专题2.1与三角形有关的角大题培优专练-2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.1与三角形有关的角大题培优专练班级：_____________姓名：_____________得分：_____________一．解答题（共30小题）1．（2023春•单县期末）如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．（1）求∠DAE的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．【答案】（1）15°；（2）12（β﹣α【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．【解答】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵∠B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°-12（α+∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°-12（α+∵FE⊥BC，∴∠FEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE=12（β﹣【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．2．（2022秋•南昌期末）我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．（1）如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'＝58°，则∠C＝29°，可以发现∠ADC'与∠C的数量关系是∠ADC'＝2∠C；（2）如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度数；（3）如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．【答案】（1）29°，∠ADC'＝2∠C；（2）31°；（3）∠C=12x-【分析】（1）根据平角定义求出∠CDC′＝122°，然后利用折叠的性质可得∠CDE=12∠CDC′＝61°，∠DEC=12（2）根据平角定义求出∠CDC′＝160°，∠CEC′＝138°，然后利用折叠的性质可得∠CDE=12∠CDC′＝80°，∠DEC=12∠（3）根据平角定义求出∠CDC′＝180°﹣x，∠CEC′＝180°+y，然后利用折叠的性质可得∠CDE=12∠CDC′＝90°+12y，∠DEC=12∠CEC【解答】解：（1）∵∠ADC′＝58°，∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝122°，由折叠得：∠CDE＝∠C′DE=12∠CDC′＝61°，∠DEC＝∠DEC′=12∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝29°，∴∠ADC'与∠C的数量关系：∠ADC'＝2∠C．故答案为：29°，∠ADC'＝2∠C；（2）∵∠BEC′＝42°，∠ADC′＝20°，∴∠CEC′＝180°﹣∠BEC′＝138°，∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝160°，由折叠得：∠CDE＝∠C′DE=12∠CDC′＝80°，∠DEC＝∠DEC′=12∠∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝31°，∴∠C的度数为31°；（3）如图：∵∠BEC′＝x，∠ADC′＝y，∴∠CEC′＝180°﹣x，∠1＝180°+∠ADC′＝180°+y，由折叠得：∠CDE＝∠C′DE=12∠1＝90°+12y，∠DEC＝∠DEC′=12∠CEC∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝180°﹣（90°+12y）﹣（90°-=12x-∴∠C与x，y之间的数量关系：∠C=12x-【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理，以及折叠的性质是解题的关键．3．（2023•荔城区校级开学）如图1，像我们常见的学习用品——圆规，我们把这样图形叫做“规形图”．（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块直角三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，∠A＝54°，则∠ABX+∠ACX＝36°；②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，请用含α和β的式子表示∠DCE的度数．【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析过程；（2）①36；②∠DCE=α+β【分析】（1）连接AD并延长，用两次外角定理即可．（2）①依据（1）中的结论即可解决问题．②依据（1）中的结论，结合整体思想即可解决问题．【解答】解：（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．连接AD并延长到点E，∵∠BDE是△ABD的外角，∴∠BDE＝∠B+∠BAD．同理，∠CDE＝∠C+∠CAD，则∠BDE+∠CDE＝∠BAD+∠CAD+∠B+∠C．又∠BDE+∠CDE＝∠BDC，∠BAD+∠CAD＝∠BAC，∴∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C．（2）①由（1）中的结论可知，∠X＝∠ABX+∠A+∠ACX．又∠A＝54°，∠X＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝36°．故答案为：36．②由（1）中的结论可知，∠DBE＝∠CDB+∠DCE+∠CEB，则∠CDB+∠CEB＝∠DBE﹣∠DCE．又DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠CDB，∠AEC＝∠CEB．则∠ADC+∠AEC＝∠CDB+∠CEB．又∠DCE＝∠ADC+∠DEA+∠AEC，∴∠DCE＝∠DBE﹣∠DCE+∠DAE．即∠DCE=∠DAE+∠DBE又∠DAE＝α，∠DBE＝β，所以∠DCE=α+β【点评】本题考查三角形内角和定理，巧妙的利用三角形和外角定理及整体思想是解题的关键．4．（2023春•姑苏区校级月考）如图，在△ABC中，点D在AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分线于点P，CP与DE相交于点G，∠ACF的平分线CQ与DP相交于点Q．（1）若∠A＝50°，∠B＝60°，则∠DPC＝115°，∠Q25°；（2）若∠A＝50°，当∠B的度数发生变化时，∠DPC、∠Q的度数是否发生变化？并说明理由；（3）若△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的∠A的度数45°或60°或120°或135°．【答案】（1）115，25；（2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化，理由见解答部分；（3）45°或60°或120°或135°．【分析】（1）先利用内角和求出∠C，再利用角平分线的性质和平行线的性质求出∠PDE和∠PGD，再利用内角和求解；（2）仿照（1）的格式求解；（3）分类讨论求解．【解答】解：（1）∵∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝70°，∴∠BCP=12∠ACB＝∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠PGD＝∠PCB＝35°，∵∠PDE=12∠ADE＝∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝115°；又∵∠ACQ=12∠∴∠PCQ＝∠ACQ+∠ACP=12（∠ACF+∠ACB）＝∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；故答案为：115，25；（2）∠DPC、∠Q的度数不会发生变化．理由：由（1）得：∵∠PDE=12∠ADE=12∠B，∠PGD＝∠BCP∴∠DPC＝180°﹣∠PDE﹣∠PGD＝180°-12∠B-12∠ACB＝180°﹣（∠B+∠ACB）＝180°-12（180°﹣∠A）＝90°∴∠Q＝∠DPC﹣∠QCP＝25°；（3）设∠A＝x，则∠Q=1∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，∴∠ACP=12∠ACB∴∠PCQ=12(∠ACB+∠ACF)=90°因为△PCQ中存在一个内角等于另一个内角的三倍，∴①当∠Q＝3∠QPC时，12∴x＝135°，②当∠QPC＝3∠Q时，90°-1∴x＝45°，③当∠PCQ＝3∠Q时，90°=3×1∴x＝60°，④当∠PCQ＝3∠QPC时，90°=3×(90°-1∴x＝120°，综上①②③④可知∠A＝45°或60°或120°或135°．