模型C02 三角形全等-倍长中线（解析版）

倍长中线模型 倍长中线模型模型讲解模型讲解【结论】已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE，则：AB＝CD．【证明】方法一：延长DE至点F，使EF＝DE．∵E是BC的中点∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，∴△BEF≌△CED（SAS）．∴BF＝CD，∠D＝∠F．又∵∠BAE＝∠D，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF．∴AB＝CD．方法二：作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F＝∠CGE＝90°．又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，∵，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法三：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F＝∠BAE．又∵∠BAE＝∠D，∴∠F＝∠D．∴CF＝CD．∵，∴△ABE≌△FCE．∴AB＝CF．∴AB＝CD．方法点拨例题演练例题演练1．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（）A．3＜AD＜13 B．1.5＜AD＜6.5 C．2.5＜AD＜7.5 D．10＜AD＜16【解答】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴EB＝AC，根据三角形的三边关系定理：8﹣5＜AE＜8+5，∴1.5＜AD＜6.5，故选：B．2．如图，等边三角形ABC中，E是线段AC上一点，F是BC延长线上一点．连接BE，AF．点G是线段BE的中点，BN∥AC，BN与AG延长线交于点N．（1）若∠BAN＝15°，求∠N；（2）若AE＝CF，求证：2AG＝AF．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AC∥BN，∴∠NBC＝∠ACB＝60°，∴∠ABN＝∠ABC+∠NBC＝120°，∴在△ABN中，∠N＝180°﹣∠ABN﹣∠BAN＝180°﹣120°﹣15°＝45°；（2）∵AC∥BN，∴∠N＝∠GAE，∠NBG＝∠AEG，又∵点G是线段BE的中点，∴BG＝EG，∴△NBG≌△AEG（AAS），∴AG＝NG，AE＝BN，∵AE＝CF，∴BN＝CF，∵∠ACB＝60°，∴∠ACF＝180°﹣∠ACB＝120°，∴∠ABN＝∠ACF，又∵AB＝AC，∴△ABN≌△ACF（SAS），∴AF＝AN，∵AG＝NG＝AN，∴AF＝2AG．3．已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．（1）如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．（2）如图1，求证：EF＝2AD．【解答】（1）解：∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝65°，∴∠EAB＝50°，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠AFC＝75°，∴∠CAF＝30°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC＝180°，∴50°+2∠BAC+30°＝180°，∴∠BAC＝50°．（2）证明：延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，∵EF＝2AD，∴AH＝EF，在△BDH和△CDA中，，∴△BDH≌△CDA，∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，∴AC∥BH，∴∠ABH+∠BAC＝180°，∵∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ABH，在△ABH和△EAF中，，∴△ABH≌△EAF，∴∠AEF＝∠ABH，EF＝AH＝2AD，强化训练强化训练5．在等腰△ABC中，AB＝AC，D为AB上一点，连接CD．E为CD中点．（1）如图1，连接AE，作EH⊥AC，若AD＝2BD，S△BDC＝6，EH＝2，求AB的长；（2）如图2，点F为腰AC上一点，连接BF、BE．若∠A＝∠ABE＝∠CBF．求证：BD+CF＝AB．【解答】解：（1）∵AD＝2BD，S△BDC＝6，∴S△ACD＝2S△BCD＝2×6＝12，∵E为CD中点∴＝6，∵EH⊥AC∴AC•EH＝6∵EH＝2∴AC＝6∵AB＝AC∴AB＝6（2）如图2，延长BE至G，使EG＝BE，连接CG，在△BED和△GEC中，∴△BED≌△GEC（SAS）∴BD＝CG，∠ABE＝∠G∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB，即：∠ABF+∠CBF＝∠ACB∵∠A＝∠CBF∴∠ABF+∠A＝∠ACB∵∠BFC＝∠ABF+∠A∴∠BFC＝∠ACB∴BF＝BC∵∠A＝∠ABE＝∠CBF∴∠A＝∠G，∠ABF+∠EBF＝∠CBG+∠EBF∴∠ABF＝∠GBC在△ABF和△GBC中，∴△ABF≌△GBC（AAS）∴AF＝CG又∵BD＝CG∴AF＝BD∵AF+CF＝AC，AB＝AC∴BD+CF＝AB6．如图1，在等腰Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC；在等腰Rt△DCE中，∠DCE＝90°，CD＝CE；点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、BE，点N是线段BE的中点，连接CN与AD交于点G．（1）若CN＝12.5，CE＝7，求BD的值．（2）求证：CN⊥AD．（3）把等腰Rt△DCE绕点C转至如图2位置，点N是线段BE的中点，延长NC交AD于点H，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点N是线段BE的中点，∴BE＝2CN＝25，∵CE＝7，∴BC＝＝24，∵CD＝CE＝5，∴BD＝BC﹣CD＝17；（2）在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝90°，点N是线段BE的中点，∴CN＝BN，∴∠CBE＝∠NCD，∴∠NCD＝∠CAD，∵∠NCD+∠NCA＝90°，∴∠CAG+∠GCA＝90°，∴∠CGA＝90°，∴CN⊥AD；（3）（2）中的结论还成立，如图2，延长CN到F使FN＝CN，连接BF，在△CEN与△BFN中，，∴△CEN≌△BNF，∴CE＝BF，∠F＝∠ECN，∵∠CBF＝180°﹣∠F﹣∠BCF，∠DCA＝360°﹣∠DCE﹣∠ACB﹣∠BCE＝180°﹣∠ECF﹣∠BCF，∴∠CBF＝∠DCA，∵CE＝CD，∴BF＝CD，在△ACD与△BCF中，，∴△ACD≌△BCF，∴∠DAC＝∠BCF，∵∠BCF+∠ACH＝90°，∴∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠AHC＝90°，∴CN⊥AD．