专题07反比例函数与获取最大利润（6个知识点9种题型2个易错点）（原卷版）

专题07反比例函数与获取最大利润（6个知识点9种题型2个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1反比例函数的概念知识点2反比例函数图象的画法知识点3反比例函数图象和性质知识点4反比例函数表达式的确定知识点5反比例函数的实际应用知识点6获得最大利润【方法二】实例探索法题型1根据反比例函数的概念求字母参数的值题型2确定反比例函数的表达式题型3反比例函数的图像题型4反比例函数性质应用题型5反比例函数中系数k的几何意义题型6反比例函数的实际应用题型7反比例函数与一次函数的综合题型8反比例函数中图形的面积问题题型9获得最大利润问题【方法三】差异对比法易错点1忽略点所在的象限易错点2在实际问题中，易忽略反比例函数中自变量的取值范围【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1反比例函数的概念如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数.一般地，形如(为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是因变量，定义域是不等于零的一切实数.要点诠释：（1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点；（2）()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式.【例1】1、在下列函数关系式中，哪些函数表示是的反比例函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（，是常数）知识点2反比例函数图象的画法知识点3反比例函数图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2、反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.【例2】在函数（为常数）的图象上有三点()，()，()，且，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【变式】已知的图象在第二、四象限，(1)求的值．(2)若点(－2，)、(－1，)、(1，)都在双曲线上，试比较、、的大小．知识点4反比例函数表达式的确定确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是：（1）设所求的反比例函数为：()；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程；（3）解方程求出待定系数的值；（4）把求得的值代回所设的函数关系式中.【例3】已知正比例函数和反比例函数的图象都过点A(，1)．求此正比例函数的关系式及另一个交点的坐标．【变式】已知与成反比，且当时，，则当时，值为多少？知识点5反比例函数的实际应用过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【例4】如图，已知A（﹣4，n），B（1，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．【变式】如图，反比例函数图象在第一象限的分支上有一点C（1，3），过点C的直线y=kx+b〔k＜0〕与x轴交于点A．（1）求反比例函数的解析式；（2）当直线与反比例函数的图象在第一象限内的另一交点的横坐标为3时，求△COD的面积．知识点6获得最大利润（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【方法二】实例探索法题型1根据反比例函数的概念求字母参数的值1．（2022秋•蜀山区校级月考）若函数是反比例函数，则m的值是．题型2确定反比例函数的表达式2．（2022秋•宣州区期末）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣3），则此函数的关系式是．题型3反比例函数的图像3．（2023•蜀山区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则反比例函数y＝﹣与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B． C． D．4．（2023•南陵县二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c和反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．题型4反比例函数性质应用5．（2023•无为市一模）下列关于反比例函数y＝的描述中，正确的是（）A．图象在第二、四象限 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．点（﹣1，3）在反比例函数的图象上 D．当x＜1时，y＞36．（2022秋•宣城期末）反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是．7．（2022秋•池州期末）已知反比例函数y＝的图象在第一、三象限内，则k（）A．k＞2 B．k≥2 C．k＜2 D．k≤28．（2023•合肥一模）下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y＝﹣2x+1 B．y＝（x+1）2+1 C．y＝﹣x2﹣1 D．9．（2023•芜湖模拟）已知函数，（k＞0）．当1≤x≤3时，函数y1的最大值为a，函数y2的最小值为a﹣4，则k＝．题型5反比例函数中系数k的几何意义10．（2023•雨山区一模）如图，点P为反比例函数y＝上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y＝kx﹣1的图象为（）A． B． C． D．11．（2023•南谯区校级一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为．12．（2023•杜集区校级模拟）如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，若四边形PAOB的面积为5，则k＝．题型6反比例函数的实际应用13．（2023•安徽一模）如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）的关系如表所示（与长方体A相同重量的长方体均满足此关系）．桌面所受压强p（Pa）100200400800受力面积S（m2）210.50.25（1）根据如表数据，求桌面所受压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数表达式；（2）现想将另一长、宽、高分别为0.2m，0.1m，0.3m，且与长方体相同重量的长方体按如图所示的方式放置于该水平玻璃桌面上．若该玻璃桌面能承受的最大压强为5000Pa，请你判断这种摆放方式是否安全？并说明理由．14．（2022秋•宣城期末）学校下午放学时校门口的“堵塞”情况已成为社会热点问题，某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一个调查发现：每天放学时间2分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（%）与放学后时间x（分钟）的函数关系描述．如图，2～12分钟呈二次函数状态，且在第12分钟达到该函数最大值100，此后变化大致为反比例函数的图象向右平移4个单位得到的曲线趋势．若“拥挤指数”y≥36，校门外呈现“拥挤状态”，需要志愿者维护秩序、疏导交通．（1）求该二次函数的解析式和k的值；（2）“拥挤状态”持续的时间是否超过20分钟？请说明理由．题型7反比例函数与一次函数的综合15．（2023•花山区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与反比例函数0）的图象交于点A，将直线y＝x沿y轴向上平移b个单位长度，交x轴于点C，交反比例函数图象于点B，若BC＝2OA，则b的值为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．316．（2023•全椒县一模）反比例函数与一次函数y＝x+m的图象交于点C（a，1）和点D（b，4），一次函数y＝x+m的图象分别与x，y轴交于点A（﹣5，0）和点B．当x＜0时，不等式的解集为．题型8反比例函数中图形的面积问题17．（2023•蜀山区二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数y＝x的图象交于点A，反比例函数图象上一点B绕原点O逆时针旋转45°至点B'，且AB′＝OB′，如果△OAB′的面积是1，则k＝．18．（2023•宣州区三模）如图，一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，A点坐标为（﹣2，3）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）已知M（m，0），若△ABM的面积为10，求m的值．19．（2023•合肥二模）如图，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数的图象交于A（1，4），B（n，﹣1）．（1）求a，b，k的值；（2）观察图形，直接写出不等式的解集；（3）延长BO交反比例函数图形于点P，求△PAO的面积．20．（2023•蜀山区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A（5，0），C（﹣3，4），点B在反例函数的图象上，一次函数y＝kx+b的图象与双曲线相交于B、D两点，且D点的横坐标为﹣1．（1）求一次函数的解析式；（2）求△ABD的面积；（3）直接写出的解集．题型9获得最大利润问题21．（2022秋•禹会区校级月考）某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出，若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（）A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元22．（2022秋•定远县期中）2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增．某厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每日产销这种消毒液的有关信息如下表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）．若该消毒液的单日产销利润y元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大（）消毒液每瓶售价（元）每瓶成本（元）每日其他费用（元）每日最大产销量（瓶）30181200+0.02x2250A．250 B．300 C．200 D．55023．（2023•明光市二模）牛草山奶牛养殖场如今达到了日产鲜奶500千克的规模．根据以前市场销售经验，如果鲜奶售价为20元/千克，每天可售出鲜奶400千克，鲜奶售价每提高1元，日销售鲜奶数量将减少10千克，每天没能销售的鲜奶全部按10元/千克的价格廉价卖给奶制品加工厂．养殖场研究决定将鲜奶的售价提高到x元/千克，而当地物价部门结合本地收入与消费水平规定鲜奶售价不超过40元/千克，设养殖场每天鲜奶总销售收入为y元．（1）求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）鲜奶售价定为多少时，养殖场每天鲜奶销售总收入最多？养殖场每天鲜奶销售总收入最多是多少元？【方法三】差异对比法易错点1忽略点所在的象限24．（2023•蚌山区二模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是．易错点2在实际问题中，易忽略反比例函数中自变量的取值范围25．（2023•合肥一模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（）A． B． C． D．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023·安徽亳州·统考模拟预测）点在反比例函数图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）A． B． C． D．2．（2020秋·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（）A．150元 B．160元 C．170元 D．180元3．（2023·安徽淮南·九年级统考阶段练习）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A． B． C． D．4．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）已知点、是反比例函数图象上的一点，则b的值为（