故答案为：45°或60°或120°或135°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，分类讨论思想等知识；解题关键是掌握三角形内角和定理和角平分线的性质．5．（2023春•大丰区月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．（1）若∠C＝70°，∠B＝30°，求∠DAE的度数；（2）若∠C﹣∠B＝20°，则∠DAE＝10°；（3）若∠C﹣∠B＝α（∠C＞∠B），求∠DAE的度数（用含α的代数式表示）．【答案】（1）20°；（2）10°；（3）a2【分析】（1）利用三角形的内角和定理先求出∠BAC、∠CAD，再利用角平分线的定义、角的和差关系得结论；（2）（3）先利用三角形的内角和定理用∠B、∠C表示出∠BAC、∠CAD，再利用角平分线的定义、角的和差关系及（∠B﹣∠C）的度数得结论；【解答】解：∵AD⊥BC于D，AE平分∠BAC．∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAE＝∠CAE=12（1）∵∠C＝70°，∠B＝30°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∠CAD＝90°﹣∠C＝20°．∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD=12∠BAC=12×80＝20°；（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠＝90°-12∠B-12∠C﹣90=12∠C-=12（∠C﹣∠∵∠C﹣∠B＝20°，∴∠DAE=12×20故答案为：10°．（3）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠＝90°-12∠B-12∠C﹣90=12∠C-=12（∠C﹣∠∵∠C﹣∠B＝α，∴∠DAE=12×【点评】本题主要考查了三角形的内角和，掌握三角形的内角和定理、角平分线的定义及角的和差关系是解决本题的关键．6．（2023春•桐柏县期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．解决问题：（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：Ⅰ．如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝50°．Ⅱ．如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据三角形外角性质即可得到∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系；（2）Ⅰ、由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A，再根据∠A＝40°，∠D＝90°，即可得出∠ABD+∠ACD的度数；Ⅱ、根据（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，再根据BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，即可得出∠BDC的度数．【解答】解：（1）如图①，连接AD并延长至点F，根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；（2）Ⅰ．由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A；又∵∠A＝40°，∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°，故答案为：50；Ⅱ．由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°，又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，∴∠ABD+∠ACD=12（∠ABP+∠ACP）＝∴∠BDC＝45°+40°＝85°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．7．（2023春•丰城市期末）如图，在△ABC中，BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线．（1）当∠ABC＝64°，∠ACB＝66°时，∠D＝115°，∠P＝65°；（2）∠A＝56°，求∠D，∠P的度数；（3）请你猜想，当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值是否变化？请说明理由．【答案】（1）115，65；（2）∠D＝118°，∠P＝62°；（3）∠D+∠P的值不变．∠D+∠P＝180°，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；（2）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可；（3）利用（2）的结论即得结果．【解答】解：（1）∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠ABC＝64°，∠ACB＝66°，∴∠DBC=12∠ABC=32°，∠DCB=12∠ACB=33°，∠∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝115°；∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，∴∠CBP=1∴∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝65°；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD，CD分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠DBC=1∴∠D＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）=180°-1=180°-1=90°+1=90°+1＝118°；∵BP，CP分别是∠EBC，∠FCB的平分线，∴∠CBP+∠BCP=1=1=1=1＝90°+28°＝118°；∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）=90°-1＝90°﹣28°＝62°；（3）∠D+∠P的值不变．∵由（1）知∠D=90°+12∠A∴∠D+∠P＝180°．∴当∠A的大小变化时，∠D+∠P的值不变．【点评】本题考查了角平分线的定义和三角形的内角和定理，属于常考题型，熟练掌握角平分线的定义和三角形的内角和定理是解题关键．8．（2023春•嘉定区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为30°，△AOB是．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC是（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．（2）求出∠OAC即可解决问题．（3）分三种情形分别求出即可．【解答】解：（1）∵AB⊥OM，∴∠BAO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB是“灵动三角形”．故答案为：30，是．（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，∴∠OAC＝20°，∵∠AOC＝60°＝3×20°，∴△AOC是“灵动三角形”．故答案为：是．（3）①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．（2023春•肥城市期中）在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B．