7．如图，在平行四边形ABCD中，点H为DC上一点，BD、AH交于点O，△ABO为等边三角形，点E在线段AO上，OD＝OE，连接BE，点F为BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，且∠GAD＝60°．（1）若CH＝2，AB＝4，求BC的长；（2）求证：BD＝AB+AE．【解答】解：延长AH、BC相交于点M，∵▱ABCD∴CD＝AB＝4，CD∥AB∵CH＝2∴DH＝CD＝2∵CD∥AB∴∠MHC＝∠MAB，∠MCH＝∠MBA∴△MCH∽△MBA∴∴＝∴MH＝AH，BM＝2BC∵△ABO为等边三角形∴∠AOB＝∠OAB＝∠OBA＝60°，OA＝AB＝4∴∠DOH＝∠AOB＝60°∴∠ODH＝∠OBA＝60°，∠OHD＝∠OAB＝60°∴∠DOH＝∠ODH＝∠OHD∴△DOH是等边三角形∴OH＝OD＝DH＝2∴MH＝AH＝OA+OH＝4+2＝6，EM＝OE+OH+MH＝10∵OD＝OE＝2∴AE＝OA﹣OE＝4﹣2＝2∴点E是OA的中点∵△ABO为等边三角形∴BE⊥OA，∠ABE＝30°∴BE＝AE＝2在Rt△BEM中，∠BEM＝90°∴BE2+EM2＝BM2∴（2）2+102＝BM2∴BM＝4∴BC＝2（2）作BM∥AH交AG的延长线于M．∵AE∥BM，∴∠EAF＝∠M，∵EF＝FB，∠AFE＝∠MFB，∴△AEF≌△MBF（AAS），∴AE＝BM，易证∠AOD＝∠ABM＝120°，∠DAO＝∠MAB，∵AO＝AB，∴△AOD≌△ABM（ASA），∴OD＝BM＝AE，∴BD＝BO+OD＝AB+AE．8．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连接DF、CF．（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD＝1，AC＝，求此时线段CF的长（直接写出结果）．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，∴DF＝BE，CF＝BE，∴DF＝CF．∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°∵BF＝DF，∴∠DBF＝∠BDF，∵∠DFE＝∠ABE+∠BDF，∴∠DFE＝2∠DBF，同理得：∠CFE＝2∠CBF，∴∠EFD+∠EFC＝2∠DBF+2∠CBF＝2∠ABC＝90°，∴DF＝CF，且DF⊥CF．（2）（1）中的结论仍然成立．证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE＝∠ACB＝90°，∴DE∥BC．∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF．∵F为BE中点，∴EF＝BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE＝GB，DF＝GF．∵AD＝DE，∴AD＝GB，∵AC＝BC，∴AC﹣AD＝BC﹣GB，∴DC＝GC．∵∠ACB＝90°，∴△DCG是等腰直角三角形，∵DF＝GF．∴DF＝CF，DF⊥CF．（3）延长DF交BA于点H，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC＝BC，AD＝DE．∴∠AED＝∠ABC＝45°，∵由旋转可以得出，∠CAE＝∠BAD＝90°，∵AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF．∵F是BE的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△HBF，∴ED＝HB，∵AC＝，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝4，∵AD＝1，∴ED＝BH＝1，∴AH＝3，在Rt△HAD中由勾股定理，得DH＝，∴DF＝，∴CF＝∴线段CF的长为．9．在△ABC中，点D是BC的上一点，点E是△ABC外一点，且∠AEB＝90°，过点C作CF⊥AF，垂足为F，连接DE，DF．（1）如图1，点D在AE上，D是BC中点，∠BAE＝30°，∠CAE＝45°，AB＝2，求AC的长；（2）如图2，点D不在AE上，连接AD，延长CF至点G，连接GD且GD＝AD．若BC平分∠ABE，∠G＝∠DAB，求证：DE＝DF．【解答】（1）解：∵D是BC中点，∴BD＝DC，∵CF⊥AE，∴∠CFA＝∠CFD＝90°，∵∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠CFD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BE＝CF，∵∠ABE＝90°，∠BAE＝30°，AB＝2，∴BE＝CF＝1，∵∠CFA＝90°，∠CAE＝45°，∴AC＝CF＝．（2）证明：∵BC平分∠ABE，∴∠1＝∠2，∵∠CFE＝∠BEF＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴△ABD≌△GCD（ASA），∴BD＝CD，延长FD交BE于H，∵∠2＝∠3，BD＝CD，∠HDB＝∠FDC，∴△BDH≌△CDF（ASA），∴DH＝DF，∴DF＝HF，∵∠HEF＝90°，∴DE＝HF＝DF，∴DE＝DF．1（2017年仙桃中考真题）．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是；（2）如图2，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC＝α时，求的值．【解答】解：（1）如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠BED＝∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝45°，∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝45°＝∠ECB，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∵DA＝DC，∴DF＝DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE＝45°，∴MD＝ME，故答案为MD＝ME；（2）MD＝ME，理由：如图1，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM＝∠EBM，∵AM＝BM，∠AMF＝∠BME，∴△AMF≌△BME，∴AF＝BE，MF＝ME，∵DA＝DC，∠ADC＝60°，∴∠BED＝∠ADC＝60°，∠ACD＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＝30°，∴∠EBC＝∠BED﹣∠ECB＝30°＝∠ECB，∴CE＝BE，∴AF＝CE，∵DA＝DC，∴D