高考数学大一轮复习 第二篇 函数 导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性习题 理试题

第3节函数的奇偶性与周期性【选题明细表】知识点、方法题号函数奇偶性的判定1,2,13函数周期性的应用6利用函数的奇偶性求函数值5,8,12利用函数的奇偶性求函数解析式或参数4,9,10利用函数的奇偶性比较函数值的大小、解函数不等式3,7函数基本性质的综合应用11,14,15,16,17基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·河北唐山市一模)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(C)(A)y=1x (B)y=-x(C)y=ex+e-x (D)y=|x+1|解析:y=1x是奇函数,y=|x+1|为非奇非偶函数,y=-x2+∞)上单调递减,只有C是偶函数,且f′(x)=ex-e-x>0(x∈(0,+∞)).故选C.2.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则一定成立的是(C)(A)函数f(g(x))是奇函数 (B)函数g(f(x))是奇函数(C)函数f(f(x))是奇函数 (D)函数g(g(x))是奇函数解析:由题得函数f(x),g(x)满足f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),则有f(g(-x))=f(g(x)),g(f(-x))=g(-f(x))=g(f(x)),f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x)),g(g(-x))=g(g(x)),可知函数f(f(x))是奇函数.故选C.3.(2016·福建福州模拟)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f(-12)(A)c>a>b (B)c>b>a(C)a>c>b (D)b>a>c解析:由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象本身关于直线x=1对称,所以a=f(-12)=f(52).当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x+∞)上单调递减,所以b>a>c.故选D.4.(2016·安徽“江淮十校”联考)已知函数f(x)的定义域为(3-2a,a+1),且f(x+1)为偶函数,则实数a的值为(B)(A)23解析:法一因为f(x)的定义域为(3-2a,a+1),所以由3-2a<x+1<a+1,得2-2a<x<a,所以f(x+1)的定义域为(2-2a,a).又因为f(x+1)为偶函数,其定义域关于原点对称,所以2-2a=-a,a=2.故选B.法二因为f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(1-x),所以y=f(x)关于直线x=1对称.故(3-2a)+(a+1)=2.解之得a=2.故选B.5.(2016·河北冀州中学高三月考)已知函数f(x)=asin3x+bx3+4(a∈R,b∈R),f′(x)为f(x)的导函数,则f(2014)+f(-2014)+f′(2015)-f′(-2015)等于(A)(A)8 (B)2014 (C)2015(D)0解析:根据题意有f′(x)=3acos3x+3bx2,所以f′(2015)=f′(-2015),而f(x)+f(-x)=4+4=8,所以有f(2014)+f(-2014)+f′(2015)-f′(-2015)=8,故选A.6.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=2x-m,若f(x+2)=1f(A)12 (B)-12 (C)-32解析:因为f(x)是R上的奇函数,且x∈[-1,0]时,f(x)=2x-m,所以f(0)=1-m=0,所以m=1.又f(x+2)=1f因为f(2017)=f(4×504+1)=f(1),又f(-1)=2-1-1=-12故选A.7.导学号18702041已知f(x)=x4+e|x|,则满足不等式2f(lnt)-f(ln1t)≤(A)[e-1,e] (B)[e-2,e2](C)[0,e2] (D)[e-2,e]解析:因为f(x)=x4+e|x|,所以f(0)=1,f(-x)=f(x),因为2f(lnt)-f(ln1t)≤所以2f(lnt)-f(-lnt)=2f(lnt)-f(lnt)≤f(2),即f(lnt)≤f(2).因为f(x)=x4+e|x|,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以|lnt|≤2,解得e-2≤t≤e2.故选B.8.导学号18702042已知f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+x,则f(-1)=.

解析:因为f(1)=12+1=2.又f(x)是奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.答案:-29.(2016·广东深圳市第一调调研)已知f(x),g(x)分别是定义域为R的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=3x,则f(1)=.

