专题5.2 二元一次方程组的应用（基础）（解析版）

专题5.2二元一次方程组的应用和差倍分问题解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.某年级学生共有246人，其中男生人数比女生人数的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有A． B． C． D．【解答】解：根据某年级学生共有246人，则；男生人数比女生人数的2倍少2人，则．可列方程组为．故选：．2021年2月3日，河南南阳免费开放“诸葛书屋”，推动全民读书风潮．九（3）班借此开展书籍共享活动．甲对乙说：“若你的藏书给我1本，我的藏书数量是你藏书数量的2倍”，乙对甲说：“若你的藏书给我1本，你我藏书的数量就相同了”．设甲藏书本，乙藏书本，根据题意可列方程组为A． B． C． D．【解答】解：根据题意得：，故选：．列方程组解下列问题：八年级2班共有学生45人，其中男生比女生的2倍少9人，问该班男生、女生各有多少人？【解答】解：设该班男生有人，女生有人，依题意得：，解得：．答：该班男生有27人，女生有18人．几何问题如图，用10块形状、大小完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设每个小长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意可列方程组为A． B． C． D．【解答】解：根据图示可得：．故选：．如图，9个大小、形状完全相同的小长方形，组成了一个周长为46的大长方形，若设小长方形的长为，宽为，则可列方程组为A． B． C． D．【解答】解：设小长方形的长为，宽为，依题意得：．故选：．列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？【解答】解：设小长方形的长为米，宽为米，依题意，得：，解得：，（元．答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元．某工厂准备用如图甲所示的型正方形板材和型长方形板材，制作成如图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．（1）若现有型板材150张，型板材300张，为节约成本，需将板材全部用竞，且不能切割板材，则可制作竖式和模式两种无盖箱子各多少个？（2）若该工厂准备用不超过24000元的资金去购买，两种型号的板材，制作竖式、横式无盖箱子共100个．已知型板材每张20元，型板材每张60元，问最多可以制作竖式无盖箱子多少个？【解答】解：（1）设可制作竖式无盖箱子个，横式无盖箱子个，依题意得：，解得：，答：可制作竖式无盖箱子30个，横式无盖箱子60个．（2）设制作竖式无盖箱子个，则制作横式无盖箱子个，依题意得：，解得：．答：最多可以制作竖式无盖箱子50个．配套问题解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？设用张制盒身，张制盒底．根据题意可列出的方程组是A． B． C． D．【解答】解：设用张制盒身，可得方程；设用张制盒身，张制盒底，可得方程组．故选：．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有45张白铁皮，设用张制盒身，张制盒底，恰好配套．则下列方程组中符合题意的是A． B． C． D．【解答】解：设用张制作盒身，张制作盒底，根据题意得：．故选：．列方程组解应用题：某厂共有104名生产工人，每个工人每天可生产螺栓20个或螺母25个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套．（1）每天安排多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配套？（2）若每套利润20元，求每天的利润？【解答】解：（1）设每天安排名工人生产螺栓，名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配套，根据题意得：，解得：．答：每天安排40名工人生产螺栓，64名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配套．（2）（元．答：每天的利润为16000元．一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个型零件和3个型零件配套组成，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．（1）工厂每天应安排多少名工人生产型零件？每天能生产多少套产品？（2）现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行型零件的加工，且每人每天只能加工4个型零件．①设每天安排名熟练工人和名新工人生产型零件，求的值（用含的代数式表示）②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？【解答】解：（1）设安排名工人生产型装置，则安排名工人生产型装置，根据题意得：，解得：，．答：工厂每天应安排24名工人生产型装置，工厂每天能配套组成36套产品．（2）①设每天安排名熟练工人和名新工人生产型装置，则安排名工人生产型装置，根据题意得：，解得．②设至少需要补充名新工人才能刚好在规定期限完成生产任务，安排名工人生产型装置，则安排名工人及名新工人生产型装置，根据题意得：，解得：，答：至少需要补充60名新工人才能刚好在规定期限完成生产任务．销售问题(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；

