专题3.24 勾股定理中的动点问题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.24勾股定理中的动点问题（分层练习）（培优练）一、单选题1．如图，点A是射线外一点，连接，若，点A到的距离为．动点P从点B出发沿射线以的逃速度运动．设运动的时间为t秒，当t为（

）秒时，为直角三角形．A． B． C．2或 D．2或2．如图，长方形中，，，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（

）A．1 B．2 C．1或 D．2或93．如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（

）A．3 B． C．3或 D．3或4．如图，在中，，：：，，是上一动点，过点作于，于，，则的长是（

）A．定值 B．定值 C．不确定 D．定值5．如图1，点P为矩形ABCD边上的一个动点，点P从A出发沿着矩形的四条边运动，最后回到A．设点P运动的路程长为x，△ABP的面积为y，图2是y随x变化的函数图像，则矩形ABCD的对角线BD的长是（

）A． B． C．8 D．106．如图，在中，，点在边上，将沿直线翻折，点恰好落在边上的点处，若点是直线上的动点，连接，则的周长的最小值为（

）A． B． C． D．7．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（）A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．58．如图，在面积为6的Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，BC边上有一动点P，当点P到AB边的距离等于PC的长时，那么点P到端点B的距离等于（）A． B． C． D．9．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（）．A． B．2 C． D．410．在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，点P，Q分别是边AB和BC上的动点，始终保持AP＝BQ，连接AQ，CP，则的最小值为（

）A． B． C． D．6二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A的坐标（6，0），B的坐标（0，8），点C的坐标（﹣2，4），点M，N分别为四边形OABC边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动，设动点运动的时间为t秒（t＞0），△OMN的面积为S．则：AB的长是_____，BC的长是_____，当t＝3时，S的值是_____．12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的高，BC＝3cm，AB＝5cm，现有一动点P，以1cm/s的速度从点C出发向点A匀速运动，到点A停止；同时，另一个动点Q，从点A出发向点B匀速运动，到点B停止．在两点运动过程中的某一时刻，△APQ恰好与△CBD全等，则点Q的运动速度为_____________cm/s．13．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形．14．如图，在矩形中，，，是上一个动点，是上一个动点（点不与点重合）．连接把沿折叠，使点的对应点总落在边上．若是以为腰的等腰三角形，则的长为_____________________．15．如图，已知直线a∥b，a，b之间的距离为4，点P到直线a的距离为4，点Q到直线b的距离为2，PQ=2．在直线a上有一动点A，直线b上有一动点B，满足AB⊥b，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝________．16．如图，在中，，动点从点出发沿射线BC以的速度运动，设运动的时间为，为直角三角形时，则的值_______．17．已知：如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为．（1）求边的长__________.（2）当为直角三角形时，t的值________18．如图，中，于点O．．（1）求的长为___________；（2）若点D是线段上的一个动点，作于点E，连结．若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的的长为___________．三、解答题19．如图，在Rt△ABC中，AC＝28，BC＝21，一个动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C运动，同时另一个动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，当一个点运动到达终点时另一个点也随之停止运动，运动时间为t秒，（1）用含t的代数式表示线段AQ和CP；（2）为何值时，AP＝AQ？（3）在动点P、Q的运动过程中，判断AP与BP能否相等，并说明理由．20．如图所示，已知：在中，，点D是边上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作垂直于交射线与E，连接，点F是的中点，连接．(1)当点E在边上（点E与点C不重合）时，设．①直接写出y关于x的函数解析式及定义域；②求证：是等边三角形；如果BE=，求出的长．21．（1）问题探究①如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC边上一动点，连接AP，求AP的最小值．②如图2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求边AB的长度（用含a的代数式表示）．（2）问题解决如图3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是边BC的中点，若P是AB边上一动点，E是AC边上一动点，请直接写出PD＋PE的最小值．22．如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边→→运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为．(1)如图①，当时，的面积等于面积的一半；(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边→→运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度．23．如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．(1)如图（1），当点P在边AC上时，AP=______，当点P在边AB上时，AP=_______．（用t表示）(2)如图（1），当t为何值时，△ABP的面积等于△ABC面积的一半；(3)如图（2），在△DEF中，∠E=90°，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．24．如图1，，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4.（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）如图2，已知S△ABC=160cm2，动点M从点B出发以每秒3cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点M运动的时间为t（秒），是否存在t，使△DMN的一边与BC平行？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．D【分析】根据勾股定理，先求出的长，再分情况讨论：当时，当时分别求解即可．解：过点作，点到的距离为，，，根据勾股定理，得，当时，如图所示：此时点与点重合，根据题意，得，解得；当时，如图所示：，，，，，根据勾股定理，得，，，解得，或，故选：D．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．2．B【分析】由折叠性质得到，，，进而得到三点共线，根据等面积法可求得的长，再利用勾股定理求得，即可求解．解：∵沿折叠得到，∴，，，∵是直角三角形，点E在线段上，即∴三点共线，

