专题3.3 勾股定理（章节复习+考点讲练）学生版

2023-2024学年苏科版数学八年级上册同步专题热点难点专项练习专题3.3勾股定理（章节复习+考点讲练）知识点01：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于.（即：）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求；（2）利用勾股定理可以证明的问题；（3）解决与勾股定理有关的；（4）勾股定理在的应用．知识点02：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.细节剖析：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设；（2）验证：与是否具有：

若，则△ABC是以∠C为90°的；

若时，△ABC是若时，△ABC是2.勾股数满足不定方程的称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.细节剖析：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股数，当t为时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为；2.较长的直角边与对应斜边相差.3.假设三个数分别为，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）知识点03：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的，而其逆定理是联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者，都与有关.【典例精讲】（2022秋•仪征市期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC为斜边作等腰直角三角形S1、S2，以AB为边作正方形S．若S1与S2的面积和为9，则正方形S的边长等于6．【思路点拨】分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形，则AC2＝4S1，BC2＝4S2，由勾股定理可得S＝4（S1+S2），进而可求解AB的长．【规范解答】解：分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形，则AC2＝4S1，BC2＝4S2，在Rt△ABC中AC2+BC2＝AB2，∵AB2＝S，∴S＝4S1+4S2＝4（S1+S2），∵S1+S2＝9，∴S＝4×9＝36，∴AB＝6．故答案为6．【考点评析】本题主要考查勾股定理，分别以AC，BC为边向△ABC的外部作正方形，利用勾股定理列算式时解题的关键．【变式训练1-1】（2021秋•常熟市校级月考）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（）A．50 B．16 C．25 D．41【变式训练1-2】（2018秋•邗江区校级期末）将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（）A．16 B．32 C．8π D．64【变式训练1-3】（2020秋•东台市期中）△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【变式训练1-4】（2022秋•秦淮区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4cm，分别以AC，BC为边作正方形，面积分别记为S1，S2，则S1+S2＝cm2．【变式训练1-5】（2022秋•泗阳县期中）如图，Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为S1、S2、S2．如果S2+S1﹣S3＝18，则阴影部分的面积为．【变式训练1-6】（2020秋•苏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长．【变式训练1-7】（2012秋•常熟市校级月考）如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．【典例精讲】．（2020秋•阜宁县期中）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．每个直角三角形的两条直角边的长分别是3cm和6cm，则中间小正方形的面积是（）A．9cm2 B．36cm2 C．27cm2 D．45cm2【思路点拨】由正方形的性质和勾股定理求出小正方形的面积．【规范解答】解：根据题意得：小正方形的面积＝（6﹣3）2＝9（cm2），故选：A．【考点评析】本题考查了正方形的性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质和勾股定理，求出两个正方形的面积是解决问题的关键．【变式训练2-1】（2022秋•锡山区校级月考）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A．9 B．6 C．4 D．3【变式训练2-2】（2021秋•无锡期末）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝18，则S2的值是（）A． B．6 C．5 D．【变式训练2-3】（2022秋•沭阳县期中）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接图2中四条线段得到如图3的新图案，如果图1中的直角三角形的长直角边为5，短直角边为2，图3中阴影部分的面积为S，那么S的值为．【变式训练2-4】（2022秋•连云港期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，短直角边长为b，若（a+b）2＝24，大正方形的面积为15，则小正方形的面积为．【变式训练2-5】（2022秋•工业园区校级期中）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，两个直角三角形如图摆放，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，点F落在AC上，点C与点E重合，斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ACBD的面积为．【变式训练2-6】（2022秋•邗江区期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）；②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积．（2）如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；（3）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1、S2，直角三角形面积为S3，请判断S1、S2、S3的关系【变式训练2-7】（2022秋•溧水区期末）如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．【典例精讲】（2021秋•惠山区校级期中）阅读理解：如图1，在△ABC的边AB上取一点P，连接CP，可以把△ABC分成两个三角形，如果这两个三角形都是等腰三角形，我们称点P是△ABC的边AB上的完美点．解决问题：（1）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，试找出边AB上的完美点P，并说明理由．（2）如图3，已知∠A＝36°，△ABC的顶点B在射线l上，点P是边AB上的完美点，请认真分析所有符合要求的点B，直接写出相应的∠B的度数．【思路点拨】（1）取AB的中点P，连接PC即可，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半证明；（2）根据点P是边AB上的完美点，结合等腰三角形的性质画出图即可．【规范解答】解：（1）取AB的中点P，连接PC即可如图①∵∠ACB＝90°，P是AB的中点，∴CP＝AB，AP＝BP＝AB，∴AP＝PB＝CP．∴△APC，△PBC是等腰三角形．∴点P是边AB上的完美点.（2）满足条件的点B如图所示：②③④⑤⑥【考点评析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握性质的熟练应用，理解题意是解题的关键．【变式训练3-1】（2019秋•沭阳县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝48°，将其折叠，E是点A落在边BC上的点，折痕为CD，则∠EDB的度数为．【变式训练3-2】（2023春•江阴市期中）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 D．∠A＝∠B＝3∠C【变式训练3-3】（2022秋•大丰区校级月考）如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是（）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．直角三角形的两个锐角互为余角 D．垂线段最短【变式训练3-4】（2020秋•苏州期中）在△ABC中，有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式训练3-5】（2022秋•崇川区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处，若∠A＝20°，则∠BDC等于．