相交于点O，求证：OA平分∠DOE．

【答案】见解析【分析】过点A作AM⊥CD，AN⊥BE，垂足分别为M，N．通过证明△ABE≌△ADCSAS，得出BE=CD，S△ABE=S△ADC，进而得出AM=AN【详解】证明：如图，过点A作AM⊥CD，AN⊥BE，垂足分别为M，N．

∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AB=AD，∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC，∴∠BAE=∠DAC，∴△ABE≌△ADCSAS∴BE=CD，S△ABE∴AM=AN．又∵AM⊥DO，AN⊥EO，∴OA平分∠DOE．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，解题的关键掌握等边三角形三边相等，三个角都是60°．21．（2023秋·八年级课时练习）如图13.3.2-9，△ABC为等边三角形，D在BC的延长线上，以AD为边作∠ADE=60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E，连接AE，且CE=BD．则△ADE是等边三角形吗？请说明理由．

【答案】△ADE是等边三角形．理由见解析【分析】首先证得△ABD≌△ACESAS，然后利用全等三角形的对应边相等AD=AE，即可求得△ADE【详解】解：△ADE是等边三角形．理由如下：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，∴∠ACD=120°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE=60°，∴∠B=∠ACE．在△ABD和△ACE中，AB=AC,∴△ABD≌△ACESAS∴AD=AE．又∠ADE=60°，∴△ADE为等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质是解题的关键．22．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，已知线段AC、BC，分别以AC、BC为边作等边三角形△ACD与△BCE，直线BD、AE交于点F，

(1)如图1，若点A、C、B在一条直线上，请直接写出∠AFD的度数；(2)如图2，改变C点位置，使点E与点F恰好重合，此时∠AFD的度数是否与（1）中结论一致？说明理由；(3)改变C点位置，得到如图3，连接FC，试求∠AFC的度数．【答案】(1)∠AFD=60°(2)一致，理由见解析(3)∠AFC=60°【分析】（1）求出∠ACE=∠DCB，证明△ACE≌△DCBSAS，可得∠EAC=∠BDC，然后求出∠ADF+∠DAF=120°（2）求出∠ACE=∠DCB，证明△ACE≌△DCBSAS，可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AGC=∠DGE（3）由（2）同理可证：△ACE≌△DCB，∠AFD=60°，过点C作CM⊥DB于M，CN⊥AE于N，证明CM=CN，可得FC平分∠AFM，然后根据【详解】（1）解：∵△ACD与△BCE为等边三角形，∴∠ACD=∠ECB=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌∴∠EAC=∠BDC，又∵∠EAC+∠DAF=60°，∠ADC=60°，∴∠BDC+∠ADC+∠DAF=120°，即∠ADF+∠DAF=120°，∴∠AFD=180°-∠ADF+∠DAF（2）∠AFD的度数与（1）中结论一致；理由：如图，∵△ACD与△BCE为等边三角形，∴∠ACD=∠ECB=60°，AC=DC，EC=BC，∴∠ACE=∠DCB，∴△ACE≌∴∠EAC=∠BDC，又∵∠AGC=∠DGE，∴∠AFD=∠DCA=60°；

（3）由（2）同理可证：△ACE≌△DCB，∴AE=BD，过点C作CM⊥DB于M，CN⊥AE于N，∵S△ACE∴12∴CM=CN，∴FC平分∠AFM，又∵∠AFD=60°，∴∠AFC=1

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，等腰△ABC中，AB=AC，点D在AC上，点E在BC延长线上，连接BD、ED，且BD=ED．

(1)求证：∠ABD=∠CDE；(2)若∠A=60°，且AB=3，AD=1，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)BE=4．【分析】（1）利用等边对等角求得∠ABC=∠ACB，利用三角形的外角性质即可证明结论成立；（2）作DF⊥BE于点F，证明△ABC是等边三角形，求得CD=2，∠CDF=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求得CF=1，再利用等腰三角形的性质即可求解．【详解】（1）证明：∵等腰△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD+∠DBC=∠CDE+∠E，∵BD=ED，∴∠DBC=∠E，∴∠ABD=∠CDE；（2）解：作DF⊥BE于点F，