∴，又，∴，∴，在中，，∴，故选：B．【点拨】本题考查折叠性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握折叠性质，会利用等面积法求出是解答的关键．3．D【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x，则和，，在中，，当时，，解得：，当时，，解得：，故选D．【点拨】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键．4．D【分析】设，则，进而得出，再用勾股定理求出，进而用勾股定理建立方程求出，最后用三角形的面积建立方程求解，即可求出答案．解：如图，设，则，，在中，根据勾股定理得，，在中，，根据勾股定理得，，，舍去或，，连接，过点作于，，，在中，根据勾股定理得，，，，，，，故选：D．【点拨】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．5．B【分析】根据图象，可得出矩形的长，根据的最大面积，可得出矩形的宽，利用勾股定理即得出对角线长度．解：点P在AB边运动时，不构成三角形，此时的面积为0，由函数图象可知AB＝5，当点P在CD边运动时，的面积达到最大10，此时，解得BC＝4，则对角线．故选：B．【点拨】本题考查勾股定理与读图能力，读懂图、掌握勾股定理是解题的关键．6．B【分析】连接BP，根据已知条件求出AB=BC=1，由翻折得：BD=DE，∠BDA=∠EDA，AE=AB=1，CE=，证明△BDP≌△EDP，推出BP=EP，当点P与点D重合时，即可求出的周长的最小值．解：连接BP，在中，，∴∠BAC=，AB=BC，∴，∴AB=BC=1，由翻折得：BD=DE，∠BDA=∠EDA，AE=AB=1，∴CE=，在△BDP和△EDP中，，∴△BDP≌△EDP，∴BP=EP，∴当点P与点D重合时，PE+PC=PB+PC=BC的值最小，此时的周长最小，的周长的最小值为BC+CE=1+=，故选：B．．【点拨】此题考查翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是根据翻折的性质证得△BDP≌△EDP，由此推出当点P与点D重合时的周长最小，合情推理科学论证．7．A【分析】过A点作AF⊥BC于F，连结AP，根据等腰三角形三线合一的性质和勾股定理可得AF的长，由图形得SABC＝SABP+SACP，代入数值，解答出即可．解：过A点作AF⊥BC于F，连结AP，∵△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，∴BF＝4，∴△ABF中，AF＝3，∴，12＝×5×（PD+PE）PD+PE＝4.8．故选A．【点拨】考查了勾股定理、等腰三角形的性质，解答时注意，将一个三角形的面积转化成两个三角形的面积和；体现了转化思想．8．B【分析】直接利用全等三角形的判定和性质以及结合勾股定理得出PB的长．解：∵点P到AB边的距离等于PC的长，∴AP是∠CAB的平分线，∴∠CAP＝∠DAP，在△CAP和△DAP中，，∴△CAP≌△DAP（AAS），∴AC＝AD＝4，∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3，BD＝1，设PB＝x，则PC＝PD＝3﹣x，在Rt△PDB中，x2＝（3﹣x）2+12，解得：x＝，即点P到端点B的距离等于．故选B．【点拨】此题主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题关键是正确应用勾股定理．9．B【分析】连接DF，AF，EF，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出AE，根据勾股定理计算，得到答案．解：连接DF，AF，EF，在中，，，，点G是DE的中点，点F是BC的中点，，，，，，，，是直角三角形，且，，，在和中，，，，，在中，，故选：B．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．10．B【分析】作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，先证明△QBM≌△PAC，得到MQ=CP，则AQ+CP=AQ+MQ，当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，利用勾股定理求出AM的长度，即可得到答案．解：如图，作BM⊥AB，使得BM=AC，连接AM，QM，∴∠QBM+∠ABC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠PAC+∠ABC=90°，∴∠QBM=∠PAC，∵BM=AC，AP＝BQ，∴△QBM≌△PAC（SAS），∴MQ=CP，∴AQ+CP=AQ+MQ，在△AQM中，AQ+MQ>AM，当点A、Q、M三点共线时，AQ+MQ=AM，∴AQ+CPAM，∵AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，∴，∵，，∴，∴，即的最小值为.