（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，求∠EAD的度数；（写出解答过程）（2）如图1，根据（1）的解答过程，猜想并写出∠B、∠C、∠EAD之间的数量关系且说明理由；（3）小明继续探究，如图2在线段AE上任取一点P，过点P作PD⊥BC于点D，请尝试写出∠B、∠C、∠EPD之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）∠EAD＝10°；（2）∠EAD=12（∠ACB﹣∠ABC）；（3）∠EPD=12∠ACB【分析】（1）先求出∠BAC，根据角平分线定义求出∠CAE，根据三角形内角和定理求出∠CAD，代入∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD求出即可；（2）先利用三角形的内角和及角平分线的定义求得∠CAE＝90°-12（∠ABC+∠ACB），再根据直角三角形的性质可得∠CAD＝90°﹣∠ACB，然后由∠EAD＝∠CAE﹣∠（3）过A作AG⊥BC于G，由三角形的内角和定理及角平分线的定义可求得∠EAC=1290°-12∠ABC-12∠ACB，再根据直角三角形的性质可得∠【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，∴∠CAB＝180°﹣（∠B+∠C）＝80°，∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC=12∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝60°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝40°﹣30°＝10°；（2）∠EAD=12（∠ACB﹣∠理由：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=12∠BAC=12[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°-12∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD＝90°﹣∠ACB，∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝90°-12（∠ABC+∠ACB）﹣（90°﹣∠ACB）=12（∠即∠EAD=12（∠ACB﹣∠（3）∠EPD=12∠ACB-1理由是：如图2，过A作AG⊥BC于G，∵PD⊥BC，∴AG∥PD，∴∠GAE＝∠DPE，∵∠CAB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC=12[180°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝90°-12∵AG⊥BC，∴∠AGC＝90°，∴∠GAC＝90°﹣∠ACB，∴∠GAE＝∠CAE﹣∠CAG＝90°-12∠ABC-12∠ACB﹣（90°﹣∠ACB）=12∴∠EPD=12∠ACB-1【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线定义，平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，证明过程类似．10．（2023春•和平区校级期中）（1）如图，已知在△ABC中，∠BAC＝48°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE所在直线交于点F，求∠BFC的度数；（2）在（1）的基础上，若∠BAC每秒扩大6°，且在变化过程中∠ABC与∠ACB始终保持是锐角，经过t秒（0＜t＜22），在∠BFC，∠BAC这两个角中，当一个为另一个的两倍时，求t的值；（3）在（2）的基础上，∠ABD与∠ACE的角平分线交于点G，∠BGC是否为定值，如果是，请直接写出∠BGC的值，如果不是，请写出∠BGC是如何变化的．【答案】（1）132；（2）当t＝2或12时，∠BFC，∠A两个角中，一个角是另一个角的两倍；（3）∠BGC是定值．理由见解答．【分析】（1）利用钝角的余角相等，证明∠CFD＝∠A即可解决问题．（2）由题意∠A＝48°+6°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝132°﹣6°×t．分两种情形：①当0＜t＜7时，∠BFC＝2∠A．②当7＜t＜22时，∠A＝2∠BFC，分别构建方程求解即可．（3）如图，结论∠BGC是定值．想办法证明∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG，∠ABG+∠ACG＝∠ABD即可解决问题．【解答】解：（1）∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠AEC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠CFD＝90°，∴∠CFD＝∠A∴∠BFC＝180°﹣∠DFC＝180°﹣∠A＝132°．（2）由题意∠A＝48°+6°×t，∠BFC＝180°﹣∠A＝132°﹣6°×t，①当0＜t＜7时，∠BFC＝2∠A，则有132﹣6t＝2（48+6t），解得t＝2．②当7＜t＜22时，∠A＝2∠BFC，∴48+6t＝2（132﹣6t），解得t＝12，综上所述，当t＝2或12时，∠BFC，∠A两个角中，一个角是另一个角的两倍．（3）如图，结论∠BGC是定值．理由：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，∴∠ABD＝∠ACE，∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACE，∠ABG=12∠ABD，∠ACG=1∴∠ABG+∠ACG=12（∠ABD+∠ACE）＝∠∵∠A+∠ABG+∠GBC+∠GCB+∠ACG＝180°，∠G+∠GBC+∠GCB＝180°，∴∠G＝∠A+∠ABG+∠ACG＝∠A+∠ABD＝90°，∴∠BGC是定值．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，等角的余角相等，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．11．（2023春•高港区月考）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“三倍角三角形”．（1）△ABC中，∠A＝35°，∠B＝40°，△ABC是“三倍角三角形”吗？为什么？（2）若△ABC是“三倍角三角形”，且∠B＝30°，求△ABC中最小内角的度数．【答案】（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由见解答；（2）10°或30°．【分析】（1）由三角形内角和可求第3个内角为105°，由“三倍角三角形”定义可求解；（2）分两种情况讨论，由“三倍角三角形”定义可求解．【解答】解：（1）△ABC是“三倍角三角形”，理由如下：∵∠A＝35°，∠B＝40°，∴∠C＝180°﹣35°﹣40°＝105°＝35°×3，∴△ABC是“三倍角三角形”；（2）∵∠B＝30°，∴∠A+∠C＝150°，设最小的角为x，①当30°＝3x时，x＝10°，②当x+3x＝150°时，x＝37.5°，30＜37.5，③30°×3＝90°，180﹣30﹣90＝60°，答：△ABC中最小内角为10°或30°．【点评】本题是新定义问题，考查了三角形内角和定理，理解“三倍角三角形”定义，并能运用是本题的关键．12．（2023春•宁乡市期末）如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，F，D是BC上的点，连接EF，AD，DG，已知AD∥EF，∠1+∠2＝180°．（1）求证：AB∥DG；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠B＝35°，求∠2的度数．【答案】（1）证明过程见解答；（2）145°．【分析】（1）由平行线的性质可得∠1＝∠DAE，由∠1+∠2＝180°可得∠DAE+∠2＝180°，即可证明；（2）首先利用已知条件可以去求出∠1＝∠DAG＝35°，然后利用平行线的性质求出∠2．【解答】（1）证明：∵AD∥EF，∴∠BAD+∠2＝180°．∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD＝∠1．∴AB∥DG；（2）解：∵DG是∠ADC的平分线，且AB∥DG，∴∠1＝∠GDC＝∠B＝35°，∴∠1＝∠DAB＝35°，∵AD∥EF，∴∠2＝180°﹣∠DAB＝180°﹣35°＝145°．【点评】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．13．（2023春•乐山期末）（1）如图1，△ABC中，延长AB到M，BP平分∠MBC，延长AC到N，CP平分∠NCB，PB交PC于点P，若∠ABC＝α，∠ACB＝β，∠BPC＝θ，求证：α=α+β（2）如图2，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长AB到M，PB平分∠MBC，PF平分∠EFC，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，求证：θ=α+β（3）如图3，△ABC中，E是AB边上一点，F是AC边上一点，延长EF到G，PB平分∠ABC，PF平分∠AFG，BP交PF于点P，若∠AEF＝α，∠ACB＝β，∠BPF＝θ，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．