解析:法一由题意知f即f解之得f(1)=43法二由题意知f即f消去g(x)得f(x)=3x即f(1)=3-13答案:410.(2016·湖北武汉2月考)已知函数f(x)=ln1+ax1-3解析:由f(x)=ln1+ax所以f(-x)=ln1-ax1+3x=-ln所以1-ax1+3x=当a=-3时,f(x)=ln1-3x1-3x答案:3能力提升练(时间:15分钟)11.函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,下列说法正确的是(C)①函数y=f(x)满足f(-x)=-f(x);②函数y=f(x)满足f(x+2)=f(-x);③函数y=f(x)满足f(-x)=f(x);④函数y=f(x)满足f(x+2)=f(x).(A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④解析:根据图象知函数f(x)的图象关于原点对称,故为奇函数,所以①正确;又其图象关于直线x=1对称,所以②正确.12.导学号18702043已知函数f(x)=x2+x(A)23 (B)-23 (C)4解析:因为f(x)=1+xx2+1因为f(-x)+f(x)=2,所以f(-a)=2-f(a)=43故选C.13.定义在R上的函数f(x),对∀x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列命题正确的是(D)(A)f(x)是偶函数 (B)f(x)是奇函数(C)f(x)+1是偶函数 (D)f(x)+1是奇函数解析:令x1=0,x2=1,得f(1)=f(0)+f(1)+1,所以f(0)=-1.令x1=-x2得f(0)=f(-x2)+f(x2)+1,所以f(x2)+f(-x2)+2=0.所以f(x2)+1=-f(-x2)-1.令g(x)=f(x)+1得g(-x)=f(-x)+1=-[f(x)+1]=-g(x),所以g(x)=1+f(x)是奇函数.故选D.14.(2016·山西太原二模)若关于x的函数f(x)=tx2+2x解析:由题意,f(x)=tx2+2由于函数g(x)=2x又函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N=4,所以M-t=-(N-t),即2t=M+N=4,所以t=2.答案:215.(2016·江西赣中南五校模拟)有下列4个命题:①若函数f(x)定义域为R,则g(x)=f(x)-f(-x)是奇函数;②若函数f(x)是定义在R上的奇函数,∀x∈R,f(x)+f(2-x)=0,则f(x)图象关于x=1对称;③已知x1和x2是函数定义域内的两个值(x1<x2),若f(x1)>f(x2),则f(x)在定义域内单调递减;④若f(x)是定义在R上的奇函数,f(x+2)也是奇函数,则f(x)是以4为周期的周期函数.其中,正确命题是(把所有正确结论的序号都填上).

解析:对于①,g(x)的定义域为R,则g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),所以g(x)为奇函数;对于②,由f(x)+f(2-x)=0得f(2-x)=-f(x)=f(-x),因此函数以2为周期,又f(x)为奇函数,故f(x)不可能关于x=1对称,因此②不正确;对于③,由函数单调性的定义,可知③错误;对于④,由条件,得f(-x)=-f(x)(*),f(-x+2)=-f(x+2)(**),又由(*)得f[-(x+2)]=-f(x+2)(***),结合(**)与(***)得f(-x+2)=f(-x-2)⇒f(x-2)=f(x+2)⇒f(x)=f(x+4),所以f(x)是以4为周期的周期函数,故④正确.综上,真命题的序号是①④.答案:①④16.(2016·湖北黄冈模拟)已知函数f(x)=ln(x+x2+1),若正实数a,b满足f(2a)+f(b-1)=0,则1a+1b解析:因为f(x)=ln(x+x2所以f(-x)=ln(x2又因为f(x)+f(-x)=ln(x+x2+1)+ln(=ln1=0,所以f(x)为奇函数.由f(2a)+f(b-1)=0得f(2a)=-f(b-1)=f(1-b).又f(x)单调,故2a=1-b,则2a+b=1,所以1a+1b=2a+ba+2a+bb=3+ba+2ab答案:3+2217.导学号18702044设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,(1)求证:f(x)是周期函数;(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;(3)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016).(1)证明:因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.(2)解:由f(x+2)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2,所以当x∈[2,4]时,f(x)=-f(x-2)=-[2(x-2)-(x-2)2]=x2-6x+8.即f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].(3)解:因为f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2016)=f(2016)=f(0)=0.好题天天练1.(2017·山西四校高三第一次联考)已知函数f(x)=2x+sinx+ln(x2+1+x),若不等式f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0对任意x(A)(-∞,23-1) (B)(-∞,-23+1)(C)(-23+1,23-1) (D)(-23+1,+∞)解析:因为f(-x)=-2x+sin(-x)+ln(x2所以f(x)+f(-x)=ln(x2+1-x)+ln(又因为y=2x+sinx中y′=2+cosx>0,且y=ln(1+x所以函数f(x)为R上单调递增的奇函数,从而f(3x-9x)+f(m·3x-3)<0⇔f(3x-9x)<f(-m·3x+3)⇔3x-9x<-m·3x+3⇔m<3x-1+33又3x-1+33x≥23x·33x所以m的取值范围为(-∞,23-1).故选A.2.导学号18702045设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2∈D,当x1+x2=2a时,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图象的对称中心,研究函数f(x)=x3+sinx+1图象的某一个对称中心,并利用对称中心的上述定义,可得到f(-2015)+f(-2014)+f(