故选：B.【点拨】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出有最小值的临界条件，从而进行解题．11．10，6，6【分析】作CD⊥x轴于D，CE⊥OB于E，由勾股定理得出AB＝10，OC＝＝6，求出BE＝OB﹣OE＝4，得出OE＝BE，由线段垂直平分线的性质得出BC＝OC＝6；当t＝3时，N到达C点，M到达OA的中点，OM＝3，ON＝OC＝6，由三角形面积公式即可得出△OMN的面积．解：作CD⊥x轴于D，CE⊥OB于E，如图所示：由题意得：OA＝6，OB＝8，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝10；∵点C的坐标（﹣2，4），∴OC＝＝6，OE＝4，∴BE＝OB﹣OE＝4，∴OE＝BE，∴BC＝OC＝6；当t＝3时，N到达C点，M到达OA的中点，OM＝3，ON＝OC＝6，∴△OMN的面积S＝×3×4＝6；故答案为10，6，6．【点拨】本题考查了勾股定理、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，先利用勾股定理求得BC，再用等面积法求得CD，再根据CD是△ABC的高，∠B＋∠BCD＝90°，而∠A＋∠B＝90°，进行等量代换可得到∠A＝∠BCD，因此△APQ恰好与△CBD全等，对应边可能是AP＝BC，AQ＝CD，或者AP＝CD，AQ＝BC，设点Q的运动速度为cm/s，运动时间为t秒，列方程组计算即可．解：∵∠ACB＝90°，BC＝3cm，AB＝5cm，∴cm，∵，∴cm，设点Q的运动速度为cm/s，运动时间为t秒，则CP＝t，AP＝4－t，AQ＝t，∵CD是△ABC的高，∴∠BDC＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，而∠A＋∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，故而△APQ恰好与△CBD全等，分以下两种情况讨论：①当△APQ≌△CBD时，AP＝BC，AQ＝CD，即：，解得：，②当△AQP≌△CBD时，AP＝CD，AQ＝BC，即：，解得：，∴点Q的运动速度为cm/s或者cm/s，故填：．【点拨】本题考查勾股定理，等面积法求直角三角形斜边上的高，全等三角形的性质，比较综合，注意分类讨论思想的应用．13．或54或10【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可．解：如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是等腰三角形，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得；如图，当时，是直角三角形，且，，，当时，，解得：t=10．故答案为：或5；4或10．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复．14．或【分析】由于只知道为腰的等腰三角形，所以要讨论另外两条边分别为腰的情况，可设已知腰为,再根据折叠的性质对应边相等，用的代数式表示出其它边，再构造出一个关于的直角三角形，运用勾股定理即可求出和的长度．解：过点作于点设当时，如图1，在中，由勾股定理，得，解得，(舍去)当时，如图2，.在中，由勾股定理，得.解得综上所述，的长为或故答案为或【点拨】本题考查了等腰三角形，直角三角形等知识点，解题的关键是根据折叠的性质，构造出一个含有未知数的直角三角形，利用勾股定理列出等式求解．15．10【分析】过P作PC⊥a于C，当Q、B、C三点一线时，PA+AB+BQ最小.解：作QD∥b,PD⊥QD.如图，当AB∥PC时，AB又等于PC，所以四边形PABC是平行四边形，PA=BC，所以PA+BQ＝BC＋BQ，当Q、B、C三点一线时，PA+AB+BQ最小.在直角三角形PQD中，根据勾股定理得QD==8.在直角三角形QDC中，根据勾股定理得QC=10，所以PA+BQ＝BC＋BQ=BC=10.【点拨】本题的解题关键是作图确定B点位置，根据勾股定理求线段长度.16．或【分析】当为直角三角形时，分两种情况：①当为直角时，②当为直角时，分别求出此时的值即可．解：在中，由勾股定理得：，，由题意得：．，①当为直角时，如图①，点与点重合，，；②当为直角时，如图②，．，，在中，，在中，，即，解得，故答案为：或．【点拨】本题考查了勾股定理以及直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分类讨论，否则会出现漏解．17．2或【分析】（1）利用勾股定理求解即可得；（2）先求出，再分①当，②当两种情况，利用勾股定理求解即可得．