【答案】（1）（2）证明见解析；（3）θ+α+β【分析】（1）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出∠CBP+∠BCP，∠A，再次利用三角形的内角和定理进行解答；（2）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出∠CBP，∠CFP，∠BOP，再次利用三角形的内角和定理进行解答；（3）根据角平分线的性质、外角性质和三角形内角和定理，求出∠OFP，∠CBO，∠POF，再次利用三角形的内角和定理进行解答；【解答】（1）证明：∵BP平分∠MBC，CP平分∠BCN，∴∠CBP=12∠MBC=12(∠A+β)=12∴∠CBP+∠BCP=1∵∠A+α+β＝180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵∠CBP+∠BCP+∠P＝180°，∴∠A+1180°-α-β+1∴θ=α+β（2）证明：如图所示：∵BP平分∠MBC，FP平分∠EFC，∴∠CBP=12∠MBC∠CFP=12∠EFC∵∠OFC+∠FOC+∠ACB＝180°，∠BOP＝∠FOC，∴∠BOP＝180°﹣β﹣∠OFC＝180°﹣β-1∵∠CBP+∠P+∠BOP＝180°，∴12∴θ=α+β（3）解：如图所示：∵BP平分∠ABC，PF平分∠AFG，∴∠OFP=12∠AFG∠CBO=1∵∠POF＝∠CBO+∠ACB=90°-1∵∠POF+∠OFP+∠P＝180°，∴90°-1∴θ+α+β【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的数量关系．14．（2023春•栾城区校级期末）在△ABC中，点D在线段AC上，DE∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．（1）如图1，点F在线段BE上．①直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系；②求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）当点F在线段AE上时，请在备用图中补全图形，并直接写出∠EDF与∠BGF的数量关系．【答案】（1）①∠EDF+∠BGF＝90°；②见解析；（2）图见解析，当点G在线段CB上时，∠BGF﹣∠EDF＝90°；当点G在线段CB的延长线上时，∠EDF+∠BGF＝90°．【分析】（1）①结论：∠EDF+∠BGF＝90°．如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．②过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．（2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：（1）①结论：∠EDF+∠BGF＝90°．理由：如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．∵DE∥BC，∴DE∥FH，∴∠EDF＝∠1，∵FH∥BC，∴∠BGF＝∠2．∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°．∴∠1+∠2＝90°．∴∠EDF+∠BGF＝90°．②证明：过点F作FH∥BC交AC于点H．如图2，∴∠ABC＝∠AFH，∴∠ABC＝∠1+∠3，∴∠3＝∠ABC﹣∠1，∵∠EDF＝∠1，∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF，∵FG⊥FD，∴∠DFG＝90°，∴∠BFG+∠3＝90°，∴∠3＝90°﹣∠BFG，∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF，∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；（2）解：结论：∠BGF﹣∠EDF＝90°．理由：设DE交FG于J．如图3，∵DE∥BC，∴∠BGF＝∠FJE，∵∠FJE＝∠DFJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，∴∠BGF﹣∠EDF＝90°．当点G在CB的延长线上时，同法可证∠EDF+∠BGF＝90°，如图4，【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．15．（2023春•邗江区期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是、100°、，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为100°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的2倍．（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为20°，40°．（2）如图1，已知∠MON＝60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度数．（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC＝180°，∠FED＝∠C．若△ADC是“优雅三角形”，求∠C的度数．​【答案】（1）20°，40°，（2）100°或140°；（3）72°，45°．【分析】本题考查“优雅三角形”的新定义问题，灵活运用三角形的内角和定理．【解答】解：（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，另两个角之和为：180°﹣120°＝60°，“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义，“优雅角”为40°，另一个角为20°．（2）AB⊥OM交ON于点B，∴∠MOB＝90°，∠MON＝60°，△AOC是“优雅三角形”，①当“优雅角”为60°时，另一个角为30°，则∠ACO＝90°，∠ACB的度数为90°，②当另两个角中有优雅角时，另两个角之和为120°，根据“优雅三角形”的定义，另两个角分别为：40°，80°，则∠ACO＝80°，∠ACB的度数为100°，∠ACO＝40°，∠ACB的度数为140°．（3）∵∠AFE+∠ADC＝180°，∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠ADC＝∠EFD，∴EF∥BC，△ADC是“优雅三角形”，DE平分∠ADB交AB于点E，①当∠C＝α，∠ADC=α∠ADB＝180°-α2=（180°-解得α＝72°，∠C＝72°；②当∠C＝α，∠DAC=α无解，故不符合题意；③当∠ADC＝α，∠DAC=α∠ADB＝180°﹣α＝[180°﹣α﹣（180°-3α2）]×解得α＝90°，∠C＝45°；④当∠ADC＝α，∠C=α∠ADB＝180°﹣α＝（180°-α2-α解得α＝90°，∠C＝45°；⑤当∠DAC＝α，∠ADC=α∠ADB＝180°-α2=[180°﹣（180°-3α2）解得α＝72°，∠C＝72°；⑥当∠DAC＝α，∠C=α无解，故不符合题意；综上，∠C的度数为：72°，45°．【点评】本题考查“优雅三角形”的新定义问题，灵活运用三角形的内角和定理．解题的关键是能对新定义的理解和运用．16．（2023春•邗江区期中）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．​（1）如图1，如果∠A＝80°，那么∠BPC＝130°°（2）如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系．（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，若∠Q＝4∠E，求∠A的度数．【答案】（1）130°；（2）∠Q+∠BPC＝180°；（3）∠A＝36°．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，由∠Q＝4∠E，得出2∠A＝90°【解答】解：（1）∵∠A＝80°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣8°＝100°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠PBC=12∠ABC∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-故答案为：130°；（2）∵外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，∴∠QBC=12∠MBC∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°-12（∠MBC+∠NCB）＝180°-12（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）=12（∠ABC+∠ACB）=12（∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12（180°﹣∠A）＝∴∠Q+∠BPC＝180°；（3）如图，延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠∵∠Q＝4∠E，∴∠Q＝2∠A，∵∠Q＝90°-12∠∴2∠A＝90°-12∠∴∠A＝36°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．