打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）

某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意可列方程组为A． B． C． D．【解答】解：设篮球的单价为元，足球的单价为元，由题意得：，故选：．《九章算术》中记载了这样的问题：五只鸡、六只鸭共重20千克，鸡轻鸭重，互换其中一只，恰好一样重．间：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每一只鸡平均重千克，每一只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为A． B． C． D．【解答】解：由题意得，．故选：．为加强中小学生安全和禁毒教育，某校组织了“防溺水、交通安全、禁毒”知识竞赛，为奖励在竞赛中表现优异的班级，学校准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），购买1个足球和1个篮球共需159元；足球单价是篮球单价的2倍少9元．求足球和篮球的单价各是多少元？【解答】解：设足球的单价为元个、篮球的单价为元个，根据题意得：，解得：．答：足球的单价为103元个，篮球的单价为56元个．随着越来越多年轻家长对低幼阶段孩子英语口语的重视，某顺势推出了“北美外教在线授课”系列课程，提供“课程”、“课程”两种不同课程供家长选择．已知购买“课程”3课时与“课程”5课时共需付款410元，购买“课程”5课时与“课程”3课时共需付款470元．（1）请问购买“课程”1课时多少元？购买“课程”1课时多少元？（2）根据市场调研，销售“课程”1课时获利25元，销售“课程”1课时获利20元，临近春节，小融计划用不低于3000元且不超过3600元的压岁钱购买两种课程共60课时，请问购买“课程”多少课时才使得的获利最高？【解答】解：（1）设购买“课程”1课时元，购买“课程”1课时元．依题意，得：，解得：，答：购买“课程”1课时70元，购买“课程”1课时40元．（2）设购买“课程”课时，则购买“课程”课时．依题意，得：，解得：，设利润为，，，随着的增大而增大，故当时，最大．答：购买“课程”40课时才使得的获利最高．某天，小明从菜场附近经过，听到两位阿姨的对话：王阿姨：我今天花了65元，在菜市场买回2斤萝卜、3斤排骨，准备做萝卜排骨汤．张阿姨：我上个星期，也买了1斤萝卜、1斤排骨，花了22元．已知这两个星期，排骨和萝卜的单价都没有改变，请你根据王阿姨和张阿姨的对话求出排骨和萝卜的单价分别是多少元？【解答】解：设排骨的单价是元，萝卜的单价是元，依题意得：，解得：．答：排骨的单价是21元，萝卜的单价是1元．某玩具店购进2022年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共70个，用去3120元，这两种吉祥物的进价、售价如下表：进价（元个）售价（元个）冰墩墩4860雪容融4055（1）求冰墩墩、雪容融各购进了多少个？（2）如果将销售完这70个吉祥物所得的利润全部捐赠，那么该玩具店捐赠了多少钱？【解答】解：（1）设购进冰墩墩个，雪容融个，依题意得：，解得：．答：购进冰墩墩40个，雪容融30个．（2）（元．答：该玩具店捐赠了930元钱．行程问题(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程。

