专题7.1 平行线的证明（基础）（原卷版）

专题7.1平行线的证明目录定义与命题 1平行线的判定 3平行线的性质 8折叠问题 11实际应用 13三角板 16平行线综合运用 18平行线证明综合 22三角形内角和定理 27定义与命题11．定义对名称和术语的含义加以描述，作出明确的__规定__．2．命题(1)定义：__判断__一件事情的句子．(2)组成：每个命题都由__条件__和__结论__两部分组成．(3)形式：__如果__……__那么__……(5)具备命题的__条件__，而不具有命题的__结论__的例子，称为反例．3．公理、定理和证明(1)公理：公认的__真__命题．(2)定理：经过证明的__真__命题．(3)证明：演绎推理的__过程__．4．命题证明的步骤(1)根据命题，画出图形．(2)结合图形，写出已知和求证．(3)写出证明过程．下列命题中，是真命题的是A．两直线平行，同旁内角相等 B．全等三角形的面积相等 C．如果，那么， D．三角形的一个外角大于任何一个内角下列命题中，假命题的是A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 B．面积相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的顶角平分线垂直于底边 D．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角下列命题中，是假命题的是A．一个锐角与一个钝角的和等于平角 B．全等三角形的面积相等 C．互为邻补角的两个角的平分线互相垂直 D．对顶角相等下列命题中，正确的是A．三个角分别相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．三边分别相等的两个三角形全等 D．有两边及一个角分别相等的两个三角形全等平行线的判定判定方法文字叙述公理同位角相等,两直线平行∵∠1=∠2,∴a∥b定理1内错角相等,两直线平行∵∠2=∠3,∴a∥b定理2同旁内角互补,两直线平行∵∠2+∠4=180°,∴a∥b如图所示，已知，，不能判定的条件是A． B． C． D．如图，给出下列条件：①；②；③，且；④．其中，能推出的条件为A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是A． B． C． D．如图所示，下列条件中不能推出成立的条件是A． B． C． D．如图，已知，，，求证：．

如图，，，，在同一条直线上，．（1）若，，求的度数．（2）若，求证：．如图，中，，于点，．证明：．

已知：如图，在中，点，，分别在边，，上，与相交于点，且，．求证：．平行线的性质性质定理文字叙述定理1两直线平行,同位角相等∵a∥b,∴∠1=∠2定理2两直线平行,内错角相等∵a∥b,∴∠2=∠3定理3两直线平行,同旁内角互补∵a∥b,∴∠2+∠4=180°定理4平行于同一条直线的两条直线平行∵a∥c,b∥c,∴a∥b已知，直线，将含的直角三角板按照如图位置放置，，则等于A． B． C． D．如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为A． B． C． D．如图，，，，那么等于A． B． C． D．如图，直线，点，分别在，上，，过线段上的点作，交于点，则的度数为A． B． C． D．折叠问题如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则A． B． C． D．如图，将长方形纸片沿折叠，使点，分别落在点，处．若，则的度数为A． B． C． D．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若比大，则的度数为A． B． C． D．如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点，分别落在点，处，与交于点．已知，则的度数是A． B． C． D．实际应用某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，．当为度时，与平行．A．16 B．60 C．66 D．114生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，，则的度数为A． B． C． D．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为A． B． C． D．光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当，时，和的度数分别是A．， B．， C．， D．，三角板一副直角三角板如图摆放，点在的延长线上，，若，则的度数为A． B． C． D．如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，如果，那么的度数是A． B． C． D．将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，过点作，则图中的度数是A． B． C． D．一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，则的度数为A． B． C． D．平行线综合运用如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①②④如图，在中，，平分，点在射线上，于，交、于点、，于．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论个数为A．4个 B．3个 C．2个 D．1个如图，，、分别平分的内角、外角，平分外角交的延长线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（填序号）．

平行线证明综合如图，四边形中，，，分别是，的平分线．（1）与有什么关系，为什么？（2）与有什么关系？请说明理由．如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，．（1）求证：；（2）试判断与之间的数量关系，并说明理由；（3）若，，求的度数．

如图，已知点在上，点，在上，，．（1）求证：；（2）若，，求证：；（3）若，，求的度数．

三角形中，是上一点，交于点，点是线段延长线上一点，连接，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，若，，求的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，点是线段延长线上一点，若，平分，求的度数．

三角形内角和定理定理三角形的内角和等于180°.符号语言在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°证明过程证法1:作CM∥AB把三角形内角和转化为:∠1+∠2+∠3=180°证法2:作CM∥AB把三角形内角和转化为:∠1+∠2+∠B=180°如图，在中，，，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则的度数为A． B． C． D．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则．如图中，，延长到，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则的度数为A． B． C． D．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则度．一、单选题1．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应假设这个三角形中（

）A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60°C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60°2．在中，若一个内角等于另外两个角的差，则（

）A．必有一个角等于 B．必有一个角等于C．必有一个角等于 D．必有一个角等于3．如图，已知AD是△ABC的中线，E，F分别是AD和AD延长线上的点，且DE＝DF，连接BF，CE．下列说法正确的是（

）①BD＝CD；②∠BAD＝∠CAD；③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE＝AEA．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤4．如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果设∠A=n°（0＜n＜180），那么∠COD的度数是（

）A． B． C． D．5．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°6．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则的度数为（

）A． B． C． D．7．如图，在四边形ABCD中，，，点E，F分别为BC和CD上的动点，连接AE，AF．当的周长最小时，的度数为（

）A． B． C． D．8．如图，先将一张长方形纸片按图①的虚线对折，得到图②，然后将图②沿虚线折叠得到图③，再将图③沿虚线BC剪下△ABC，展开即可得到一个五角星．若想得到一个正五角星（如图④，正五角星的5个角都是36°），则在图③中应沿什么角度剪，即∠ABC的度数为（）A．144° B．126° C．120° D．108°二、填空题9．如图，直线MN∥PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB＝33°．过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为_____度．10．如图是可调躺椅示意图(数据如图)，AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E大小保持不变，为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应减少_______度．11．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中假命题的是___．（填写序号）12．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小