17．（2022秋•海丰县期末）综合与探究：【情境引入】（1）如图1，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，说明∠D＝90°+12∠【深入探究】（2）①如图2，BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∠D与∠A之间的等量关系是∠D＝90°-12∠A②如图3，BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，BD，CD交于点D，探究∠D与∠A之间的等量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠D＝90°-12∠②∠D=12∠【分析】（1）根据角平分线的定义以及三角形内角和定理证明即可；（2）①根据三角形外角的性质，角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可；②根据三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．【解答】（1）证明：∵BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠1=12∠ABC，∠2=1∴∠1+∠2+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°-12（∠ABC+∠＝180°-12（180°﹣∠＝90°+12∠（2）解：①∠D＝90°-12∠∵BD，CD分别是△ABC的两个外角∠EBC，∠FCB的平分线，∴∠DBC=12∠EBC=12（∠A+∠ACB），∠DCB=12∠FCB=∵∠DBC+∠DCB+∠D＝180°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠D＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°-12（∠EBC+∠＝180°-＝90°-12∠故答案为：∠D＝90°-12∠②∠D=12∠∵BD，CD分别是△ABC的一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，∴∠DBC=12∠ABC，∠DCE=1∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∠DCE＝∠D+∠DBC，∴∠D+12∠ABC=12（∠A∴∠D=12∠【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等，熟练掌握这些知识是解题的关键．18．（2023春•洪洞县期末）在△ABC中，AD⊥BC于点D．特例研究：（1）如图1，若∠BAC的平分线AE能交BC于点E，∠B＝35°，∠EAD＝5°，求∠C的度数；操作发现：如图2，点M，N分别在线段AB，AC，将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN，点G，F都在射线DA上；（2）若∠B+∠C＝60°，试猜想∠AMF与∠ANG之间的数量关系，并说明理由；（3）将△DFM绕点D逆时针旋转，旋转角记为α（0°＜α＜360°）．记旋转中的△DMF为△DM1F1，在旋转过程中，点M，F的对应点分别为M1，F1，直线M1F1，与直线BC交于点Q，与直线AB交于点P．若∠B＝35°，∠PQB＝90°，请直接写出旋转角α的度数．【答案】（1）25°；（2）结论：∠AMF+∠ANG＝60°，理由见解析；（3）旋转角的度数为35°或215°．【分析】（1）利用三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解决问题；（2）结论：∠AMF+∠ANG＝60°．由翻折可知∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，由∠B+∠C＝60°得出∠BAC＝120°，再根据三角形外角的性质可得出∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，从而得出结论；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．又∵∠B＝35°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝55°．∵∠EAD＝5°，∴∠BAE＝55°+5°＝60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝60°，∴∠C＝180°﹣90°﹣60°﹣5°＝25°．（2）结论：∠AMF+∠ANG＝60°．理由：由折叠可知：∠B＝∠AFM，∠C＝∠G，∵∠B+∠C＝60°，∴∠BAC＝120°，∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝∠AMF+∠AFM+∠ANG+∠G，∴∠BAC＝∠AMF+∠ANG+∠B+∠C，即120°＝∠AMF+∠ANG+60°，∴∠AMF+∠ANG＝60°．（3）旋转角的度数为35°或215°．①当0°＜α≤90°时，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵将△ABC折叠，点B落在点F处，折痕为DM，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DQ＝90°﹣55°＝35°，∴α＝35°；②当90°＜α≤360°时，∵∠PQB＝90°，∴∠F1QD＝180°﹣90°＝90°，∵将△ABC折叠，点B落在点F处，折痕为DM，将△DMF绕点D逆时针旋转一个角度α，∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠F1DQ＝180°﹣∠F1QD﹣∠DF1M1＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠FDF1＝∠ADC+∠F1DQ＝90°+55°＝145°，∴α＝360°﹣145°＝215°；∴∠DF1M1＝∠DFM＝∠B＝35°，∴∠PQB＝∠BPQ﹣∠B＝90°﹣35°＝55°，∵∠PQB＝∠DF1M1+∠F1DB，∴∠F1DB＝∠PQB﹣∠DF1M1＝55°﹣35°＝20°，∴∠FDF1＝∠ADB﹣∠F1DB＝90°﹣20°＝70°，∴α＝70°．综上所述，旋转角a的度数为35°或215°．【点评】本题考查三角形综合题，旋转变换，翻折变换，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．19．（2023春•商水县期末）【基本模型】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACD，试说明∠P=12∠【变式应用】（2）如图2，∠MON＝90°，A，B分别是射线ON，OM上的两个动点，∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则点A，B的运动的过程中，∠P的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【拓展应用】（3）如图3，∠MON＝90°，作∠MON的平分线OD，A是射线OD上的一定点，B是直线OM上的任意一点（不与点O重合），连接AB，设∠ABO的平分线与∠BAO的邻补角的平分线的交点为P，请直接写出∠P的度数．【答案】（1）说明见解析；（2）∠P的大小不变，仍为45°，理由见解析；（3）22.5°或67.5°．