(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速。

甲乙两辆小车同时从地开出，甲车比乙车每小时快，结果甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地，设甲车和乙车的速度分别为，，则下列方程组正确的是A． B． C． D．【解答】解：由“甲车比乙车每小时快”得到方程：．根据“甲车行驶了40分钟到达了地，而乙车比甲车晚5分钟到达地”得到方程：．则列出方程组为：．故选：．工程问题工作效率×工作时间工作效率×工作时间=工作量食堂的存煤计划用若干天，若每天用，则缺少；若每天用，则还剩余．设食堂的存煤共有，计划用天，则下面所列方程组正确的是A． B． C． D．【解答】解：由题意得，．故选：．我市在落实国家“精准扶贫”政策的过程中，为某村修建一条长为400米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩50米的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工2米，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工米，乙工程队每天施工米．根据题意，所列方程组正确的是A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，故选：．某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，两队共完成了面积为区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是，乙队每天能完成绿化的面积是，甲队比乙队晚10天完成任务．设甲队和乙队分别完成的绿化面积为和，根据题意列出方程组：．【解答】解：由题意可得，，故答案为：．甲、乙两工程队共同修建的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？【解答】解：设甲工程队原计划平均每月修建，乙工程队原计划平均每月修建，根据题意得，，解得，答：甲工程队原计划平均每月修建2，乙工程队原计划平均每月修建3．为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车．该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？【解答】解：设甲工程队修建有轨电车千米，乙工程队修建有轨电车千米，依题意得：，解得：．答：甲工程队修建有轨电车12千米，乙工程队修建有轨电车24千米．方案问题在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。在疫情防控期间，某中学为保障广大师生生命健康安全，欲从商场购进一批免洗手消毒液和84消毒液．已知如下购买情况：免洗手消毒液84消毒液总花费第一次购买40瓶90瓶1320第二次购买60瓶120瓶1860（1）求每瓶免洗手消毒液和每瓶84消毒液的价格分别是多少元？（2）若商场有两种促销方案：方案一：所有购买商品均打九折；方案二：每购买5瓶免洗手消毒液送2瓶84消毒液；学校打算购进免洗手消毒液100瓶，84消毒液60瓶，请问学校选用哪种方案更省钱？省多少钱？【解答】解：（1）设每瓶免洗手消毒液的价格是元，每瓶84消毒液的价格是元，依题意得：，解得：．答：每瓶免洗手消毒液的价格是15元，每瓶84消毒液的价格是8元．（2）选择方案一所需费用为（元，选择方案二所需费用为（元．，选择方案二更省钱，（元．答：学校选用方案二更省钱，省122元钱．某居民在新房装修后，购买了家居用品的清单如表，部分信息因污迹无法识别，请根据下表解决问题．家居用品名称单价（元数量（个金额（元挂钟30260垃圾桶15塑料鞋架40艺术饰品290电热水壶351合计8280（1）直接写出，；（2）该居民购买了垃圾桶，塑料鞋架各几个？（用方程解答这个问题）（3）若干天后，该居民再次购买艺术饰品和垃圾桶两种家居用品（两种物品至少各买1个），共花费105元，则有哪几种不同的购买方案？直接将方案列举出来．【解答】解：（1），．故答案为：45；35（2）设该居民购买了个垃圾桶，个塑料鞋架，依题意得：，解得：．答：该居民购买了1个垃圾桶，2个塑料鞋架．（3）设该居民购买了个艺术饰品，个垃圾桶，依题意得：，．又，均为正整数，或，共有2种购买方案，方案1：购买1个艺术饰品，4个垃圾桶；方案2：购买2个艺术饰品，1个垃圾桶．某超市计划购进甲、乙两种型号的台灯1000台，这两种型号台灯的进价、售价如表：进价（元台）售价（元台）甲种4560乙种6080（1）如果超市的进货款为54000元，那么可计划购进甲、乙两种型号的台灯各多少台？（2）若这两种台灯学校都需要，派王老师到该超市为学校购买甲、乙两种型号的台灯各若干个，超市在这次售卖中获利200元，王老师有哪几种购买方案？（直接写出答案）【解答】解：设购进甲种型号台灯台，则乙种型号台灯台，，解得：，，购进甲种型号台灯400台，则乙种型号台灯600台；（2）甲型号利润为：元，乙型号利润为：元，设购买甲种型号台灯台，购买乙种型号台灯台，根据题意可得：，整理得：，当时，；当时，；当时，；共有3种方案，购买甲种型号台灯4台，购买乙种型号台灯7台；购买甲种型号台灯8台，购买乙种型号台灯4台；购买甲种型号台灯12台，购买乙种型号台灯1台．某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具．据了解，8只“冰墩墩”和10只“雪容融”的进价共计2000元；10只“冰墩墩”和20只“雪容融”的进价共计3100元．（1）求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元．（2）该专卖店计划恰好用4500元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具（两种均购买），求专卖店共有几种采购方案．（3）若“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只的售价分别是200元，100元，则在（2）的条件下，请选出利润最大的采购方案，并求出最大利润．【解答】解：（1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为元，由题意得：，解得，答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价为150元，“雪容融”毛绒玩具每只进价为80元；（2）设购进“冰墩墩”毛绒玩具只，购进“雪容融”毛绒玩具只，由题意得：，整理得：，、为正整数，或或，专卖店共有3种采购方案；（3）当，时，利润为：（元；当，时，利润为：（元；当，时，利润为：（元；，利润最大的采购方案为购进“冰墩墩”毛绒玩具22只，购进“雪容融”毛绒玩具15只，最大利润为1400元．某电器超市销售每台进价为200元、170元的、两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）．销售时段销售数量销售收入种型号种型号第一周351750元第二周4103000元（1）求、两种型号电风扇的销售单价；（2）超市销售完、两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由；（3）一家公司打算花费4000元同时购买、两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．【解答】解：（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，依题意得：，解得：．答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元．（2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下：设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，依题意得：，解得：，又，均为正整数，不符合题意，舍去，即不能实现利润为1200元的目标．（3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，依题意得：，，又，均为正整数，或或，该公司共有3种购买方案，方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇；方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇；方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇．一．选择题（共9小题）1．已知某校学生总人数为人，其中女生人，若女生的2倍比男生多80人，则可以列方程为A． B． C． D．【解答】解：某校学生总人数为人，其中女生人，男生人数为人．女生的2倍比男生多80人，．故选：．2．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱48文，问甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有文钱，乙原有文钱，可列方程组是A． B． C． D．【解答】解：设甲原有文钱，乙原有文钱，由甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文，可得，由乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱48文，可得，故可列方程组，故选：．3．根据“与的差的2倍等于9”的数量关系可列方程为A． B． C． D．【解答】解：由文字表述列方程得，．故选：．4．把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管，如果不造成浪费，那么共有种不同的截法A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解；截下来的符合条件的钢管长度之和刚好等于总长7米时，不造成浪费，设截成2米长的钢管根，1米长的根，由题意得，，因为，都是正整数，所以符合条件的解为：，，，则有三种不同的截法．故选：．5．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”译文：今有醇酒（优质酒）1斗，价格50钱；行酒（勾兑酒）1斗，价格10钱．现有30钱，买2斗酒，问能买醇酒、行酒各多少斗？设能买醇酒斗，行酒斗，可列二元一次方程组为A． B． C． D．【解答】解：设能买醇酒斗，行酒斗．买2斗酒，；醇酒1斗，价格50钱；行酒1斗，价格10钱，且共花费30钱，．联立两方程组成方程组．故选：．6．将一张面值50元的人民币，兑换成5元和2元的两种零钱（两种都要兑换），兑换方案有A．4种 B．5种 C．6种 D．7种【解答】解：设可以兑换张5元的零钱，张2元的零钱，依题意，得：，．，均为正整数，当时，；当时，；当时，；当时，．共有4种兑换方案．故选：．7．我国古代有这样一道数学题：“马五匹，牛六头，共价五十四两（我国古代货币单位）；马四匹，牛三头，共价三十六两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，故选：．8．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱：每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为人，物价为钱，以下列出的方程组正确的是A． B． C． D．【解答】解：设合伙人数为人，物