解：（1）在中，，，，由勾股定理得；（2）由题意知：．①当时，如图，点与点重合，，；②当时，如图2，，．在中，，在中，，因此，解得．综上所述，当为直角三角形时，的值为2或．【点拨】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．18．4或．【分析】（1）根据可得的长，分别根据勾股定理可得和的长；（2）分两种情况：和时，分别画图，根据三角形的中位线定理和证明三角形全等可解决问题；解：（1），，，∴，∵，∴，由勾股定理得：，；故答案为：（2）分两种情况：①当时，过O作于N，如图1所示：∴，∵，∴，∴是的中位线，∴；②当时，如图2所示：在和中，，∴，∴，∴；综上所述，的长为4或；故答案为：4或【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、分类讨论等知识．19．（1），；（2）当时，；（3）AP与BP不能相等，理由见分析【分析】（1）根据题意得，，则，然后利用勾股定理求出即可得到；（2）由，即可得到，由此求解即可；（3）假设AP与BP能相等，连接BP，则，由，得到，则，再根据AB=35，Q点的运动速度为每秒两个单位，则Q到A点需要的时间=35÷2=17.5<21.875，由此即可得到答案．解：（1）由题意得：，，∴，∵在Rt△ACB中，AC=28，BC=21，∠C=90°，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴当时，；（3）假设AP与BP能相等，连接BP，∴，∵，∴，∴，∵AB=35，Q点的运动速度为每秒两个单位，∴Q到A点需要的时间=35÷2=17.5<21.875，∴AP与BP不能相等．【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理．20．(1)①；②见分析；(2)或【分析】（1）①根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后根据进行解答即可；根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得到再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，然后即可证得是等边三角形；（2）先求出的长，在中，再利用勾股定理求出，再分点在上和点在延长线上两种情况求解．解：（1），又，；证明：在和中，，是的中点，．，，，即．，是等边三角形；（2），在中，．当点在上时，；当点在延长线上时，．综上所述：的长为或．【点拨】本题主要考查直角三角形的性质以及勾股定理及等边三角形的判定与性质的综合运用，综合性较强，注意认真分析题中条件．21．（1）①；②AB＝a；（2）3【分析】（1）①根据垂线段最短原理计算即可；②根据勾股定理计算即可；（2）利用轴对称原理和垂线段最短原理求解即可．解：（1）问题探究①如图1，过A作AE⊥CB于E，在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，∴AC＝＝12，∵＝×AB×AC＝×BC×AE，∴AE＝＝，根据垂线段最短可知当AP与AE重合时，AP的值最小，最小值为；②如图2，∵∠ABC＝90°，AB＝AC，∴，∵AC＝a，∴，∴AB＝a或AB＝﹣a（舍去），∴AB＝a；（2）问题解决作关于的对称点过作于交AB于，如图3，则则最短，为中点，为等腰直角三角形，∴AB＝BC＝2，∠BAC＝∠BCA＝45°，为等腰直角三角形，∴BD＝CD＝，同理可得：为等腰直角三角形，PD＋PE的最小值为3．【点拨】本题考查了垂线段最短，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握垂线段最短原理，正确构造解题需要的基本图形是解题的关键．22．(1)或；(2)点Q的运动速度为或．【分析】（1）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求出点P移动的距离，即可得到的值；（2）根据全等三角形的性质，得到，，，分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，分别计算点P移动的距离求出运动时间，再用点Q移动的距离除以即可求出点Q的运动速度．（1）解：①当点P在上时，如图，的面积等于面积的一半，，，，此时，点P移动的距离为，移动的时间为：秒，②当点P在上时，如图，过点P作于点D，的面积等于面积的一半，，即点P为中点，此时，点P移动的距离为，移动的时间为：秒，综上可知，当为或时，的面积等于面积的一半，故答案为：或；

（2）解：，对应点为A与D，P与E，Q与F,，，，，，，①当点P在上，如图所示，此时，点P移动的距离为，点Q移动的距离为，秒，点Q移动的速度为，②当点P在上，如图所示，此时，点P移动的距离为，点Q移动的距离为，秒，点Q移动的速度为，综上所述，两点运动过程中的某一时刻