第六章 平面向量初步（知识梳理热考题型）（原卷版）

第六章平面向量初步单元复习【知识梳理】一、向量的有关概念(1)向量及向量的模一般地，我们把既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)，向量的大小也称为向量的模(或长度).(2)向量及其模的表示法、记法、写法我们用有向线段来直观地表示向量，其中有向线段的长度A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为eq\o(AB,\s\up6(→))，此时向量的模用|eq\o(AB,\s\up6(→))|表示.通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示向量；在书写时，用带箭头的小写字母如eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))等来表示向量.此时，向量a的模也用|a|或|eq\o(a,\s\up6(→))|来表示.(3)零向量与单位向量①0.可以认为零向量的方向是不确定的.②单位向量：模等于1的向量称为单位向量.二、向量的相等与平行(1)相等向量一般地，把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量.(2)向量平行(向量共线)如果两个非零向量的方向相同或者相反常规定零向量与任意向量平行.两个向量平行也称为两个向量共线.三、向量加法法则图示几何意义三角形法则平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，作出向量eq\o(AC,\s\up6(→))，则向量eq\o(AC,\s\up6(→))称为a与b的和(也称eq\o(AC,\s\up6(→))为向量a与b的和向量)，记作a＋b，a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))平行四边形法则平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))四、向量加法的运算律及模之间的不等式(1)向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.(2)向量加法的运算律①加法交换律对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a.②加法结合律对于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).五、向量的减法(1)向量的减法法则定义平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，记作x＝a－b向量减法的三角形法则在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，作出向量eq\o(BA,\s\up6(→))，因此向量eq\o(BA,\s\up6(→))就是向量a和b的差(也称eq\o(BA,\s\up6(→))为向量a与b的差向量)，即eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))结论||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(2)相反向量定义给定一个向量，我们把这个向量方向相反，大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－a性质(1)零向量的起点与终点相同，于是－0＝0；(2)任何一个向量与它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))＋(－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝0；(3)一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量六、数乘向量(1)数乘向量一般地，给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，记作λa，当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λa|＝|λ||a|，若a≠0，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反.当λ＝0或a＝0时，λa＝0.数乘向量的几何意义是，把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.(2)数乘向量的运算律设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；②λ(μa)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb.七、向量的线性运算(1)向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量以及它们的混合运算，通常叫作向量的线性运算.(2)向量共线一般地，如果存在实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线.八、共线向量基本定理(1)共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.(2)三点共线的性质已知平面上点O是直线l外一点，A，B是直线l上给定的两点，平面内任意一点P在直线l上的充要条件是：存在实数t，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))，即存在实数x，y，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1).九、平面向量基本定理(1)基底：平面内不共线的两个向量a与b组成的集合{a，b}，常称为该平面上向量的一组基底，如果c＝xa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式.(2)平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.十、直线上向量的坐标及运算(1)直线上向量的坐标名称定义数轴在直线l上指定一点O作为原点，以e的方向为正方向，e的模为单位长度建立数轴a在轴l上的坐标如果a＝xe，则x称为向量a在轴l上的坐标(2)直线上向量的坐标运算法则(或公式)文字语言符号语言直线上两个向量相等直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等设a＝x1e，b＝x2e，则a＝b⇔x1＝x2直线上求两个向量的和直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和设a＝x1e，b＝x2e，则a＋b＝(x1＋x2)e直线上两点间的距离设A(x1)，B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|x2－x1|数轴上的中点坐标公式设A(x1)，B(x2)，M(x)是线段AB的中点x＝eq\f(x1＋x2,2)十一、平面向量的坐标及运算(1)平面向量的坐标①向量垂直：平面上两个非零向量a与b，如果它们所在直线互相垂直，就称向量a与b垂直，记作a⊥b.规定零向量与任意向量都垂直.②正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解.③向量的坐标：给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝xe1＋ye2，则称(x，y)为向量a的坐标，记作a＝(x，y).(2)向量的坐标运算向量的加、减法若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差.实数与向量的积若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积.向量的数乘、加、减混合运算若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，则ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)向量的模若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2)(3)平面上两点之间的距离公式与中点坐标公式若A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面直角坐标系中的两点，则AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)，线段AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(4)向量平行的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1.十三、平面向量线性运算的应用(1)向量在平面几何中的应用①证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔b＝λa⇔x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).②求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝eq\r(x2＋y2).③要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→)).(2)向量在物理中的应用①力向量力向量与自由向量不同，它包括大小、方向、作用点三个要素.在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算.②速度向量一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示.【热考题型】【考点1】平面向量及其线性运算一、单选题1．（2023上·黑龙江·高三校联考阶段练习）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023下·甘肃天水·高二天水市第一中学校考阶段练习）如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高二专题练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，，，，则（

