专题07 二次函数中的存在性问题专训（8大题型）（原卷版）

专题07二次函数中的存在性问题专训（8大题型）【题型目录】题型一二次函数中直角三角形的存在性问题题型二二次函数中等腰三角形的存在性问题题型三二次函数中等腰直角三角形的存在性问题题型四二次函数中特殊角度的存在性问题题型五二次函数中平行四边形的存在性问题题型六二次函数中矩形的存在性问题题型七二次函数中菱形的存在性问题题型八二次函数中正方形的存在性问题【经典例题一二次函数中直角三角形的存在性问题】1．（2022·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，抛物线经过，两点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；(2)为抛物线上的点，连接交直线于，当是中点时，求点的坐标；(3)在直线上，当为直角三角形时，求出点的坐标．2．（2023秋·广东汕头·九年级校考阶段练习）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．

(1)求a，k的值．(2)求的面积．(3)抛物线的对称轴上是否存在一点N，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考开学考试）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于点、．

(1)求此抛物线的解析式；(2)设是直线上方该抛物线上除点外的一点，且与的面积相等，求点的坐标；(3)在直线上方，抛物线上找一点，使得的面积最大，则点的坐标为________；(4)设是抛物线上一点，且为直角三角形，则点的横坐标为________．4．（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图抛物线交x轴于，两点，与y轴交于点C，

(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)过定点（1，3）的直线：与二次函数的图像相交于M，N两点．①若，求k的值；②证明：无论k为何值，恒为直角三角形．【经典例题二二次函数中等腰三角形的存在性问题】5．（2022秋·福建龙岩·九年级校考开学考试）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与轴交于点C．

(1)在抛物线的对称轴上找一点D，使最短，求出D点坐标；(2)P是y轴正半轴上一点，且是以为腰的等腰三角形，试求P点坐标．6．（2023秋·浙江·九年级校联考阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．(1)直接写出抛物线和直线的解析式；(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求m的值；(3)是否存在点这样的点P，使得以O，M，N为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）抛物线与轴交于和两点，与轴交于点.

(1)求此抛物线解析式；(2)如图1，为线段上一点，作交抛物线于，的长度最大时，求点的坐标；(3)如图2，为射线上一点，在抛物线上，、均位于轴上方，且使，当为等腰三角形时，求点坐标.8．（2022秋·江苏连云港·九年级灌云县实验中学校考期末）如图，抛物线交轴于点、(点在点的左侧)，与轴交于点，点、的坐标分别为，，对称轴交轴于，点为抛物线顶点．

(1)求抛物线的解析式；(2)点是直线下方的抛物线上一点，且．求的坐标；(3)为抛物线对称轴上一点，是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【经典例题三二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】9．（2023·黑龙江佳木斯·校联考二模）如图，抛物线与轴相交于点和点．

(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上有一点，过点作轴的垂线交轴于点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．10．（2023·全国·九年级专题练习）已知抛物线经过点和点(1)求该抛物线的函数表达式及其顶点坐标．(2)将该抛物线平移，所得抛物线经过点，且与y轴交于点B．如果以点A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，那么应将抛物线怎样平移？为什么？11．（2023·宁夏银川·校考二模）如图：一次函数的图象与坐标轴交于A、B两点，点P是函数图象上任意一点，过点P作轴于点M，连接．

(1)当为等腰直角三角形时，试确定点P的坐标；(2)当与相似时，试确定点P的坐标；(3)当为何值时，的面积最大？并求出最大值．12．（2023春·广东·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．

(1)求抛物线的表达式；(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题四二次函数中特殊角度的存在性问题】13．（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，且经过点．

(1)求抛物线的解析式；(2)如C是第一象限内抛物线上一点，连分别交x轴、y轴于D、E，若，求C点坐标；(3)如图3，抛物线的顶点为F点，点P是y轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标．14．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考阶段练习）抛物线（b，c为常数，）经过点．(1)当时，①求抛物线的顶点坐标；②如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若点E的坐标为，，求点P的坐标；(2)如图2．点是x轴正半轴上的动点，点在抛物线上，当的最小值为时，直接写出抛物线解析式．15．（2023春·湖北武汉·九年级校考自主招生）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴的另一个交点为C．

(1)直接写出点A和点B的坐标，求抛物线的解析式．(2)D为直线上方抛物线上一动点．①连接交于点E，记，求的最大值；②是否存在点D，使得？如果存在，写出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．16．（2023秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考阶段练习）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；(3)在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题五二次函数中平行四边形的存在性问题】17．（2022秋·浙江温州·九年级校联考期中）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过两点，与x轴交于另一点A，点E是直线上方抛物线上的一动点，过E作轴交x轴于点F，交直线于点M．(1)求抛物线的解析式；(2)求线段的最大值；(3)在（2）的条件下，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由．18．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线经过，点为抛物线的顶点，点在轴上，直线与抛物线在第一象限交于点，如图①

(1)求抛物线解析式(2)直线的函数解析式为________________．点的坐标为________．(3)在轴上找一点，使得的周长最小，具体作法如图②，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，，此时的周长最小，请求出点的坐标；(4)在坐标平面内是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．19．（2021秋·山西太原·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的表达式；(2)如图①，若点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，当的面积等于面积的倍时，求的值；(3)若点为抛物线对称轴上一点，请在图②中探究抛物线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2022秋·湖北随州·九年级校考阶段练习）已知抛物线交轴于和，交轴于．

(1)求抛物线的解析式；(2)若为抛物线上第二象限内一点，求使面积最大时点的坐标；(3)是抛物线的顶点，为抛物线上的一点，当时，请直接写出点的坐标；(4)若是对称轴上一动点，是抛物线上一动点，是否存在、，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标．【经典例题六二次函数中矩形的存在性问题】21（2023·北京朝阳·统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为，曲线是抛物线的一部分，顶点C在的垂直平分线上，且到的距离为．以中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．22．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求的最大值；(3)过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标．23．（2023·山东泰安·校考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．24．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，．

(1)求抛物线解析式，并直接写出直线的解析式；(2)点在此拋物线的对称轴上，当最大时，点的坐标为______；(3)若点是第三象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，过点作交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；(4)点在抛物线上，在平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题七二次函数中菱形的存在性问题】25（2023·西藏拉萨·统考一模）如图，已知经过，两点的抛物线与轴交于点．(1)求此抛物线的解析式及点的坐标；(2)若线段上有一动点不与、重合，过点作轴交抛物线于点．①求当线段的长度最大时点M的坐标；②是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．26．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于，两点，其对称轴直线l与x轴交于点D．(1)求抛物线L的函数表达式．(2)将抛物线L向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出满足条件的点M的坐标．27．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标；(3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．28．（2023秋·重庆南川·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；(3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．【经典例题八二次函数中正方形的存在性问题】29（2023·陕西西安·校考三模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为，点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点M是抛物线上的动点，过点M作轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．30．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知抛物线．(1)若抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标；(2)如图，在（1）的条件下，在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于B，C两点（点C在对称轴的右侧），过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D．当矩形为正方形时，求B点的坐标．(3)若抛物线有两个相异的不动点a、b，且，求m的取值范围．31．（2023·山西大同·校联考模拟预测）综合与探究如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与