C03 三角形全等-手拉手与倍长中线（解析版）

手拉手+倍长中线模型手拉手+倍长中线模型模型讲解模型讲解【结论】已知：AB=AM，BC平行且等于PM，MP=MN，且∠ABC＝∠AMN，则：△ABC≌△AMN．方法点拨例题演练例题演练1．在等边△ABC中，点E在线段AC上，连接BE，点D在直线BC上，且CE＝CD．连接DE、AD（1）如图1，若CD＝2，BC＝6，求线段BE的长；（2）如图2，若F是线段BE中点，连接D、F，连接A、F．当∠FAD＝60°时，求证：BD＝AB+AE．【解答】解：（1）过E点作EH⊥BC于H点，∵∠ECH＝60°，∴∠CEH＝30°，∴CH＝CE＝1．∴EH＝．∴BH＝6﹣1＝5．在Rt△BEH中，利用勾股定理可得：BE＝．（2）延长AF至M，使得FM＝AF．∵EF＝BF，∠EFA＝∠BFM，∴△EFA≌△BFM（SAS）．∴BM＝AE，BM∥AE．∴∠ABM+∠EAB＝180°，∴∠ABM＝180°﹣60°＝120°．在△ADC和△AMB中∴△ADC≌△AMB（ASA）．∴BM＝DC．∴AE＝BM＝DC．∵BD＝BC+CD，AB＝BC，∴BD＝AB+AE．强化训练强化训练1．在△ABC中，AB＝AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC＝∠DCF＝90°时，已知AC＝，CD＝2，求AG的长度；（2）如图②，当∠BAC＝∠DCF＝60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；（3）当∠BAC＝∠DCF＝α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．【解答】（1）解：如图1，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形DCEF是正方形，∴DE＝DC，DE∥CF，∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，∵G是BC的中点，∴BG＝EG，在△BGH和△EGD中，∵∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，BG＝EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH＝ED，HG＝DG，∴BH＝DC，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠DCF＝90°，∴∠DCB＝90°，∴∠ACD＝45°，∴∠ABH＝∠ACD＝45°，在△ABH和△ACD中，∵AB＝AC，∠ABH＝∠ACD，BH＝CD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，∵∠BAH+∠HAC＝90°，∴∠CAD+∠HAC＝90°，即∠HAD＝90°，∴AG⊥GD，AG＝GD；在Rt△ABC中，AB＝AC＝，∴BC＝6在Rt△DCH中，DC＝2，HC＝BC﹣BH＝6﹣2＝4，∴DH＝＝2，∴GD＝DH＝，∴AG＝GD＝．（2）AG⊥GD，AG＝DG；证明如下：如图2，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形DCEF是正方形，∴DE＝DC，DE∥CF，∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，∵G是BC的中点，∴BG＝EG，在△BGH和△EGD中，∵∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，BG＝EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH＝ED，HG＝DG，∴BH＝DC，∵AB＝AC，∠BAC＝∠DCF＝60，∴∠ABC＝60°，∠ACD＝60°，∴∠ABC＝∠ACD＝60°，在△ABH和△ACD中，∵AB＝AC，∠ABH＝∠ACD，BH＝CD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，∴∠BAC＝∠HAD＝60°，∴AG⊥HD，∠HAG＝∠DAG＝30°，∴tan∠DAG＝tan30°＝＝，∴AG＝DG；（3）如图3，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形DCEF是正方形，∴DE＝DC，DC∥CF，∴∠GBH＝∠GED，∠GHB＝∠GDE，∵G是BC中点，∴BG＝EG，∴△BGH△≌△EGD，∴BH＝ED，HG＝DG，∴BH＝DC，∵AB＝AC，∠BAC＝DCF＝α，∴∠ABC＝90°﹣，∠ACD＝90°﹣，∴∠ABC＝ACD，∵AB＝AC，∠ABH＝∠ACD，BH＝CD，∴△ABH≌△ACD，∴∠BAH＝∠CAD，AH＝AD，∴∠BAC＝HAD＝α，∴AG⊥HD，∠HAG＝∠DAG＝，∴tan∠DAG＝tan＝，∴DG＝AGtan．2．△ABC中，点D为BC上一点，E为AC上一点，连接AD，BE，DE，已知BD＝DE，AD＝DC，∠ADB＝∠EDC．（1）如图1，若∠ACB＝40°，求∠BAC的度数；（2）如图2，F是BE的中点，过点F作AD的垂线，分别交AD、AC于点G、H．求证：AH＝CH．