专题03 一元一次不等式（知识串讲+热考题型+真题训练）（原卷版）

专题03一元一次不等式【考点1】不等式的定义【考点2】在数轴上表示不等式的解集．【考点3】不等式的性质．【考点4】一元一次不等式的定义【考点5】由实际问题抽象出一元一次不等式．【考点6】解一元一次不等式．【考点7】一元一次不等式的整数解．【考点8】一元一次不等式组的定义【考点9】解一元一次不等式组【考点10】一元一次不等式组的整数解．【考点11】一元一次不等式的应用．【考点12】一元一次不等式组的应用．知识点1：不等式的定义（1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如：等都是不等式．（2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．知识点2：不等式的基本性质基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变．如果，那么如果，那么基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果，并且，那么(或)如果，并且，那么(或)不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么．不等式的传递性：如果，，那么．易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．②在计算的时候符号方向容易忘记改变．知识点3：不等式的解集不等式的解集①概念：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程叫做解不等式。②用数轴表示不等式解集解集x>−4在数轴上表示为解集x≥−4在数轴上表示为解集x<4在数轴上表示为解集x≤4在数轴上表示为知识点4：一元一次不等式的概念只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．注意：一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为1知识点5：解一元一次不等式解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。（1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。（2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。（3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。（4）合并同类项。（5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。（6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左．知识点6：一元一次不等式组的概念由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组知识点7：一元一次不等式组的解法1．分别求出不等式组中各个不等式的解集；2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集3.不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点）不等式组图示解集（同大取大）（同小取小）（大小交叉取中间）无解（大小分离解为空）知识点8：根据实际问题列出一元一次不等式组；积分问题分类问题行程问题，常用等量关系：路程=速度×时间4.经济问题：常见等量关系：利润=售价-成本.利润率=（售价-成本）/成本X100%.售价=成本X（1+利润率）5.方案问题【考点1】不等式的定义1．（2023春•宣汉县校级期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．+1＞2 B．x2＞9 C．2x+y≤5 D．＜02．（2023春•武侯区校级期末）下面给出了5个式子：①3＞0，②4x+3y＞0，③x＝3，④x﹣1，⑤x+2≤3，其中不等式有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．（2023•思明区校级模拟）高钙牛奶的包装盒上注明“每100克内含钙≥150毫克”，它的含义是指（）A．每100克内含钙150毫克 B．每100克内含钙不低于150毫克 C．每100克内含钙高于150毫克 D．每100克内含钙不超过150毫克【考点2】在数轴上表示不等式的解集．4．（2023春•达川区校级期末）在数轴上表示不等式x≥﹣2的解集，正确的是（）A． B． C． D．5．（2023春•铁岭县期末）若不等式组的解集为﹣1≤x≤3，则图中表示正确的是（）A． B． C． D．6．（2023春•淅川县期中）把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是（）A． B． C． D．【考点3】不等式的性质．7．（2023春•灵丘县校级期末）已知实数a＜b，则下列结论错误的是（）A．a+1＜b+1 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣2a＜﹣2b D．5a＜5b8．（2023春•定南县期末）已知实数a、b，若a＞b，则下列结论正确的是（）A．a﹣5＜b﹣5 B．2+a＜2+b C． D．3a＞3b9．（2023春•玉门市期中）设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）A．■、●、▲ B．▲、■、● C．■、▲、● D．●、▲、■【考点4】一元一次不等式的定义10．（2023春•衡阳期末）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝．11．（2023春•南岗区校级期末）若是一元一次不等式，则m＝．【考点5】由实际问题抽象出一元一次不等式．12．（2023春•梧州期中）“x的2倍与3的差不大于8”列出的不等式是（）A．2x﹣3≤8 B．2x﹣3≥8 C．2x﹣3＜8 D．2x﹣3＞813．（2023春•泗水县期末）把一些书分给几名同学，若________；若每人分11本，则不够．依题意，设有x名同学，可列不等式9x+7＜11x，则横线上的信息可以是（）A．每人分7本，则可多分9个人 B．每人分7本，则剩余9本 C．每人分9本，则剩余7本 D．其中一个人分7本，则其他同学每人可分9本14．（2023春•茂南区期中）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小英得分不低于90分．设她答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（）A．10x﹣5（20﹣x）≥90 B．10x﹣5（20﹣x）＞90 C．10x﹣（20﹣x）≥90 D．10x﹣（20﹣x）＞9015．（2022秋•益阳期末）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（）A．120x≥80×5% B．120x﹣80≥80×5% C．120×≥80×5% D．120×﹣80≥80×5%【考点6】解一元一次不等式．16．（2023春•秦州区校级期中）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，则a的取值范围是．17．（2023春•方城县期中）不等式（x﹣m）＞3﹣m的解集为x＞1，则m的值为．18．（2023•迎江区校级三模）解不等式+1＞x﹣3．19．（2023春•鼓楼区校级期末）解不等式：2x+1≥3x﹣1，并把它的解集在数轴上表示出来．20．（2023•汉中二模）解不等式﹣＞﹣3，并把它的解集在数轴上表示出来．21．（2023春•南海区期中）解不等式：﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．【考点7】一元一次不等式的整数解．22．（2023春•秦州区校级期中）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是．23．（2023春•息烽县期末）不等式5x﹣3＜3x+5的最大整数解是．