）A． B．C． D．4．（2023上·湖北黄石·高二阳新县第一中学校联考期中）如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（

）A． B．C． D．5．（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中学校联考期中）在中，，，与交于点，且，则（

）A． B． C． D．16．（2023上·黑龙江双鸭山·高三双鸭山一中校考阶段练习）如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（

）A．8 B．12 C．32 D．16二、多选题7．（2023下·贵州遵义·高一校考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．有向线段与表示同一向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．单位向量都相等8．（2023上·广东汕头·高三汕头市潮阳实验学校校考阶段练习）在中，D，E，F分别是边，，中点，下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则是在的投影向量D．若点P是线段上的动点，且满足，则的最大值为9．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知，若点满足，则下列说法正确的是（

）A．点一定在内部 B．C． D．三、填空题10．（2023上·江苏南通·高三统考期中）设为实数，若向量，，且与共线，则.11．（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）在中，D为CB上一点，E为AD的中点，若，则．12．（2023下·四川自贡·高一统考期末）已知非零向量满足，则与的夹角为．四、解答题13．（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知向量，，不共线，求作向量．14．（2023·全国·高一课堂例题）如图，中，AB边的中点为P，重心为G．在外任取一点O，作向量，，，，．(1)试用，表示．(2)试用，，表示．15．（2023·全国·高一随堂练习）判断三点是否共线.(1)已知两个非零向量和不共线，，，.求证：A，B，D三点共线.(2)已知任意两个非零向量，，求作，，.试判断A，B，C三点之间的位置关系，并说明理由.【考点2】向量基本定理与向量的坐标一、单选题1．（2023下·广东佛山·高一校考阶段练习）若，，则（

）．A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和3．（2023下·新疆乌鲁木齐·高一校考期中）若，点的坐标为，则点的坐标为（

）A． B． C． D．4．（2023上·山东济宁·高三统考期中）在中，点是线段上的两个动点，且，则的最小值为（

）．A． B． C．2 D．85．（2023上·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）已知向量，若，则实数的值为（

）A． B．1 C． D．26．（2023上·河北沧州·高三校联考期中）如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题7．（2023上·高二课时练习）设一次函数（c为常数）的图象为直线l，那么直线l的一个方向向量可以为（

）A． B．C． D．8．（2023下·贵州·高一校联考阶段练习）在直角梯形中，，为中点，分别为线段的两个三等分点，点为线段上任意一点，若，则的值可能是（

）A．1 B． C．2 D．三、填空题9．（2023下·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）如图，在平面四边形中，，，延长交的延长线于点，若，则.10．（2023下·四川自贡·高一统考期中）已知点，点在线段的延长线上，且，则点P的坐标是.11．（2023上·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知向量，且，则.四、解答题12．（2022下·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）在直角梯形中，，，，，，分别为，的中点，点在以为圆心的圆弧上运动，若，求的取值范围．13．（2023下·河南省直辖县级单位·高一河南省济源第一中学校考阶段练习）如图，点E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，，，与所成角是.(1)若，求实数x，y的值；(2)求线段EF的长度.14．（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若.(1)求的值；(2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值.【考点3】平面向量线性运算的应用一、单选题1．（2023下·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考期中）已知中，，，则此三角形为（）A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形2．（2023·江苏·高一专题练习）若向量，与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A． B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（

）A．1 B．2C． D．4．（2023上·北京海淀·高三统考期中）在等腰直角三角形中，为斜边的中点，以为圆心，为半径作，点在线段上，点在上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2023上·广东佛山·高二统考期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为，已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小相同．求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为（

）（重力加速度）A． B． C． D．6．（2023下·广东清远·高一校考阶段练习）一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m，河水的速度为向东A处出发，航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h，则当小货船的航程最短时，求此时小货船航行速度为多少.（

）A．km/h B．km/hC．km/h D．km/h二、多选题7．（2023下·海南海口·高一海口一中校考期中）下列命题为真命题的是（

）A．是边长为2的等边三角形，为平