专题5.13 坐标与图形变换-轴对称（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.13坐标与图形变换——轴对称（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】平面直角坐标系中对称的点的坐标1.关于坐标轴对称点的点的坐标规律（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）其特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）其特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.特别解读：关于坐标轴对称的点的坐标规律可以简记为：横对称，横不变，纵相反；纵对称，纵不变，横相反；关于坐标轴的对称的点折坐标只有符号不同，其他绝对值相同。2.关于非坐标轴对称的点的坐标规律（1）点（a,b）关于直线x=m称的点的坐标为（2m-a，b）；（2）点(a,b)关于直线y=n称的点的坐标为（a，2n-b）；（3）点（a,b）关于原点对称的点的坐标为（-a,-b）。【知识点2】平面直角坐标系中图形的轴对称变换在坐标系中画图形的轴对称变换的图形的方法（1）计算—计算已知图形特殊点的对称点的坐标；（2）描点—根据对称点的坐标描点；（3）连接—依次连接所描各点得到轴对称变换的图形.特别解读：所找的特殊点一定要能确定原图形，否则画出来的图形不一定和原图形对称。【考点一】轴对称与坐标变化➼➻利用关于坐标轴对称的点的坐标求值【例1】（2023秋·甘肃金昌·八年级校考期末）若点与点关于y轴对称，则．【答案】【分析】根据点坐标的规律“点关于y轴对称的点的坐标为”可得，，计算得，，将，代入所给的代数式中即可得．解：∵点与点关于y轴对称，∴，，解得，，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称与坐标变化，代数式求值，解题的关键是掌握点坐标的规律．【举一反三】【变式1】（2023秋·八年级课时练习）如图，若与关于直线对称（每个网格的边长为1个单位长度），则点的对称点的坐标是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据轴对称图象的性质即可求解．解：如图所示：根据轴对称图象的性质可知

点的对称点的坐标是故选：【点拨】本题主要考查了轴对称图象的性质，熟练掌握轴对称图象的性质是解此题的关键．【变式2】（2022秋·四川绵阳·八年级校考阶段练习）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为．（1）请以x轴为对称轴，画出与对称的，并直接写出点、、的坐标；（2）的面积是．（3）点与点C关于y轴对称，则，．【答案】（1）画图见解析，，，；（2）6；（3），【分析】（1）分别确定A，B，C关于x轴对称的对称点，，，再顺次连接，再根据点，，的位置可得其坐标；（2）直接利用三角形的面积公式进行计算即可；（3）根据关于y轴的对称点横坐标互为相反数，纵坐标不变，再建立方程即可．（1）解：如图，即为所求；

∴，，；（2）；（3）∵点与点关于y轴对称，∴，，∴，．【点拨】本题考查的是坐标与图形，画关于坐标轴对称的图形，网格三角形的面积，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键．【考点二】轴对称与坐标变化➼➻利用关于某条直线（x=m或y=n）对称求值【例2】（2023·全国·九年级专题练习）点关于过点且垂直于轴的直线对称的点的坐标是；若点关于过点且平行于轴的直线对称的点的坐标为，则．【答案】【分析】与垂直于轴的直线对称的点的坐标与原坐标的纵坐标相等，横坐标到直线的距离相等，由此分析所求对称点的坐标即可；与平行于轴的直线对称的点的坐标与原坐标的横坐标相等，纵坐标到直线的距离相等，由此分析所求对称点的坐标即可．解：∵关于过点且垂直于轴的直线对称的点的坐标与原坐标的纵坐标相等，横坐标到直线的距离相等，∴点到直线的距离为，其对称点到直线的距离为，∴所求对称点的坐标为；当关于过点且平行于轴的直线对称的点的坐标为，如图，根据对称的性质，有：，解得：．故答案为：；．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是要掌握坐标系中对称点的坐标变化与对称轴的关系．【举一反三】【变式1】（2023春·河北石家庄·八年级校考期中）点与点关于直线对称，则点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称的性质进行解答即可．解：∵点与点关于直线对称，∴点Q的坐标为，故A正确．故选：A．【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．【变式2】（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，三个顶点的坐标分别为．（1）作出关于直线对称的图形，并写出点的坐标；（2）作出关于直线对称的图形，并写出点的坐标．【答案】（1）图见解析，；（2）图见解析，．【分析】（1）根据对称轴垂直平分对应点连线，找到各点的对称点，顺次连接可得，结合直角坐标系可得的坐标；（2）根据对称轴垂直平分对应点连线，找到各点的对称点，顺次连接可得，结合直角坐标系可得的坐标；（1）解：所作图形如下所示：

