4.2.2 等差数列的前n项和公式（九大考点）（原卷版）

等差数列的前n项和公式1.探索并掌握等差数列的前n项和公式2.理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系3.能在具体的问题情景中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题一、等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数公式等差数列前n项和的函数特点：对于等差数列,如果是确定的,前项和.若取,上式可写成.当(即)时,是关于的二次函数式(常数项为0).数列的图象是抛物线上的一群孤立的点.二、等差数列的前n项和的性质及应用1.等差数列前n项和的性质（1）等差数列中,其前项和为,则中连续的项和构成的数列构成等差数列.（2）数列是等差数列(为常数)（3）等差数列奇偶项和的性质：①若项数为,则.②$2.等差数列前n项和的最值（1）若,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得的最小值.（2）若,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得的最大值.考点01等差数列前n项和基本量运算1．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A． B． C． D．2．已知等差数列中，是其前项和，若，，则（

）A．7 B．10 C．11 D．133．已知等差数列的前项和为，则数列的公差为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．已知等差数列的前n项和为，若，，则.5．已知是等差数列的前n项和，且，．(1)求的通项公式；(2)若，求n．考点02等差数列前n项和与等差中项6．设是等差数列的前项和，若，则（

）A．36 B．45 C．54 D．637．已知等差数列的前n项和为，，则（

）A．60 B．120 C．180 D．2408．已知是等差数列的前n项和，，则（

）A．22 B．33 C．40 D．449．记为等差数列的前项和，，则（

）A．24 B．42 C．64 D．8410．在等差数列中，为前项和，，则.考点03等差数列的片段和性质11．设等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．27 B．45 C．81 D．1812．已知等差数列的前项和为，若，则.13．已知为等差数列，若，则=（

）A．73 B．120 C．121 D．12214．（多选）记为公差d不为0的等差数列的前n项和，则（

）.A．，，成等差数列B．，，成等差数列C．D．15．已知等差数列的前项和为，若，，则．考点04等差数列前n项和与n的比16．已知等差数列的前n项和为，从结构特征看有何数学含义？数列是等差数列吗？17．在等差数列中，，其前项和为，若，则（

）A．2023 B．2023 C．2024 D．202418．设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．18 B．36 C．40 D．4219．已知是等差数列的前项和，若，，则.20．在等差数列中,,其前项和为,则.考点05两个等差数列前n项和之比21．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（

）．A． B． C． D．22．已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．923．已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（

）A． B． C． D．24．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则.25．已知等差数列，，其前项和分别为，，且满足，．26．等差数列，的前项和分别是与，且，则；.考点06两个等差数列偶数项或奇数项的和27．一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．28．已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（

）A． B． C． D．29．等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于．30．在等差数列中，已知公差，且，求的值．31．求下列两题：(1)等差数列前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，求该数列的公差；(2)项数为奇数的等差数列，奇数项和为44，偶数项和为33，求该数列的中间项．考点07含绝对值的等差数列前n项和32．已知数列的通项公式为，那么满足的正整数.33．已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．34．已知等差数列，前项和为，又．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．35．已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式(2)若，求的前项和.36．在公差为的等差数列中，已知，且.(1)求；(2)若，求.37．从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知等差数列的前n项和为，，且________，求数列的前n项和．考点08等差数列前n项和的最值问题38．等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（

）A．11 B．11或12 C．12 D．12或1339．（多选）已知等差数列{}的前n项和，则下列选项正确的是（

）A． B．C．当取得最大值时 D．当取得最大值时40．（多选）已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（

）A．数列为递减数列 B．C．的最大值为 D．41．已知数列的前项和，当且仅当时，取得最小值，那么的取值范围是.42．已知等差数列的前项和为，若，，则取得最大值时的值为．43．已知数列为等差数列，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和的最大值考点09等差数列前n项和的二次函数特征44．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（

）A．2022 B．2023 C．4043 D．404445．数列中，如果，则Sn取最大值时，n等于（

）A．23 B．24 C．25 D．2646．设数列是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，则（

）A． B． C．或为的最大值 D．47．已知数列满足:对恒成立,且,其前项和有最大值,则使得的最大的的值是.48．等差数列的公差，其前n项和为，若，则中不同的数值有个．基础过关练1．已知等差数列的前n项和为，，，则数列的公差是（

）A． B． C． D．32．等差数列中，，则（

）A．12 B．18 C．24 D．303．按照小方的阅读速度，他看完《巴黎圣母院》共需820分钟.2023年10月26日，他开始阅读《巴黎圣母院》，当天他读了1个小时，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天减少2分钟，则他恰好读完《巴黎圣母院》的日期为（

）A．2023年11月12日 B．2023年11月13日C．2023年11月14日 D．2023年11月15日4．若是等差数列的前项和，，则（

）A． B．C． D．5．（多选）已知数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．是数列中的项C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列6．（多选）记为等差数列的前项和.若，则以下结论一定正确的是（

）A． B．的最大值为C． D．7．设公差不为0的等差数列的前项和为，已知，则．8．一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是．9．等差数列的前n项和为，公差为d，已知且．则使成立的最小正整数n的值为．10．等差数列中，已知是其前项和，,求与11．已知是等差数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式.(2)求的最大值.12．已知是等差数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式与前项和；(2)若，求数列的前项和.能力提升练1．已知数列是等差数列，前n项和，若满足，则使最大的为（

）A．2021 B．2022 C．4041 D．40422．已知公差的等差数列前项和为，满足，则下列结论中正确的是（

）A．是中的最大值 B．是中的最小值C． D．3．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件.由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）.配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）.在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为（

）A． B． C． D．4．（多选）等差数列中，，公差，为其前n项和，对任意正整数n，若点在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（

）A． B． C． D．5．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第项．6．已知两个等差数列和