【解答】解：（1）如图1，∵AD＝DC，∠ACB＝40°，∴∠DAC＝∠ACB＝40°，∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°，在△ADB和△CDE中，∵，∴△ADB≌△CDE（SAS），∴∠BAD＝∠ACB＝40°，∴∠BAC＝40°+40°＝80°；（2）如图2，过B作BN∥AC，交HF的延长线于N，直线HF交AB于M，连接DH、DM，∴∠BNM＝∠EHF，∵BF＝EF，∠BFN＝∠EFH，∴△EFH≌△BFN（AAS），∴BN＝EH，由（1）得：∠BAD＝∠DAC，∵FH⊥AD，∴∠AGF＝∠AGH＝90°，∵AG＝AG，∴△AMG≌△AHG（ASA），∴AH＝AM，∠AHM＝∠AMH，∵∠AMH＝∠BMN，∴∠BNM＝∠BMN，∴BN＝BM，∵△ABD≌△CED，∴∠ABD＝∠CED，∵BD＝DE，∴△DEH≌△DBM，∴∠BMD＝∠AHD，∵AM＝AH，∠BAD＝∠DAH，AD＝AD，∴△AMD≌△AHD，∴∠AMD＝∠AHD，∴∠AMD＝∠BMD，∵∠AMD+∠BMD＝180°，∴∠AMD＝90°，∴∠AHD＝90°，∵AD＝CD，∴AH＝CH．3．平行四边形ABCD中，∠ABD＝90°，G点为BC边上一点，连接DG，E点在BC边所在直线上，过E点作EF∥CD交GD于F点．（1）如图1，若G为BC边中点，EF交GD延长线于F点，tanA＝，CE＝CG，DG＝，求EF；（2）如图2，若E点在BC边上，G为BE中点，且GD平分∠BDC，求证：DB＝2FG+DF；（3）如图3，若E点在BC延长线上，G为BE中点，且∠GDC＝30°，问（2）中结论还成立吗？若不成立，那么线段DB、FG、DF满足怎样的数量关系，请直接写出结论．【解答】解：（1）如图1，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD＝90°，∵在Rt△BDC中，G为BC的中点，DG＝，∴BC＝2DG＝2，又∵tanA＝tan∠BCD＝，∴CD＝2BD，故可设BD＝x，CD＝2x，则Rt△BCD中，x2+（2x）2＝（2）2，解得x＝2，∴CD＝4，又∵CE＝CG，CD∥EF，∴D为GF的中点，∴EF＝2CD＝8；（2）如图2，延长DG交AB的延长线于H点，则∠DBH＝90°，∵AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABD＝90°，又∵GD平分∠BDC，∴∠BDH＝∠CDH＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝DB，又∵EF∥CD，∴EF∥AB，∴∠F＝∠H，∠E＝∠HBG，又∵G为BE的中点，∴BG＝EG，∴△BGH≌△EGF（AAS），∴GH＝FG，∵DH＝FH+DF，∴DB＝2FG+DF；（3）若E点在BC延长线上，G为BE中点，且∠GDC＝30°，则（2）中的结论不成立，正确结论为：2DB＝2FG﹣FD．证明：如图3，延长DG交AB的延长线于H点，则∠DBH＝90°，∵AB∥CD，∴∠GDC＝∠H＝30°，∴DH＝2DB，又∵EF∥CD，∴EF∥AB，∴∠F＝∠H，∠E＝∠HBG，又∵G为BE的中点，∴BG＝EG，∴△BGH≌△EGF（AAS），∴GH＝FG，∵DH＝FH﹣DF，∴2DB＝2FG﹣DF．4．如图1，等边△ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE．（1）若CE＝4，BC＝，求线段BE的长；（2）如图2，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP＝PD；（3）如图3，把图2中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第（2）问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解答】（1）解：如图2中，作EF⊥BC，∵∠ACB＝60°，CE平分∠ACB，∴∠BCE＝30°，∴EF＝CE＝2，CF＝＝2，∴BF＝BC﹣CF＝4，∴BE＝＝＝2．（2）如图2中，延长DP至G，使PG＝PD，连接BG、AG，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠ECD＝∠ECA＝30°，∴DE∥AC∵PG＝PD，PB＝PE，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BG∥DE∥AC，∴∠ABG＝∠BAC＝∠ACD，BG＝ED＝CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD，∴AG＝AD，∠BAG＝∠CAD，∴∠DAG＝∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AP⊥PD，AP＝＝PD．（3）结论成立．证明：如图3中，延长DP至G，使PG＝PD，连接BG、AG、EG、BD，由（2）可知∠BGD＝∠EDG，∠CDE＝120°，∴∠BGD+∠CDG＝∠EDG+∠CDG＝360°﹣∠CDE＝240°，∴∠CBG+∠BCD＝120°＝∠ABC+∠ACB，∴∠ABC﹣∠CBG＝∠BCD﹣∠ACB即∠ABG＝∠ACD，∵PG＝PD，PB＝PE，∴四边形BDEG是平行四边形，∴BG＝DE＝CD，在△ABG和△ACD中，，∴△ABG≌△ACD，∴AG＝AD，∠BAG＝∠CAD，∴∠DAG＝∠BAG+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝∠BAC＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AP⊥PD，AP＝＝PD．5．如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上一点，连接DE、EF，且AE＝AF，∠DAE＝∠BAF．（1）求证：CE＝CF；（2）若∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG．求证：DG⊥GE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝DC＝BC．∵∠DAE＝∠BAF，∴∠BAE＝∠DAF．