【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠A，再根据角平分线的定义∠ACD＝2∠1，∠ABC＝2∠2，最后由∠A＝∠ACD﹣∠ABC进行等量代换即可；（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠O，再根据角平分线的定义∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠O＝∠NAB﹣∠ABO进行等量代换即可；（3）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求出∠P和∠AOB，再根据角平分线的定义∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，最后由∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO进行等量代换即可；【解答】解：（1）如图1所示：∵CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，∴∠ACP=12∠ACD，∠2=∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ACP=1∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵∠2+∠P+∠ACB+∠ACP＝180°，∴12∠ABC+∠ACB+∠P+1180°-∠A+∠P+1∴∠P=1（2）∠P的大小不变，理由如下：如图2所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠O＝∠NAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠NAB，∴∠NAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠NAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=1（3）∠P＝22.5°或67.5°，分两种情况：①如图3所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，CA平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=1②如图4所示：∵∠2+∠P＝∠1，∠ABO+∠AOB＝∠DAB，∴∠P＝∠1﹣∠2，∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO，又∵BP平分∠ABO，AC平分∠DAB，∴∠DAB＝2∠1，∠ABO＝2∠2，∴∠AOB＝∠DAB﹣∠ABO＝2（∠1﹣∠2）＝2∠P，∴∠P=1【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的相互关系．20．（2023春•大荔县期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形三个内角和是180°，“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．性质理解：（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，则∠AOB＝85°，则∠C+∠D＝95°．性质应用：（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大8°，求∠BED的度数．拓展提高：（3）如图3，BE、CD是△ABC的角平分线，且∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，设∠A＝α，请尝试求出∠P的度数（用含α的式子表示∠P）．【答案】（1）95；（2）∠BED＝26°；（3）∠P=45°-1【分析】（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，再根据三角形内角和定理即可得到答案；（2）由对顶三角形的性质以及三角形内角和定理得到∠ADE+∠BED＝60°，再根据已知即可求解；（3）利用三角形内角和定理求得∠ABE+∠ACD=90°-12α，再利用角平分线的定义求得∠CEP=12（∠ABE+【解答】解：（1）由对顶三角形可得∠A+∠B＝∠C+∠D，在△AOB中，∠A+∠B＝180°﹣∠AOB＝180°﹣85°＝95°，∴∠C+∠D＝95°．故答案为：95；（2）在△ABC中，∠C＝60°，∴∠BAC+∠ABC＝120°．∵AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠FBA+∠FAB=1∴∠ADE+∠BED＝60°．又∵∠ADE﹣∠BED＝8°，∴∠ADE＝34°，∠BED＝26°；（3）45°-1理由：在△ABC中，∠A＝α，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣α．∵BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABE=∠CBE=12∠ABC∴∠ABE+∠ACD=1∵∠BDC和∠BEC的平分线DP和EP相交于点P，∴∠CEP=12∠BEC=∵∠CEP+∠ACD＝∠CDP+∠P，∴∠P＝∠CEP+∠ACD+∠CDP=12（∠ABE+∠A）+∠ACD-12（∠ACD=12∠ABE+=12（∠ABE+∠=12×（90°＝45°-14即∠P=45°-1【点评】本题考查的是三角形内角和定理，利用对顶三角形的性质解答是解此题的关键．21．（2023春•金华期末）数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是180°”，进行了一系列探究，过程如下：【论证】如图1，延长BA至D，过点A作AE∥BC，就可以说明∠BAC+∠B+∠C＝180°成立，即：三角形的内角和为180°，请完成上述说理过程．【应用】如图2，在△ABC中，∠BAC的平分线与∠ACB的角平分线交于点P，过点A作AE∥BC，M在射线AE上，且∠ACM＝∠AMC，MC的延长线与AP的延长线交于点D．①求∠DCP的度数；②设∠B＝α，请用α的代数式表示∠D．【拓展】如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，过点A作EF∥BC，直线MN与EF相交于A点右侧的点P，∠APN＝75°．△ABC绕点A以每秒12°的速度顺时针方向旋转，同时MN绕点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，与EF重合时MN再绕着点P以原速度逆时针方向旋转，当△ABC旋转一周时，运动全部停止，设运动时间为t秒，在旋转过程中，是否某一时刻，使得MN∥BC？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．【答案】论证：见解析；应用：①∠DCP＝90°；②∠α＝2∠D；拓展：t的值为15秒或43517【分析】论证：利用平行线的性质以及平角的性质即可证明；应用：①利用平行线的性质以及角平分线的定义求得∠MAC＝2∠2，再推出∠2+∠ACM＝90°，再利用平角的性质即可求解；②在△ABC中，∠ABC+2∠2+2∠3＝180°，由三角形的外角性质推出∠4＝∠2+∠3，结合①的结论得到∠2+∠3＝90°，据此计算即可求解．拓展：当△ABC旋转一周时，运动全部停止，求得总时间为30秒，MN与EF重合时间为15秒，分在前15秒内和后15秒内，两种情况讨论，根据MN与BC平行的次数，求解即可．【解答】论证：证明：延长BA至D，过点A作AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠CAE＝∠C，∵∠BAC+∠CAE+∠DAE＝180°，∴∠BAC+∠C+∠B＝180°，即三角形的内角和为180°．应用：解：①如图，∵AE∥BC，∴∠MAC＝∠ACB，∵CP是∠ACB的角平分线，∴∠2=∠PCB=1∴∠MAC＝2∠2，又2∠2+∠ACM+∠1＝180°，∠ACM＝∠1，∴2∠2+2∠ACM＝180°，∴∠2+∠ACM＝90°，∴∠PCD＝180°﹣（∠2+∠ACM）＝180°﹣90°＝90°；②∵AP是∠BAC的角平分线，∴∠3=∠BAD=1在△ABC中，∠B+2∠2+2∠3＝180°，∵∠4＝∠2+∠3，∠PCD＝90°，∴∠4＝90°﹣∠D，即∠2+∠3＝90°﹣∠D，∴∠B+2∠2+2∠3＝∠B+2（90°﹣∠D）＝180°，∴∠B+180°﹣2∠D＝180°，∴∠B＝2∠D，∵∠B＝α，∴∠α＝2∠D，拓展：∵当△ABC旋转一周运动停止，∴总时间t＝360÷12＝30（秒），∵MN与EF重合时MN再以原速返回，∴重合时间为t1＝75÷5＝15秒，此时∠EPN＝0°，延长CB交EF于点Q，∵在前15秒内，∠EQC由180°逐渐减少，∠EPN由75°逐渐减少至0°，又∵当t＝15秒时，△ABC旋转至15×12°＝180°，此时EF∥BC，而∠EPN由75°逐渐减少至0°，在前15秒内，MN与BC仅一次平行，即MN与EF重合时，些时t＝15（秒）．同理，后15秒，∠EQC由0°逐渐增至180°，∠EPN由0°逐渐增至75°，MN与BC仅可能一次平行，有∠EQC＝12t2＝180﹣5t2，解得t2t=15+180综上，t的值为15秒或43517【点评】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．22．（2023春•云浮期末）如图1，在直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠C＝30°，现将△ABC绕点A顺时针旋转α角度得到△ADE．（1）若α＝28°时，则∠DAC＝62°；若0°＜α＜90°时，α与∠CAE的关系是α＝∠CAE；（2）∠DAC与∠BAE有怎样的关系？请说明理由；（3）在旋转过程中，若0°＜α＜180°时，△ADE与△ABC这两个三角形是否存在一组边互相平行？若存在，请求出α的所有可能取值．【答案】（1）62；α＝∠CAE；（2）∠DAC+∠BAE＝180°，见解析；（3）存在，60°或30°或120°或150°．