专题3.28 用勾股定理求最值常用方法专题（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题3.28用勾股定理求最值常用方法专题（分层练习）（培优练）一、单选题1．如图，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．15 B．12 C．10 D．92．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，P是边CD上一点，将△ADP沿直线AP对折，得到△APQ．当射线BQ交线段CD于点F时，DF的最大值是（

）A．3 B．2 C． D．3．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，在矩形内部有一动点P满足S△PAB＝3S△PCD，则动点P到点A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为（

）A．5 B． C． D．4．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在BC上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．145．如图，在中，cm，cm，点D、E分别在AC、BC上，现将沿DE翻折，使点C落在点处，连接，则长度的最小值（

）A．不存在 B．等于1cmC．等于2cm D．等于2.5cm二、填空题6．如图，点、在直线的同一侧，于点，于点，，．点是直线上的一个动点，的最小值为，的最大值为，则的值为________．

7．如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90º，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上（包括端点）移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为________________．8．已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为______．9．如图，在中，，，，P为边上的一个动点，D为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是______．10．已知任意直角三角形的两直角边a，b和斜边c之间存在关系式：a2+b2=c2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，BD=3，CD=4，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若点M是DE上一个动点，则线段CM长的最小值为_________．11．如图，在中，，，，平分交于点D，点E、F分别在、上，则的最小值为________．12．如图，已知△ABC，BC=10，分别以AB，AC为腰向形外作等腰直角三角形△ABD与△ACE，连接BE，CD交于点P，则S△CBP的最大值是_______．13．如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．（1）AM的长为_____；（2）EM+AF的最小值为_____．14．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝8，BC＞6，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为_____．15．如图，在中，，，为中点，是射线上的一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，点在运动过程中的最小值为_______．16．如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，AD是∠CAB的平分线，若P、Q分别是AD和AC上的动点，则AC＝_______，PC+PQ的最小值是_______．17．如图，圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是________cm．18．爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是______cm三、解答题19．已知在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，连接AD，在直线AD右侧作等腰△ADE，AD=AE．（1）如图1，若∠BAC=∠DAE=90°，连接CE．求证：△ABD≌△ACE；（2）如图2，若∠BAC=∠DAE=120°，AB=AC=2．①当AE∥BC时，求线段BD的长；②取AC边的中点F，连接EF．当点D从点B运动到点C过程中，求线段EF长度的最小值与最大值．20．发现：如图1，点为线段外一动点，且．（1）填空：当点位于上时，线段的长取得最小值，且最小值为（用含的式子表示）（2）应用：如图2，点为线段外一动点，且，分别以为边，作等腰直角和等腰直角，连接．①请找出图中与相等的线段，并说明理由；②直接写出长的最小值．拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点为线段外一动点，且，请直接写出长的最小值及此时点的坐标．

21．综合与实践问题情境：数学活动课上，老师要求学生出示两个大小不一样的等腰直角三角形，如图1所示，把Rt△ADE和Rt△ABC摆在一起，其中直角顶点A重合，延长CA至点F，满足AF=AC，然后连接DF、BE．实践猜想：（1）图1中的BE与DF的数量关系为：，位置关系为：．猜想证明：（2）当△ADE绕着点A顺时针旋转一定角度α（0＜α＜90°）时，如图2所示，（1）中的结论是否还成立?若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若，△ADE绕着点A顺时针旋转一定角度α（0＜α＜360°）的过程中，求BE的最大值与最小值．参考答案1．A【分析】如图，连接AD，作，垂足分别为，可证，；由，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值，，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值；，可得，可知当时，最小，最大，此时有，解得的值，进而求解的值，故可知的最大值．解：如图，连接AD，作，垂足分别为由题意知在和中∵∴∴∵∴在中，由勾股定理得∴在中，由勾股定理得∵∴∴当时，最小，最大∴此时解得∴∴的最大值为15故选A．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．解题的关键在于将线段和与面积联系求解．2．C解：如图1所示，过点作于点，在矩形中，，所以，又，所以，所以，则，因为，，所以当最大、最小时，最小，最大，即当点与点重合时，最大．如图2所示，此时，点、重合，、、三点共线，由可知，所以，在和中，，所以，所以，故的最大值为．故选C.3．B【分析】首先由，得知动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，则BE的长就是所求的最短距离，然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA+PB的最小值．解：∵，设点P到CD的距离为h，则点P到AB的距离为(4-h),则，解得：h=1，∴点P到CD的距离1，到AB的距离为3，∴如下图所示，动点P在与AB平行且与AB的距离为3的直线上，作点A关于直线的对称点E，连接AE、BE，且两点之间线段最短，∴PA+PB的最小值即为BE的长度，AE=6，AB=3，∠BAE=90°，根据勾股定理：，故选：B．【点拨】本题考查了轴对称—最短路线问题（两点之间线段最短），勾股定理，得出动点P所在的位置是解题的关键．4．B【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．∵DC＝2，BD＝6，∴BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，∴∠CBC′＝90°，∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，∴BC＝BC′＝8，根据勾股定理可得DC′＝．故选：B．【点拨】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时PC＋PD的值最小是解题的关键．5．C【分析】当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，∴AC′=AB-BC′=2cm．故选：C．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．【分析】作点关于直线的对称点，连接交于点，则点即为所求点，过点作的延长线于点，则的长即为的最小值，利用勾股定理即可求出的长即的值，延长交于点，当移动到点时，值最大，过点作，利用勾股定理即可求出的长即的值，最后求出结果即可．解：如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，