∵等腰△ABC中，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC=AC=3，∠ACB=60°，∵AD=1，∴CD=2，∠CDF=30°，∴CF=1∴BF=BC-CF=2，∵BD=ED，DF⊥BE，∴BF=EF，∴BE=2BF=4．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，如图1，在△ABC中，AD为△ABC的中线，E为AD上一个动点（不与点A，D重合）．分别过点E和点C作AB与AD的平行线交于点F，连AF．

(1)求证：AF=BE；(2)如图2，延长BE交AC于点G，若BG⊥AC，且AD=BG，请判断EG与AE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)EG=1【分析】（1）过点D作DM∥AB交FC于点M，连接DF，证明△ABD≌△MDCASA，推出AB=MD，再证明△EDF≌△MFDASA，可得EF=DM，进而可得AB=EF，然后证明（2）作GN∥BC，DN∥BG，DN交AC于点Q，可证△BDG≌△NGDASA，得BG=ND，BD=NG，进而可证△GNQ≌△CDQASA，得DQ=NQ，易得DQ=12DN=12BG=12AD，即DN=AD，由BG⊥AC【详解】（1）证明：如图1中，

过点D作DM∥AB交FC于点M，连接DF，∵DM∥AB，∴∠MDC=∠ABD，∵CF∥AD，∴∠MCD=∠ADB，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∴△ABD≌△MDCASA∴AB=MD，∵AB∥EF，DM∥AB，∴EF∥DM，∴∠EFD=∠MDF，∵CF∥AD，∴∠EDF=∠MFD，

∴△EDF≌△MFDASA∴EF=DM，∴AB=EF，∵AB∥EF，∴∠BAE=∠FEA，∵AE=EA，∴△ABE≌△EFASAS∴AF=BE；（2）解：EG=1理由：如图2中，作GN∥BC，DN∥BG，DN交AC于点Q，

∵GN∥BC，DN∥BG，∴∠BDG=∠NGD，∠BGD=∠NDG，∵DG=GD，∴△BDG≌△NGDASA∴BG=ND，BD=NG，由（1）知BD=DC，则NG=DC，∵DN∥BG，∴∠GNQ=∠CDQ，∠NGQ=∠DCQ∴△GNQ≌△CDQASA∴DQ=NQ，则DQ=1又∵AD=BG∴DQ=12DN=∵BG⊥AC，DN∥BG，∴∠BGC=∠AQN=∠AQD=90°，∵DQ=NQ，AQ=AQ，∴△ADQ≌△AQNSAS∴∠DAQ=∠NAQ，AD=AN，即：△ADN为等边三角形，∴∠DAN=60°，则∠DAQ=∠NAQ=1∴EG=1【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，含30°的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定方法是解决问题的关键．25．（2023秋·江苏泰州·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）（1）如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B，C，E在一条直线上，连接BD和AE，直线BD，AE相交于点P．则线段BD与AE的数量关系为；BD与AE相交构成的锐角的度数为．（2）如图②，点B，C，E不在同一条直线上，其它条件不变，若AE垂直平分CD，求∠BDE的度数．（3）应用：如图③，点B，C，E不在同一条线上，其它条件依然不变，此时恰好有∠AEC=30°．设直线AE交CD于点Q，请把图形补全．若PQ=2，则DP=．

【答案】（1）相等，60°；（2）∠BDE=90°；（3）4【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，再利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=AE，根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠BDC，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DPE=∠DCE；（2）证明△ACE≌△BCDSAS，由全等三角形的性质得出BD=AE，∠AEC=∠BDC（3）得出∠DQP=90°，由直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=AB∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCDSAS∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，由三角形的外角性质，∠DPE=∠AEC+∠BDC，∠DCE=∠BDC+∠DBC，∴∠DPE=∠DCE=60°；故答案为：相等，60°；（2）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，AC=AB∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCDSAS∴BD=AE，∠AEC=∠BDC，又∵∠DNA=∠ENC，∴∠DPE=∠DCE=60°．