【分析】（1）直接利用角的和差关系可得答案，再根据旋转的性质可得α＝∠CAE；（2）证明∠DAC＝∠EAP，结合∠EAP+∠BAE＝180°，可得∠DAC+∠BAE＝180°（3）分情况讨论：①如图，当AE∥BC时，②如图，当DE∥AB时，③如图，当AD∥BC时，④如图，当AC∥DE时，再利用数形结合的方法解答即可．【解答】解：（1）∵∠BAD＝α＝28°，∠BAC＝90°，∴∠DAC＝90°﹣28°＝62°；当0°＜α＜90°，由旋转的性质可得：α＝∠CAE；（2）∠DAC与∠BAE的关系是：∠DAC+∠BAE＝180°，理由如下：∵∠CAE+∠DAC＝90°，∠CAE+∠EAP＝90°，∴∠DAC＝∠EAP，∵∠EAP+∠BAE＝180°，∴∠DAC+∠BAE＝180°；（3）“△ADE与△ABC这两个三角形存在一组边互相平行”∵∠C＝30°，∴∠E＝30°，∠ABC＝∠D＝90°﹣30°＝60°，①如图，当AE∥BC时，∴∠EAC＝∠C＝30°，∴α＝∠EAC＝30°；②如图，当DE∥AB时，∴α＝∠D＝60°，③如图，当AD∥BC时，∴∠CAD＝∠C＝30°，∴α＝90°+30°＝120°．④如图，当AC∥DE时，∴∠CAD＝∠D＝60°，∴α＝90°+∠CAD＝150°；综上：△ADE与△ABC这两个三角形的一组边互相平行时，α为60°或30°或120°或150°．【点评】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，邻补角的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键．23．（2023春•德清县期末）如图，已知在同一平面内有线段AB和直线CD，且AB∥CD，点E是直线CD上的一个动点，连结AE，BE，过点B作BF⊥CD，垂足为F．（1）如图1，若AE⊥BE，请说明∠BAE+∠BEF＝90°的理由；（2）如图2，作∠BAE的角平分线与∠EBF的角平分线交于点P，设∠APB＝α，∠AEB＝β，请求出α和β之间的数关系；（3）如图3，当点E运动到点F的右边时，在（2）的条件下，α和β之间的数量关系是否会发生改变？请说明理由．【答案】（1）理由见解析；（2）2α﹣β＝90°；（3）不会发生改变，理由见解析．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠ABE＝∠BEF，根据垂线的定义得出∠AEB＝90°，在△ABE中根据三角形内角和定理得出∠BAE+∠ABE＝90°，从而问题得证；（2）根据两直线平行，同旁内角互补得出∠ABF+∠BFC＝180°，根据垂线的定义得出∠BFC＝90°，于是得出∠ABF＝90°，从而得出∠ABP＝90°﹣∠1，∠ABE＝90°﹣2∠1，在△ABP中根据三角形内角和定理得出∠2+∠APB+∠ABP＝180°，即2∠2﹣2∠1+2α＝180°①，在△ABE中根据三角形内角和定理得出∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，即2∠2﹣2∠1+β＝90°②，①﹣②得出2α﹣β＝90°即可；（3）方法同（2）．【解答】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝180°﹣∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠BEF＝90°；（2）如图2，∵AB∥CD，∴∠ABF+∠BFC＝180°，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°，∴∠ABF＝90°，∵BP平分∠EBF，∴∠EBF＝2∠1，∴∠ABP＝90°﹣∠1，∠ABE＝90°﹣2∠1，∵AP平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠2，在△ABP中，∠2+∠APB+∠ABP＝180°，即∠2+α+90°﹣∠1＝180°，∴∠2﹣∠1+α＝90°，∴2∠2﹣2∠1+2α＝180°①，在△ABE中，∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，即2∠2+β+90°﹣2∠1＝180°，∴2∠2﹣2∠1+β＝90°②，①﹣②得，2α﹣β＝90°；（3）如图3，不会发生改变，理由：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠BFC＝180°，∵BF⊥CD，∴∠BFC＝90°，∴∠ABF＝90°，∵BP平分∠EBF，∴∠EBF＝2∠FBP，∴∠ABP＝90°+∠FBP，∠ABE＝90°+2∠FBP，∵AP平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠BAP，在△ABP中，∠BAP+∠APB+∠ABP＝180°，即∠BAP+α+90°+∠FBP＝180°，∴∠BAP+∠FBP+α＝90°，∴2∠BAP+2∠FBP+2α＝180°①，在△ABE中，∠BAE+∠AEB+∠ABE＝180°，即2∠BAP+β+90°+2∠FBP＝180°，∴2∠BAP+2∠FBP+β＝90°②，①﹣②得，2α﹣β＝90°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂线的定义，平行线的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．24．（2023春•沈丘县期末）在△ABC中，∠ACB＞∠B，AD平分∠BAC，P为线段AD上的任意一点，EP⊥AD交直线BC于点E．（1）若∠B＝36°，∠ACB＝78°，则∠E＝21°；（2）当点P在线段AD上运动时，求证：∠E=12（∠ACB﹣∠【答案】（1）21°；（2）见解答过程．【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】（1）解：∵∠B＝36°，∠ACB＝78°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝66°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝69°．又∵∠DPE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠ADC＝21°；故答案为：21°；（2）证明：∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝90°-12（∠B∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°-12（∠ACB﹣∠∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°．∴∠ADC+∠E＝90°．∴∠E＝90°﹣∠ADC，即∠E=12（∠ACB﹣∠【点评】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．25．（2023春•定兴县期末）综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线a，b且a∥b，三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠BAC＝30°．操作发现：（1）如图1，若∠1＝42°，求∠2的度数；（2）小聪同学把图1中的直线a向上平移得到如图2，请你探究图2中的∠1与∠2的数量关系，并说明理由．（3）小颖同学将图2中的直线b向上平移得到图3，若∠2＝4∠1，求∠1的度数．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由题意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，再由平行线的性质即可求得∠2的度数；（2）由题意可求得∠ACP＝∠1+∠ACB，由平行线的性质可得∠AGF＝∠ACP，再由三角形的外角性质即可求解；（3）由图可知∠1＝∠CMN，则由三角形的外角性质得∠ANM＝∠1+90°，利用平行线的性质得∠2＝∠ANM，从而可求解．【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠1＝42°，∴∠ACP＝∠1+∠ACB＝132°，∵a∥b，∴∠2＝∠ACP＝132°；（2）∠2﹣∠1＝120°，理由如下：如图2，由题意得：∠ACP＝∠1+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠AGF＝∠ACP＝∠1+90°，∵∠2是△AFG的外角，∴∠2＝∠BAC+∠AGF＝30°+∠1+90°，即∠2﹣∠1＝120°；（3）∵∠1＝∠CMN，∠ACB＝90°，∴∠ANM＝∠CMN+∠ACB＝∠1+90°，∵a∥b，∴∠2＝∠ANM＝∠1+90°，∵∠2＝4∠1，∴4∠1＝∠1+90°，解得：∠1＝30°．【点评】本题主要考查三角形的内角和，平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．26．