则点即为所求点，过点作的延长线于点，则的长即为的最小值为，，，，，的最小值为，如图，延长交于点，

，，当移动到点时，值最大，，，过点作，则，，，，的最大值为，，故答案为：．【点拨】本题考查的是最短线路问题及勾股定理，熟知两点之间线段最短及三角形的三边关系是解答此类问题的关键．7．【分析】分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差解：如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，，∴AP的最大值为AP1=AB=3如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD⊥直线l于点D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt△PCD中，，∴AP的最小值为线段AP长度的最大值与最小值之差为故答案为【点拨】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.8．13【分析】通过过点A作的平行线，并在上截取，构造全等三角形，得到当B，D，H三点共线时，可求得的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可．解：如图，过点A作的平行线，并在上截取，连接，．则．在和中，∴，∴，∴，∴当B，D，H三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长．∵，，，∴在中，由勾股定理，得．如图，过点H作，交的延长线于点M，则四边形为长方形，∴，，∴在中，由勾股定理，得．∴的最小值为13．故答案为：13．【点拨】本题属于没有共同端点的两条线段求最值问题这一类型，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识．解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形．9．【分析】取的中点，连接，．首先证明，求出，，根据，可得结论．解：如图，取的中点，连接，．，，，，，，，，，，的最小值为，故答案为：．【点拨】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是依据题意作出辅助线．10．【分析】连接CE，过点C作于点H，首先证明，可推导，，再证明，在中，由勾股定理计算，然后借助三角形面积求出，根据“垂线段最短”可知，当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，即可获得答案．解：连接CE，过点C作于点H，如下图，∵，即，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，∴，，∵∠BAC=90°，∴，∴，即，∴在中，，∵，∴，即，解得，∵点M是DE上一个动点，则当，即M、H重合时，线段CM的长取最小值，此时．故答案为：．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作图辅助线构建全等三角形是解题关键．11．【分析】在AB上取点，使，过点C作，垂足为，先说明可得，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小．解：如图所示：在AB上取点，使，过点C作，垂足为H．∵AE平分，∴∠EAF=∠EA，∵，AE=AE，∴△EAF≌△EA，∴，∴，当C，E，共线，且点与H重合时，的值最小在中，依据勾股定理可知，∵，的最小值为．故答案为．【点拨】本题主要考查的是勾股定理的应用、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是利用垂线段最短解答最短路径问题．12．25【分析】根据题意证明△DAC≌△BAE，根据勾股定理可得，由，得到，进而即可求解．解：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，∵AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE，∴△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE，∴∠PDB+∠PBD=90°，∴∠DPB=90°，∴=100，∵，∴，∴BP•PC≤50，∴=BP•PC≤×50=25．故答案为25．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理．由，得到是解答本题的关键．13．【分析】（1）由正方形的边长为2，结合线段中点性质得到，利用勾股定理解题得AM的长即可；（2）过点F作于点，先证明，由全等三角形对应边相等的性质得到，将沿方向平移至，连接，当三点共线时，此时EM+AF的值最小，最后根据勾股定理解题即可．解：（1）四边形是正方形，且边长为，是的中点，故答案为：；（2）过点F作于点，则将沿方向平移至，连接，则当三点共线时，此时，故答案为：．【点拨】本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．．【分析】过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，MG，利用两点之间线段最短，确定最小值为BG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，利用勾股定理计算即可．解：过A点作AG∥BC，截取AG＝AC，连接FG，MG，过B作BR⊥AG，交AG的反向延长线于R，则∠RBC＝∠BRA＝90°，∴∠GAF＝∠ACE，在△AFG和△CEA中，，∴△AFG≌△CEA（SAS），∴GF＝AE，∴AE+BF的最小值，即为BG的长，∵∠ABC＝45°，∴∠RAB＝∠EBA＝45°，∵AB＝6，∴BR＝AR＝6，∵AC＝8，∴AG＝AC＝8，∴RG＝AR+AG＝6+8＝14，∴BG＝=，即AE+BF的最小值为．【点拨】本题考查了勾股定理，三角形的全等，线段和最小值，平行线的性质，熟练掌握通过构造平行线法构造出线段和最小解题模型是解题的关键．