结合图形可得：；（2）解：所作图形如图所示：结合图形可得：．【点拨】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．【考点三】轴对称与坐标变化➼➻几何综合问题（最值）【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C、D分别在y轴、上运动，连接，则的最小值为．

【答案】/4.8/【分析】先找出线段关于y轴的对称线段，再过点B作这条对称线段的垂线段，这条垂线段的长度即位的最小值．解：如下图所示，先找出点B关于y轴对称的对称点，截取，此时点D与点关于y轴对称，从而可知．

再根据垂线段最短可知，当是线段的垂线段，与y轴交于点C时，即有最小值．

∵点A的坐标为，点B的坐标为∴点的坐标为，=6．=5，4，∴即∴∴的最小值为故答案为：．【点拨】本题考查线段和的最小值，掌握垂线段最短和找出线段关于y轴的对称线段时解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·七年级课时练习）如图，已知点，，点P在直线上运动，则的最大值为（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】根据轴对称的性质可求得答案．解：作A关于直线对称点C，∴，∵，∴C的坐标为；连接并延长，交直线于P点，此时，取得最大值，∴．故选D．【点拨】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，轴对称−最短路线问题，正确的作出辅助线是解决本题的关键．【变式2】（2023秋·广东深圳·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标为，请回答下列问题．（1）画出关于x轴对称的，并写出点的坐标（，）（2）点P是x轴上一点，当的长最小时，点P坐标为；（3）点M是直线上一点，则的最小值为．【答案】（1）画图见解析，5；；（2）；（3）2【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；（2）连接交x轴于点P，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件.（3）过A作于M，进而解答即可.解：（1）如图所示：C1的坐标；故答案为：5；；（2）连接，交x轴于点P，此时的长最小如图所示：由于四边形是正方形，所以点P是线段的中点，即；故答案为：；（3）过点A，作,此时的值最小，；故答案为：2.【点拨】此题主要考查了轴对称变换，根据题意得出对应点位置是解题关键.【考点四】轴对称与坐标变化➼➻几何综合问题（折叠）【例4】（2022秋·八年级课时练习）如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，BC⊥y轴，，点B的坐标为．将△ABC沿AC折叠得到△ADC，点B落在点D的位置，AD交y轴于点E，则点D的坐标为．【答案】【分析】过点D作DF⊥y轴于点F．首先可证明△CDE≌△AOE，则可得DE=OE，CE=AE=3−OE，在△AOE中由勾股定理可求得OE的长，从而可求得CE的长，再由面积关系可求得DF的长，由勾股定理可求得EF的长，则最后可求得点D的坐标．解：过点D作DF⊥y轴于点F，如图，∵点B的坐标为，∴OA=BC=1，OC=AB=3，由折叠的性质得：DC=BC=1，AD=AB=3，∠CDA=∠B=90°，∴DC=OA．在△CDE和△AOE中，，∴△CDE≌△AOE，∴DE=OE，CE=AE=3−OE，在△AOE中，由勾股定理得：即，解得：，∴，．∵，即，∴．在Rt△DFE中，由勾股定理得：，∴，∵点D在第二象限，∴点D的坐标为故答案为：．【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，勾股定理及折叠的性质等知识，灵活运用这些知识，构造适当的辅助线是解决本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C是上一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点C的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据折叠的性质可得，，再求出，可得，然后在中，由勾股定理，即可求解．解：根据题意得：，，∵点A的坐标是，点B的坐标是，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，解得：，∴点．故选：A．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键．【变式2】（2022秋·四川成都·八年级成都嘉祥外国语学校校考期中）如图，长方形在平面直角坐标系中，，，折叠长方形使得点与点重合，折痕交于点、交于点，点的对应点为．（1）求点的坐标；（2）求折痕的长度．【答案】（1）；（2）【分析】（1）设，根据折叠得出，然后在中根据勾股定理得出关于x的方程，然后求解即可；（2）过点作，根据折叠和长方形的性质得出，根据等角对等边得出，进而求出，最后在中根据勾股定理求解即可．（1）解：设，∵，，四边形是长方形，∴，，，∵折叠，∴，．∵，∴，即，解得，∴；（2）解：过点作，∵长方形，∴，∴．又∵折叠，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，∴．【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形等知识，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解第（2）题的关键．【考点五】轴对称与坐标变化➼➻几何综合问题（动点）【例5】（2023春·黑龙江佳木斯·七年级校考期中）如图，动点P从出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第1次碰到长方形的边时的位置，当点P第2021次碰到长方形的边时，点的坐标为．