（2022秋•太平区校级期末）【基本模型】：如图1，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点O，请你写出∠BOC与∠A的数量关系，并说明理由．【变式应用】：如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线．（1）若∠POM＝80°，在点A、B运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．（2）若AP∥DE，BM∥CE，直接写出∠POM度数．【答案】（1）∠BOC＝90°-12∠A，理由见解析；（2）①∠DEC的度数不变，为65°，理由见解析；②∠POM＝【分析】（1）由三角形的外角性质求得∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，得到∠MBC+∠BCN＝∠A+180°，然后利用BO、CO分别平分∠MBC、∠NCB得到∠OBC+∠OCB=12（180°+∠A），然后得到∠BOC与∠（2）①由（1）得∠DAB+∠CBA=12（180°+∠POM）=12×（180°+80°）130°，然后得到∠ADC+∠BCD＝360°﹣130°＝230°，进而利用AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线得到∠EDC+∠ECD=1②由角平分线的定义得到∠CDE＝∠ADE、∠DCE＝∠ECB，∠PAD＝∠BAD、∠ABC＝∠MBC，然后利用AP∥DE，BM∥CE得到∠ADE＝∠PAD、∠ECB＝∠MBC，进而结合四边形ABCD的内角和为360°得到∠DAB+∠CBA＝120°，再结合（1）中∠DAB+∠CBA=12（180°+∠POM）即可得到∠【解答】解：（1）∠BOC＝90°-12∠由三角形的外角性质得：∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∴∠MBC+∠BCN＝∠A+180°，∵BO、CO分别平分∠MBC、∠NCB，∴∠OBC+∠OCB=12（180°+∠∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°-12（180°+∠A）＝90°-1（2）①∠DEC的度数不发生改变，理由如下，由（1）得∠DAB+∠CBA=12（180°+∠∴∠DAB+∠CBA=12×（180°+80∴∠ADC+∠BCD＝360°﹣130°＝230°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠EDC+∠ECD=12×230∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ECD）＝180°﹣115°＝65°．②∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠PAD＝∠BAD，∠ABC＝∠MBC，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE＝∠ADE，∠DCE＝∠ECB，∵AP∥DE，BM∥CE，∴∠ADE＝∠PAD，∠ECB＝∠MBC，∴∠ADC＝2∠ADE+∠EDC＝2∠DAB，∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝2∠ABC，∵∠ADC+∠BCD+∠DAB+∠CBA＝360°，∴3∠DAB+3∠ABC＝360°，∴∠DAB+∠CBA＝120°，由（1）得，∠DAB+∠ABC=12（180°+∠∴12（180°+∠POM）＝120∴∠POM＝60°，∴∠POM的度数为60°【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义、三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，属于中考常考题型．27．（2023春•盐都区期中）【教材呈现】苏科版义务教育数学教科书七下第42页第20题，是一道研究双内角平分线的夹角和双外角平分线夹角的数学问题，原题如下．在△ABC中，∠A＝n°．（1）设∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数；（2）设△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，求∠BO′C的度数；（3）∠BOC与∠BO′C有怎样的数量关系？【问题解决】聪聪对上面的问题进行了研究，得出以下答案：如图1，在△ABC中，∠A＝n°．（1）∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC的度数为90°+12（2）△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线交于点O′，则∠BO′C的度数为90°-12（3）∠BOC与∠BO'C的数量关系是∠BOC+∠BO'C＝180°．（4）【问题深入】：如图2，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，将△ABC沿MN折叠使得点A与点O重合，请直接写出∠1+∠2与∠BOC的一个等量关系式；（5）如图3，过△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线的交点O′，作直线PQ交AD于点P，交AE于点Q．当∠APQ＝∠AQP时，∠CO′Q与∠ABC有怎样的数量关系？请直接写出结果．【答案】（1）90°+1（2）90°-1（3）∠BOC+∠BO'C＝180°；（4）∠1+∠2＝4∠BOC﹣360°；（5）∠CO'Q=90°-1【分析】（1）由三角形内角和定理得到，∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，再根据角平分线的定义，推出∠OBC+∠OCB=90°-12n°（2）根据三角形外角的定义，推出∠CBD+∠BCE＝180°+n°，再根据角平分线的定义，推出∠CBO'+∠BCO'=90°+12n°，然后利用三角形内角和定理即可求出∠BO（3）根据（1）和（2）的结果即可得到答案；（4）由折叠的性质可知，∠AMN＝∠OMN，∠ANM＝∠ONM，得到∠1＝180°﹣2∠AMN，∠2＝180°﹣2∠ONM，再根据三角形内角和定理，推出∠1+∠2＝2∠A，由（1）同理可证∠BOC=90°+1（5）根据多边形内角和与角平分线的定义，推出∠BO'C＝∠BPQ，再根据三角形外角的性质，得到∠CO'Q＝∠PBO'，最后根据∠ABC＝180°﹣2∠PBO'，即可得到答案．【解答】解：（1）∵∠A＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-1故答案为：90°+1（2）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠BCE＝∠A+∠ABC，∴∠CBD+∠BCE＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A＝180°+n°，∵BO'平分∠CBD，CO′平分∠BCE，∴∠CBO'=12∠CBD∴∠CBO'+∠BCO'=1∴∠BO'C=180°-(∠CBO'+∠BCO')=180°-(90°+1故答案为：90°-1（3）由（1）和（2）可知，∠BOC=90°+12n°∴∠BOC+∠BO'C＝180°，故答案为：∠BOC+∠BO'C＝180°（4）∠1+∠2＝4∠BOC﹣360°，理由如下：由折叠的性质可知，∠AMN＝∠OMN，∠ANM＝∠ONM，∴∠1＝180°﹣∠AMN﹣∠OMN＝180°﹣2∠AMN，∠2＝180°﹣∠ANM﹣∠ONM＝180°﹣2∠ONM，∵∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠A，∴∠1+∠2＝180°﹣2∠AMN+180°﹣2∠ANM＝360°﹣2（∠AMN+∠ANM）＝2∠A，由（1）同理可证，∠BOC=90°+12∠A，∴2∠A＝4∠BOC﹣360°，∴∠1+∠2＝4∠BOC（5）∵四边形BCQP的内角和为360°，∴∠CBP+∠BPQ+∠PQC+∠BCQ＝360°，∵BO'平分∠CBD，CO′平分∠BCE，∴∠CBD＝2∠CBO'，∠BCE＝2∠BCO'，∵∠APQ＝∠AQP，∴2∠CBO'+2∠BPQ+2∠BCO'＝360°，∴∠CBO'+∠BPQ+∠BCO'＝180°，∴∠CBO'+∠BCO'+∠BO'C＝180°，∴∠BO'C＝∠BPQ，∵∠BO'Q＝∠BPQ+∠PBO'＝∠BO'C+∠CO'Q，∴∠CO'Q＝∠PBO'，∵∠ABC＝180°﹣∠CBD＝180°﹣2∠PBO'，∴∠ABC＝180°﹣2∠CO'Q，∴∠CO'Q=90°-1【点评】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，多边形内角和，根据图形找出角度之间的数量关系是解题关键．28．（2023春•郯城县期中）已知AB∥CD，直线MN交AB、CD交于点M、N．（1）如图1所示，点E在线段MN上，设∠MBE＝15°，∠MND＝70°，则∠MEB＝5