【变式训练3-6】（2022秋•兴化市校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处．若∠A＝24°，则∠CDE＝°．【变式训练3-7】（2019秋•江宁区校级月考）请在下面括号里补充完整证明过程：已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，且∠CEF＝∠CFE．求证：CD⊥AB．证明：∵AF平分∠CAB（已知）∴∠1＝∠2∵∠CEF＝∠CFE，又∠3＝∠CEF（对顶角相等）∴∠CFE＝∠3（等量代换）∵在△ACF中，∠ACF＝90°（已知）∴∠1+∠CFE＝90°∵∠1＝∠2，∠CFE＝∠3（已证）∴+＝90°（等量代换）在△AED中，∠ADE＝90°（三角形内角和定理）∴CD⊥AB．【典例精讲】（2022春•平山县期中）一个三角形的三边长的比为3：4：5，且其周长为60cm，则其面积为150cm2．【思路点拨】先设三角形的三边长分别为3x，4x，5x，再由其周长为60cm求出x的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可得出结论．【规范解答】解：∵三角形的三边长的比为3：4：5，∴设三角形的三边长分别为3x，4x，5x．∵其周长为60cm，∴3x+4x+5x＝60，解得x＝5，∴三角形的三边长分别是15，20，25．∵152+202＝252，∴此三角形是直角三角形，∴S＝×15×20＝150（cm2）．故答案为：150cm2．【考点评析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．【变式训练4-1】（2020秋•泰州期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．∠C＝∠A﹣∠B B．a：b：c＝5：12：13 C．（c﹣a）（c+a）＝b2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【变式训练5-1】（2021秋•建湖县期末）用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，5【变式训练5-2】（2017秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为（）A．30 B．24 C．20 D．48【变式训练5-3】（2023春•渝北区月考）如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝9，AC＝BD＝6．CD＝3，则图中阴影部分的面积为【变式训练5-4】（2019秋•金坛区期中）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，则四边形ABCD的面积等于．【变式训练5-5】（2022秋•太仓市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝1，AD＝2，CD＝4．（1）求证：∠BAC＝90°；（2）点P为BC上一点，连接AP，若△ABP为等腰三角形，求BP的长．【变式训练5-6】（2022秋•江都区期中）如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量．小明测得AB＝3m，AD＝4m，CD＝12m，BC＝13m，又已知∠A＝90°．求这块土地的面积．【典例精讲】（2021秋•苏州期末）若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：（ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；①或（ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；②要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．（1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是3，4，5；（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值；（3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4（分别用含p的代数式表示）．【思路点拨】（1）将m＝2，n＝1代入计算，即可得到m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4，进而得出该组勾股数是3，4，5；（2）依据作差的方法即可判断出最大的数为m2+n2，再分类讨论：①当m2﹣n2最小时，②当2mn最小时，分别依据最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，即可得出m，n的值；（3）先利用配方法，得到2p2+6p+5＝（p+1）2+（p+2）2，再令m＝p+2，n＝p+1，即可得到另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4．【规范解答】解：（1）当m＝2，n＝1时，m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4，∴该组勾股数是3，4，5，故答案为：3，4，5；（2）∵（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝2n2＞0，∴m2+n2＞m2﹣n2，∵m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2＞0，∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2，①当m2﹣n2最小时，（m2+n2）+（m2﹣n2）＝2m2＝72，解得m＝6或m＝﹣6（舍去），又∵m﹣n＝1，∴n＝5；②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn＝（m+n）2＝72，解得m+n＝（舍去），综上所述，m＝6，n＝5；（3）2p2+6p+5＝（p2+2p+1）+（p2+4p+4）＝（p+1）2+（p+2）2，令m＝p+2，n＝p+1，则m2﹣n2＝（p+2）2﹣（p+1）2＝2p+3，2mn＝2（p+2）（p+1）＝2p2+6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4．【考点评析】本题主要考查了勾股数以及乘法公式的运用，掌握勾股数的定义以及完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．【变式训练5-1】（2022秋•江都区期末）下面各组数中，勾股数是（）A．0.3，0.4，0.5 B．1，1， C．5，12，13 D．1，，2【变式训练5-2】（2022秋•姜堰区期中）下列各组数中，是勾股数的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．5，12，13 D．，，【变式训练5-3】（2022秋•沭阳县期中）在下列四组数中，不是勾股数的一组是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．24，25，7 D．5，12，13【变式训练5-4】（2022秋•金湖县期中）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【变式训练5-5】（2021秋•邳州市期中）观察下列各组勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41；…照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为．【变式训练5-6】（2022秋•盐都区期中）观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝．（提示：5＝，13＝，…）【变式训练5-7】（2022秋•铜山区期中）若m、n为整数，且m＞n＞1，a＝m2﹣n2，b＝2mn，c＝m2+n2．请你证明a、b、c为勾股数．【变式训练5-8】．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）请你写出另外两组勾股数：6，，；7，，；（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；②请你任选其中一个法则证明它的正确性．【典例精讲】（2016秋•宜兴市期中）如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为5米，高BC为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要7米．【思路点拨】在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求出AC的长，再根据地毯的长度＝AC的长度+BC的长度，代入数据即可得出结论．【规范解答】解：在Rt△ABC中，AB＝5米，BC＝3米，∠ACB＝90°，∴AC＝＝4米，∴AC+BC＝3+4＝7米．故答案为：7．【考点评析】本题考查了勾股定理的应用以及生活中的平移现象，结合实际生活掌握“地毯的长度＝AC的长度+BC的长度”是解题的关键．【变式训练6-1】（2020秋•姜堰区期中）如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长