在△ABE与△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴BE＝DF，∴BC﹣BE＝DC﹣DF，即CE＝CF；（2）如图，延长EG到点H，使HG＝EG，连接HA、HD．∵点G是AF的中点，∴AG＝FG，在△HAG与△EFG中，，∴△HAG≌△EFG（SAS），∴EF＝AH，∠HAG＝∠EFG，∴AH∥EF．∵四边形ABCD是菱形，∴DC＝BC＝AD．∵由（1）知，BE＝DF，且∠BAE＝∠DAF，EC＝FC．∵∠ABC＝120°，∴∠C＝60°，∴△EFC是等边三角形，∴∠FEC＝60°，∴EC＝FE．由上述知，FE＝HA，∴EC＝HA，∠HAG＝∠HAD+∠DAF＝∠EFG．∵AF＝AE，∴∠AFE＝∠AEF．∵∠BAD＝60°，∴∠EAF＝60°﹣∠BAE﹣∠DAF＝60°﹣2∠DAF．在△AEF中，∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠EFG＝180°﹣2∠EFG＝180°﹣2（∠HAD+∠DAF），∴∠HAD＝60°．在△HAD与△ECD中，，∴△HAD≌△ECD（SAS），∴DE＝DH，易证△DGH≌△DGE，故∠DGH＝∠DGE＝90°，即DG⊥GE．6．在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，若AB＝10，BF＝4，求PG的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想；并给予证明．（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，（2）问中关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明．【解答】（1）解：如图1：延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE＝PG，DE＝FG，∵△BGF是等边三角形，∴FG＝BG，又∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∴CE＝CG，∴CP是EG的中垂线，在Rt△CPG中，∠PCG＝60°，∵AB＝10，BF＝4；∴CG＝6∴PG＝3（2）如图2，证明：延长GP交DA于点E，连接EC，GC，∵∠ABC＝60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP，在△DPE和△FPG中∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，∵∠CDE＝∠CBG＝60°，CD＝CB，在△CDE和△CBG中，∴△CDE≌△CBG（SAS）∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°，∵PE＝PG，∴CP⊥PG，∠PCG＝∠ECG＝60°∴PG＝PC．（3）猜想：PG＝PC．证明：如图3，延长GP到H，使PH＝PG，连接CH，CG，DH，作FE∥DC∵P是线段DF的中点，∴FP＝DP，∵∠GPF＝∠HPD，∴△GFP≌△HDP，∴GF＝HD，∠GFP＝∠HDP，∵∠GFP+∠PFE＝120°，∠PFE＝∠PDC，∴∠CDH＝∠HDP+∠PDC＝120°，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠ADC＝∠ABC＝60°，点A、B、G又在一条直线上，∴∠GBC＝120°，∵△BFG是等边三角形，∴GF＝GB，∴HD＝GB，∴△HDC≌△GBC，∴CH＝CG，∠DCH＝∠BCG，∴∠DCH+∠HCB＝∠BCG+∠HCB＝120°，即∠HCG＝120°∵CH＝CG，PH＝PG，∴PG⊥PC，∠GCP＝∠HCP＝60°，∴PG＝PC．1（2020•葫芦岛中考真题）．在等腰△ADC和等腰△BEC中，∠ADC＝∠BEC＝90°，BC＜CD，将△BEC绕点C逆时针旋转，连接AB，点O为线段AB的中点，连接DO，EO．（1）如图1，当点B旋转到CD边上时，请直接写出线段DO与EO的位置关系和数量关系；（2）如图2，当点B旋转到AC边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）若BC＝4，CD＝2，在△BEC绕点C逆时针旋转的过程中，当∠ACB＝60°时，请直接写出线段OD的长．【解答】解：（1）DO⊥EO，DO＝EO；理由：当点B旋转到CD边上时，点E必在边AC上，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，点O是AB的中点，∴OE＝OA＝AB，∴∠BOE＝2∠BAE，在Rt△ABD中，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝AB，∴∠DOE＝2∠BAD，∴OD＝OE，∵等腰△ADC，且∠ADC＝90°，∴∠DAC＝45°，∴∠DOE＝∠BOE+∠DOE＝2∠BAE+2∠BAD＝2（∠BAE+∠DAE）＝2∠DAC＝90°，∴OD⊥OE；（2）仍然成立，理由：如图2，延长EO到点M，使得OM＝OE，连接AM，DM，DE，∵O是AB的中点，∴OA＝OB，∵∠AOM＝∠BOE，∴△AOM≌△BOE（SAS），∴∠MAO＝∠EBO，MA＝EB，∵△ACD和△CBE是等腰三角形，∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠CAD＝∠ACD＝∠EBC＝∠BCE＝45°，∵∠OBE＝180°﹣∠EBC＝135°，∴∠MAO＝135°，∴∠MAD＝∠MAO﹣∠DAC＝90°，∵∠DCE＝∠DCA+∠BCE＝90°，∴∠MAD＝∠DCE，∵MA＝EB，EB＝EC，∴MA＝EC，∵AD＝DC，∴△MAD≌△ECD，∴MD＝ED，∠ADM＝∠CDE，∵∠CDE+∠ADE＝90°，∴∠ADM+∠ADE＝90°，∴∠MDE＝90°，∵MO＝