）A． B．2 C． D．5．（2023秋·安徽芜湖·九年级统考期末）已知为双曲线上的三个点，且，则以下判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2023·安徽蚌埠·校联考二模）反比例函数的图像大致是图中的（

）A．B．C．D．7．（2023·安徽马鞍山·统考二模）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（）A． B．C． D．8．（2021·安徽·九年级专题练习）二次函数y=x2+px+q，当0≤x≤1时，此函数最大值与最小值的差（

）A．与p、q的值都有关 B．与p无关，但与q有关C．与p、q的值都无关 D．与p有关，但与q无关9．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A．a<0 B．a>0 C．a<2 D．a>210．（2023·安徽·九年级专题练习）反比例函数y＝的一个分支与一次函数y＝x+5图象如图所示，若点A（a，1），点B（﹣2，b）都在函数y＝x+5上，则k的值可能为（）A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6二、填空题11．（2023·安徽芜湖·统考一模）已知函数是关于的反比例函数，则的值是．12．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）若点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为．13．（2023·安徽芜湖·统考二模）已知函数，当时，函数的最大值为a，函数的最小值为，则k＝．14．（2023秋·安徽宣城·九年级统考期末）反比例函数的图象的一个分支在第二象限，则m的取值范围是．15．（2023·安徽亳州·统考二模）如图，点A、B分别是线段与反比例函数，交点，其中，则k的值为．

16．（2023·安徽六安·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上，矩形的边在上，．反比例函数的图象经过点，则阴影部分面积为．

17．（2023·安徽·一模）如图，点A、点B是函数y=的图象上关于坐标原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积是8，则k的值是．

18．（2023秋·安徽亳州·九年级统考期末）如图，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线在第一象限交于点C，连接．（1）点A的坐标是；（2）的面积是．三、解答题19．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）已知反比例函数的图象经过点(1)求k的值．(2)点均在反比例函数的图象上，若，比较的大小关系．20．（2023·安徽阜阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．(1)求，的值．(2)请在网格中画出一次函数的图象，结合图象，直接写出当时，自变量的取值范围．21．（2023秋·安徽芜湖·九年级统考期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．(1)求反比例函数的解析式和n的值；(2)根据图象直接写出不等式的解集．22．（2023春·安徽黄山·九年级统考阶段练习）如图，抛物线与x轴的交点为B，A（B在A左侧），过线段的中点M作轴，交双曲线于点P．(1)当时，求长；(2)当点M与对称轴之间的距离为2时，求点P的坐标．(3)在抛物线平移的过程中，当抛物线的对称轴落在直线和之间时（不包括边界），求的取值范围．2