15．【分析】连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，则是等腰直角三角形．推出，根据全等三角形的性质得到，证得是等腰直角三角，求出，，，由，于是得到当时，的值最小．解：连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，则是等腰直角三角形．在与中，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∵为中点，∴，∴，∵，∴，∴当时，的值最小，∴.故答案为：．【点拨】本题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，证明线段最短有一定的难度．但通过构造全等三角形，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质就变得容易．16．5【分析】（1）根据勾股定理即可求出AC的长度；（2）过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AC，再运用S△ABC=AB•CM=AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝12，∴；如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，∵AD是∠BAC的平分线．∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，∵AC=5，BC=12，∠ACB=90°，∵,∴．故答案为：5；．【点拨】本题考查勾股定理、轴对称中的最短路线问题，找出点P、Q的位置是解题关键．17．10【分析】过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AD和BD的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，AD＝×16＝8（cm），∠D＝90°，BD＝6cm，由勾股定理得：（cm）．故答案为：10．【点拨】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．18．16【分析】将正方形沿着翻折得到正方形，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可．解：如图，将正方形沿着翻折得到正方形，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形，∴，，，，此时最小，∵点是中点，∴cm，∴cm，cm，在中，cm，∴cm，故答案为：16．【点拨】本题考查最短路径问题，考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，轴对称性质等，解题的关键是将立体图形中的最短距离转换为平面图形的两点之间线段长度进行计算．19．（1）证明见分析；（2）①BD；②线段EF长度的最小值为，最大值为【分析】（1）由“SAS”可证得；（2）①如图1，过点D作DM⊥AB于点M，连接CE，根据∠BAC=∠DAE=120°求出∠BAD=∠CAE，然后根据平行性质求出∠ABC=∠ACB=∠EAC=30°，得到是等腰三角形，然后就可以求解了．②如图2，取AB中点G，连接DG，CG，由“SAS”可证，可得GD=EF,当GD⊥BC时，GD有最小值．当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值．解：证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE．∵AB=AC，AD=AE，∴（SAS）；（2）解：①如图1，过点D作DM⊥AB于点M，连接CE，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAD=∠CAE．∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=30°．∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB=30°，∴∠BAD=30°，∴AD=BD，∴BMAB=1，∴DM，∴BD．②如图2，取AB中点G，连接DG，CG，∵AB=AC=2，点F是AC中点，点G是AB中点，∴AG=BG=AF=CF=1．∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠BAD=∠CAE．∵AD=AE，AG=AF，∴（SAS），∴GD=EF，∴DG有最小值，EF也有最小值，∴当GD⊥BC时，GD有最小值．∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠ABC=30°，GD⊥BC，BG=1，∴GD，BD，当点D与点C重合时，DG有最大值为CG，即EF也有最大值．∵BD，BC=2，∴CD，∴CG，∴线段EF长度的最小值为，最大值为．故答案为：最小值是，最大值为．【点拨】本题是三角形综合题，考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．20．（1）；（2）①，证明见分析，②；（3）最小为或．【分析】（1）根据点A位于CB上时，线段AC的长取得最小值，即可得到结论；（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；（3）以AP为边向右边作等边三角形APC，连接BE后，易证，此时AM=BC，然后根据（1）的结论求值即可，点P坐标可根据等边三角形性质求．解：当位于线段上，取到最小值故答案为：①和均为等腰直角三角形，在和中②而最小值为，当且仅当在线段上取到以为边向右边作等边三角形，连接为正三角形，又在和中最小为，此时在线段上，的横坐标为纵坐标为．【点拨】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知