-一元二次方程与其应用

1．定义只含有_____________，并且未知数的最高次数是______，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：_________________________________________，其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．2．解法首先考虑____________，____________；其次考虑_________，__________．一个未知数2ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)

直接开平方法因式分解法配方法公式法第一页第二页，共29页。不相等4．一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)：(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个__________的实数根；(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个________的实数根；(3)b2－4ac＜0⇔方程_________实数根．相等没有第二页第三页，共29页。第三页第四页，共29页。第四页第五页，共29页。1．使用一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系时，必须将一元二次方程转化为一般式ax2＋bx＋c＝0，以便确定a，b，c的值．2．正确理解“方程有实根”的含义．若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程．在解题时，要特别注意“方程有实数根”“有两个实数根”等关键文字，挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字的“陷阱”．第五页第六页，共29页。C1．(2015·兰州)一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为(

)A．(x＋4)2＝17B．(x＋4)2＝15C．(x－4)2＝17D．(x－4)2＝152．(2015·锦州)一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况为(

)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根3．(2015·朝阳)下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是(

)A．x2－8＝0B．2x2－4x＋3＝0C．9x2＋6x＋1＝0D．x2－6x＝0AC第六页第七页，共29页。A4．(2015·枣庄)已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是(

)A．－10B．10C．－6D．25．(2015·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是(

)A．12B．9C．13D．12或96．(2015·铁岭)某商品经过连续两次降价，销售单价由原来200元降到162元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为(

)A．200(1－x)2＝162B．200(1＋x)2＝162C．162(1＋x)2＝200D．162(1－x)2＝200AA第七页第八页，共29页。7．(2015·哈尔滨)今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600m2.设扩大后的正方形绿地边长为xm，下面所列方程正确的是(

)A．x(x－60)＝1600B．x(x＋60)＝1600C．60(x＋60)＝1600D．60(x－60)＝16008．(2015·丹东)若x＝1是一元二次方程x2＋2x＋a＝0的一个根，那么a＝_______．9．(2015·盘锦)方程(x＋2)(x－3)＝x＋2的解是________________.A－3x1＝－2，x2＝4第八页第九页，共29页。a≤1k＜2且k≠1

第九页第十页，共29页。第十页第十一页，共29页。【点评】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般顺序为：直接开平方法→因式分解法→公式法．第十一页第十二页，共29页。

[对应训练]1．用指定的方法解下列方程：(1)(2x－1)2＝9；(直接开平方法)(2)2x2＋1＝3x；(配方法)(3)x2－2x－8＝0；(因式分解法)(4)x(x＋1)＋2(x－1)＝0.(公式法)第十二页第十三页，共29页。第十三页第十四页，共29页。一元二次方程根的判别式【例2】

(2015·成都)关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(

D

)A．k＞－1B．k≥－1C．k≠0D．k＜1且k≠0【点评】

对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，Δ≥0方程有两个实数根，Δ＞0方程有两个不相等的实数根，Δ＝0方程有两个相等的实数根，Δ＜0方程没有实数根，反之亦然．另外，切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．第十四页第十五页，共29页。

[对应训练]2．(1)(阜新模拟)关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是(

)A．m≤3B．m＜3C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2(2)(2015·泰州)已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.①不解方程，判别方程根的情况；②若方程有一个根为3，求m的值．

解：①∵a＝1，b＝2m，c＝m2－1，∴Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－1)＝4＞0，∴方程x2＋2mx＋m2－1＝0有两个不相等的实数根；②∵x2＋2mx＋m2－1＝0有一个根是3，∴32＋2m×3＋m2－1＝0，解得m＝－4或m＝－2

D第十五页第十六页，共29页。一元二次方程根与系数的关系【例3】

(1)(2015·金华)一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(

D

)A．4B．－4C．3D．－3(2)(铁岭模拟)已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0.①若方程有实数根，求实数m的取值范围；②若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值．解：①∵方程有实数根，∴Δ＝(－4)2－4m＝16－4m≥0，∴m≤4；②∵x1＋x2＝4，∴5x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋3x1＝2×4＋3x1＝2，∴x1＝－2，把x1＝－2代入x2－4x＋m＝0得(－2)2－4×(－2)＋m＝0，解得m＝－12

第十六页第十七页，共29页。第十七页第十八页，共29页。D

第十八页第十九页，共29页。第十九页第二十页，共29页。一元二次方程的应用【例4】

(2015·淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是__(100＋200x)__斤(用含x的代数式表示)；(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？第二十页第二十一页，共29页。【点评】

(1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．第二十一页第二十二页，共29页。20

第二十二页第二十三页，共29页。

(2)(2015·长沙)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．①求该快递公司投递总件数的月平均增长率；②如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？第二十三页第二十四页，共29页。第二十四页第二十五页，共29页。第二十五页第二十六页，共29页。第二十六页第二十七页，共29页。剖析(1)解方程3x(x＋2)