【答案】【分析】按照光线反射规律，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点，然后计算2021有几个6即可求出对应点的坐标．解：按照光线反射规律，画出图形，如下图：

由题意得：，通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环，∵，∴点的坐标是．故答案为．【点拨】本题考查点的坐标，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的变化规律．【举一反三】【变式1】（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）如图，直线与两坐标轴分别交于两点，，D、E分别是直线轴上的动点，则周长的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG，根据轴对称的性质得到周长的最小值就是FG的长，求出点F和点G坐标算出FG的长．解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG，∵直线与两坐标轴分别交于A、B两点，∴，，∵，∴，∵AO=BO，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵C、G关于OA对称，∴，由对称的性质，DF=DC，EC=EG，∴，此时周长最小，在中，，故选：A．【点拨】本题考查轴对称最短路线问题，解题的关键是利用对称性找到周长最小时点D和点E的位置，再结合平面直角坐标系中点坐标对称的关系进行求解．【变式2】（2023春·天津滨海新·七年级校考期中）在直角坐标系中，三角形的顶点，，．（1）求三角形的面积．（2）若P是x轴上一动点，若三角形的面积等于三角形面积的一半，求点P的坐标．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）过点B作轴于点H，由得到，由及得到，利用三角形面积公式即可得到三角形的面积；（2）设点P的坐标为，则，根据题意得到，解得或，即可得到点P的坐标．（1）解：过点B作轴于点H，

∵，∴，∵三角形的顶点，．∴，∴三角形的面积，即三角形的面积为；（2）设点P的坐标为，则，∵三角形的面积等于三角形面积的一半，∴，解得或，∴点P的坐标为或．【点拨】此题主要考查了图形与坐标、绝对值方程、三角形面积公式等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．【考点六】轴对称与坐标变化➼➻几何综合压轴问题【例6】（2022秋·八年级课时练习）如图，等腰是由三块面向内的镜面组成的，其中，边上靠近点的三等分点处发出一道光线，经镜面两次反射后恰好回到点，若，则光线走过的路径是．【答案】【分析】根据题意，建立直角坐标系，写出对应点坐标，利用光的反射原理与对称性，求出点、的坐标，勾股定理即可求解．解：建立如图所示的直角坐标系，，分别是点关于直线和轴的对称点，连接AM，，D为边上靠近点的三等分点，可得，，，，，，设，分别是点关于直线和轴的对称点，则，，由光的反射原理可知，、、、四点共线，，，光线走过的路径，，即光线走过的路径是．故答案为：．【点拨】本题考查三角形的性质与轴对称图形的灵活应用问题，关键在于正确建立直角坐标系并求解．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（

）A．15 B．12 C．13 D．10【答案】C【分析】由AC=BC，，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，则此时MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案解：如图：是等边三角形，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，为最小值，故答案选C【点拨】本题考查轴对称中的最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作图是关键．【变式2】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）如图，已知点A（a，0），点C（0，b），其中a、b满足|a﹣8|+b2﹣8b+16＝0，四边形OABC为长方形，将长方形OABC沿直线AC对折，点B与点B′对应，连接点C交x轴于点D．（1）求点A、C的坐标；（2）求OD的长；（3）E是直线AC上一个动点，F是y轴上一个动点，求△DEF周长的最小值．【答案】（1）A点的坐标为（8，0），C点的坐标为（0，4）；（2）OD的长为3；（3）△DEF周长的最小值为4．【分析】（1）根据非负数的性质可得a、b的值，由此可得问题的答案；（2）根据长方形的性质和折叠的性质可得A＝AB＝4，C＝CB＝8，∠＝∠B＝90°，设OD＝x，CD＝y，根据勾股定理列方程，求解可得答案；（3）作点D关于y轴对称点为H，作点D关于直线AC对称点G，连接EG，HF，HG，由翻折的性质得D、H、G点的坐标，当点H，F，E