∵AE垂直平分CD，∴∠AND=90°，∴∠PDC=90°-60°=30°，∵∠CDE=60°，∴∠BDE=30°+60°=90°；（3）补全图形如图③，

由（1）（2）可知△AEC≌△BDC，∴∠AEC=∠BDC=30°，∵△DEC为等边三角形，∴∠DEC=∠EDC=60°，∴∠DEP=∠DEC-∠CEP=60°-30°=30°，∠PDE=∠BDC+∠EDC=60°+30°=90°，∴∠DPQ=60°，∴∠DQP=90°，∵PQ=2，∴DP=2PQ=2×2=4．故答案为：4．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，熟记性质与判定方法是解题的关键．26．（2022秋·吉林四平·九年级统考阶段练习）如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接AD、BE，延长E交AD于F点．(1)证明：△BEC≌△ADC．(2)如果△DEC绕点C转动，并且0°<α<60°，那么β是否随α的变化而变化？请说明理由．【答案】(1)见详解(2)β不随α的变化而变化，理由见详解【分析】（1）可证BC=AC，EC=DC，∠BCE=∠ACD，即可求证；（2）可得∠CBE=∠CAD，由180°-∠CBE-∠BCO=180°-∠CAD-∠AFO即可求解．【详解】（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴BC=AC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE，∴∠BCE=∠ACD，在△BEC和△ADC中BC=AC∠BCE=∠ACD∴△BEC≌△ADC(SAS)．（2）解：β不随α的变化而变化，理由如下：∵△BEC≌△ADC，∴∠CBE=∠CAD，∵∠BOC=180°-∠CBE-∠BCO，∠AOF=180°-∠CAD-∠AFO，又∵∠BOC=∠AOF，∴180°-∠CBE-∠BCO=180°-∠CAD-∠AFO，∴∠BCO=∠AFO，∴β=60°，∴β不随α的变化而变化．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质及判定方法是解题的关键．27．（2023春·陕西西安·七年级校考期中）能力形成探究课上，某班小组在讨论以下问题：在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE，请解决以下问题：

(1)某小组成员根据题干画出图形如图1所示，那么线段BD与CE的数量关系是______，若∠BAD=20°，那么∠DEC的度数为______.(2)如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE=α，求∠DEC的度数（用含α的代数式表示），并写出过程；(3)如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，那么∠CAD的度数为______．【答案】(1)BD=CE，40°(2)∠DEC=60°+α，见解析(3)30°【分析】（1）证明△BAD≌△CAESAS，可得BD=CE，∠CAE=∠BAD=20°，∠ACE=∠B=60°，然后求出∠AEC（2）设AE交CD于O，证明△BAD≌△CAESAS，可得∠ACE=∠ABD=180°-∠ABC=120°，求出∠EDC=∠CAO=60°-α（3）求出∠ADB=30°，可得∠BAD=90°，然后根据∠CAD=∠BAD-∠BAC进行计算即可．【详解】（1）解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌∴BD=CE，∠CAE=∠BAD=20°，∠ACE=∠B=60°，∴∠AEC=180°-∠CAE-∠ACE=100°，又∵∠AED=60°，∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°，故答案为：BD=CE，40°；（2）解：如图2，设AE交CD于O．

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△BAD≌∴∠ACE=∠ABD=180°-∠ABC=120°，∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=60°，∵∠AOC=∠DOE，∠ACO=∠DEO=60°，∴∠EDC=∠CAO=60°-α，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠ECD=180°-60°-α（3）解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ADE=60°，∵BD⊥DE，即∠EDB=90°，∴∠ADB=90°-60°=30°，∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=90°，∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-60°=30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的