24．（2023春•高青县期末）如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是．【考点8】一元一次不等式组的定义25．（2010春•昌宁县校级期末）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（）A． B． C． D．【考点9】解一元一次不等式组26．（2022秋•槐荫区校级期末）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．27．（2023春•确山县期末）关于x的不等式组的解集为x＜3，那么m的取值范围为（）A．m＝3 B．m＞3 C．m＜3 D．m≥328．（2023春•桐柏县校级月考）若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（）A． B．m≤ C． D．m≤29．（2023春•灌云县期末）如果不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞8 B．m≥8 C．m＜8 D．m≤830．（2023春•莲湖区期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．31．（2023•宜都市一模）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．32．（2023•青秀区校级开学）解不等式组：，并把解集在如图数轴上表示出来．【考点10】一元一次不等式组的整数解．33．（2023春•望奎县期末）关于x的不等式组有四个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣B．﹣≤a＜﹣ C．﹣≤a≤﹣ D．﹣＜a＜﹣34．（2023春•兴业县期末）若关于x的不等式组的整数解共有4个，则m的取值范围是（）A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤735．（2023•东湖区开学）关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是．【考点11】一元一次不等式的应用．36．（2023春•子洲县校级期末）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：AB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？37．（2023春•米东区校级期末）为提高饮水质量，越来越多的居民选购家用净水器．一商场抓住商机，从厂家购进了A、B两种型号家用净水器共160台，A型号家用净水器进价是150元/台，B型号家用净水器进价是350元/台，购进两种型号的家用净水器共用去36000元．（1）求A、B两种型号家用净水器各购进了多少台；（2）为使每台B型号家用净水器的毛利润是A型号的2倍，且保证售完这160台家用净水器的毛利润不低于11000元，求每台A型号家用净水器的售价至少是多少元．（注：毛利润＝售价﹣进价）38．（2023春•沙市区期末）某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？39．（2023春•岳池县校级期末）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？40．（2023春•长春期中）在“抗击疫情”期间，某学校工会号召广大教师积极开展了“献爱心捐款”活动，学校拟用这笔捐款购买A、B两种防疫物品．如果购买A种物品60件，B种物品45件，共需1140元；如果购买A种物品45件，B种物品30件，共需840元．（1）求A、B两种防疫物品每件各多少元；（2）现要购买A、B两种防疫物品共600件，总费用不超过7000元，那么A种防疫物品最多购买多少件？【考点12】一元一次不等式组的应用．41．（2022秋•新化县期末）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜842．（2023春•连山区期末）现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满．若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为．43．（2023春•富顺县校级期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？44．（2023春•儋州期末）某中学为了绿化校园，计划购买一批榕树和香樟树，经市场调查榕树的单价比香樟树少20元，购买3棵榕树和2棵香樟树共需340元．（1）请问榕树和香樟树的单价各多少？（2）根据学校实际情况，需购买两种树苗共150棵，总费用不超过10840元，且购买香樟树的棵数不少于榕树的1.5倍，请你算算，该校本次购买榕树和香樟树共有哪几种方案．45．（2022秋•湘潭县期末）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？一．选择题（共9小题）1．（2023春•河东区期末）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是5℃～10℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（）A．3℃～5℃ B．3℃～10℃ C．5℃～8℃ D．8℃～10℃2．（2023春•天门期末）关于x的不等式组的解集为x＞1，则a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤13．（2023春•东至县期末）不等式组的解集在数轴上表示为（）A． B． C． D．4．（2023春•朔城区期末）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（）A．x≥﹣1 B．x＞1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣35．（2022秋•新化县期末）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜86．（2023•长兴县校级一模）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（）A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤237．（2023春•萧山区期中）若不等式组有解，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a≤1 D．a＜18．（2023春•安达市校级期末）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则最少可打（）A．六折 B．七折 C．八折 D．九折9．（2023春•灵丘县校级期末）已知实数a＜b，则下列结论错误的是（）A．a+1＜b+1 B．a﹣3＜b﹣3 C．﹣2a＜﹣2b D．5a＜5b二．填空题（共6小题）10．（2022秋•新邵县期末）不等式（m﹣2）x＞2﹣m的解集为x＜﹣1，则m的取值范围是．11．（2023春•秦州区校级期中）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是．12．（2023春•衡阳期末）若（m+1）x|m|+2＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝．13．（2023春•海陵区期中）已知关于x的方程＝3的解是正数，则m的取值范围是．14．（2023春•金乡县期末）已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是．15．（2023春•万源市校级期末）我们定义＝ad﹣bc，例如＝2×5﹣3×4＝10﹣12＝﹣2，若x，y均为整数，且满足1＜＜3，则x+y的值是．三．解答题（共7小题）16．（2022秋•福田区校级期末）解不等式组：．17．（2023春•安源区期中）解不等式﹣≥x﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．18．（2023春•前郭县期末）已知