专题7.2 平行线中的动点问题（强化）（原卷版）

专题7.2平行线中的动点问题1．直线、被直线所截，，点是平面内一动点．设，，．（1）若点在直线上，如图①，，则；（2）若点在直线、之间，如图②，试猜想、、之间的等量关系并给出证明；（3）若点在直线的下方，如图③，（2）中、、之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由．2．动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．（1）若，求的度数；（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；（3）若按住三角板不动，绕顶点转动三角板，试探究当时，等于多少度，并简要说明理由．3．如图1，已知，点在上，连接．过点作，连接．（1）若，则；（2）如图2，平分，射线的反向延长线交的平分线于点，试探究与之间的数量关系并说明理由．（3）在（1）的条件下，点为直线上的一动点，连接，直接写出与之间的数量关系．（题中所有角都是大于且小于的角）4．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．（1）如图1，平分，平分．若，则．（2）如图2，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点．①若，则．②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．（3）如图3，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．5．如图1，点、分别在射线、上运动（不与点重合），、分别是和的角平分线，延长线交于点．（1）若，则；（直接写出答案）（2）若，求出的度数；（用含的代数式表示）（3）如图2，若，过点作交于点，求与的数量关系．6．已知：如图所示，直线，另一直线交于，交于，且，点为直线上一动点，点为直线上一动点，且．（1）如图1，当点在点右边且点在点左边时，的平分线交的平分线于点，求的度数；（2）如图2，当点在点右边且点在点右边时，的平分线交的平分线于点，求的度数；（3）当点在点左边且点在点左边时，的平分线交的平分线所在直线交于点，请直接写出的度数，不说明理由．7．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，．（1）的度数是，的度数是；（2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律；（3）当点运动到使时，的度数是多少？8．如图1，直线与直线垂直相交于，点在直线上运动，点在直线上运动，、分别是和的角平分线．（1）；（2）如图2，若是的外角的角平分线，与相交于点，点、在运动的过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，过作直线与交于，且满足，求证：．9．（问题背景），点、分别在、上运动（不与点重合）．（问题思考）（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，．（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．①若，则．②随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；（问题拓展）（3）在图②的基础上，如果，其余条件不变，随着点、的运动（如图③，．（用含的代数式表示）10．问题情境（1）如图1，已知，，，求的度数．佩佩同学的思路：过点作，进而，由平行线的性质来求，求得；问题迁移（2）图2，图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两边重合，，，与相交于点，有一动点在边上运动，连接，，记，．①如图2，当点在，两点之间运动时，请直接写出与，之间的数量关系；②如图3，当点在，两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请判断并说明理由．11．，点，分别在射线、上运动（不与点重合）．（1）如图①，、分别是和的平分线，随着点、点的运动，；（2）如图②，若是的平分线，的反向延长线与的平分线交于点．①若，则；②随着点，的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由．12．如图所示，有一块直角三角板（足够大），其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．（1）若，则，．（2）若，则．（3）请你猜想一下与所满足的数量关系．13．已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点、均不与点重合．【探究】如图1，平分，平分．①若，则．②在点、的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由．【拓展】如图2，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点．在点、的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，直接写出的度数的变化范围．14．已知：如图，，点是射线上的一个动点，点是射线上的一个动点，是的平分线，的反向延长线与的平分线相交于点．（1）当时，求的度数；（2）试问动点，分别在射线，上的运动过程中，的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点，的运动发生变化，请求出变化的范围．15．将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起（如图），其中，，．（1）若，求的度数；（2）试猜想与的数量关系，请说明理由；（3）若三角板保持不动，绕顶点转动三角板，在转动过程中，试探究等于多少度时，？请你直接写出答案．16．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．（1）猜想直线与直线有怎样的位置关系？说明你的理由；（2）若点为直线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．①如图2，当点在射线上运动时，若，求的度数；②当点在直线上运动时，请直接写出和的数量关系．17．，点，分别在射线、上运动（不与点重合）．（1）如图1，平分，平分，若，求的度数．（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点．①若，则；②点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律．18．已知：直线，为直线上的一个定点，过点的直线交于点，点在线段的延长线上．，为直线上的两个动点，点在点的左侧，连接，，满足．点在上，且在点的左侧，点在直线上．（1）如图1，若，，直接写出的度数；（2）射线为的角平分线．①如图2，当点在点右侧时，用等式表示与之间的数量关系，并证明；②当点与点不重合，且时，直接写出的度数．19．在中，射线平分交于点，点在边上运动（不与点重合），过点作交于点．（1）如图1，点在线段上运动时，平分①若，，则；若，则；②试探究与之间的数量关系？请说明理由；（2）点在线段上运动时，的角平分线所在直线与射线交于点试探究与之间的数量关系，并说明理由．20．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足．（1）试问：，，满足怎样的数量关系？解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．①如图1，当点在的左侧时，猜想，，满足的数量关系，并说明理由；②如图2，当点在的右侧时，直接写出，，满足的数量关系为．（2）如图3，，分别平分，，且点在左侧．①若，则的度数为；②猜想与的数量关系，并说明理由．21．点在射线上，点、为射线上两个动点，满足，，平分．（1）如图1，当点在右侧时，求证：；（2）如图2，当点在左侧时，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，为延长线上一点，平分，交于点，平分，交于点，连接，若，，则的度数为．22．如图1，已知两条直线，被直线所截，分别交于点，点，平分交于点，且．（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；（2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作于点，设，．①当点在点的右侧时，若，求的度数；②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．23．【课本再现】（1）如图1，在中，线经过点且．求证：．【变式演练】（2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数．【方法应用】（3）如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点、重合）．当时，平分，平分交直线于点，求的度数．24．如图，，点．分别在、上运动（不与点重合）．（1）如图1，，是的平分线，的反方向延长线与的平分线交于点．①若，则．②猜想：的度数是否随，的移动发生变化？并说明理由．（2）如图2，”，，，其余条件不变，则（用含、的代数式表示）25．（1）如图1，，，．求度数；（2）如图2，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；（3）在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你写出、、间的数量关系，并说明理由．26．如图1，于点，．（1）求证：；（2）如图2，点从点出发，沿线段运动到点停止，连接，．则，，三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点与点，，重合的情况）？并说明理由．27．新定义：在中，若存在一个内角是另外一个内角度数的倍为大于1的正整数），则称为倍角三角形．例如，在中，，，，可知，所以为2倍角三角形．（1）在中，，，则为倍角三角形．（2）如图1，直线与直线相交于，，点、点分别是射线、上的动点；已知、的角平分线交于点，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出的度数．（3）如图2，直线直线于点，点、点分别在射线、上，已知、的角平分线分别与的角平分线所在的直线交于点、，若为3倍角三角形，试求的度数．28．（1）探究：如图①，，点，，分别在直线，，上，连结，，当点在直线的左侧时，试说明；（2）拓展：将图①的点移动到直线的右侧，其他条件不变，如图②．试探究，，之间的关系，并说明理由；（3）应用：如图③，，点，分别在直线，上，点是直线