高考数学二轮复习 专题2 函数的概念、图象与性质（含解析）试题

一、选择题1．(文)(2014·新课标Ⅰ文，5)设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数[答案]C[解析]本题考查函数的奇偶性．由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，得f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)．∴f(x)·g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，|f(x)g(x)|是偶函数，选C.[方法点拨]函数奇偶性判定方法：紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域关于坐标原点对称、函数图象的对称性等对问题进行分析转化，特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0，偶函数一定有f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．(理)(2015·安徽理，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cosx B．y＝sinxC．y＝lnx D．y＝x2＋1[答案]A[解析]考查函数的奇偶性和函数零点的概念．由选项可知，B，C项均不是偶函数，故排除B，C；A，D项是偶函数，但D项与x轴没有交点，即D项的函数不存在零点，故选A.2．(文)函数f(x)＝eq\r(1－2x)＋eq\f(1,\r(x＋3))的定义域为()A．(－3,0] B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0] D．(－∞，－3)∪(－3,1][答案]A[解析]本题考查了定义域的求法．由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2x≥0，,x＋3>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x≤1，,x>－3，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x>－3，))∴－3<x≤0，∴f(x)定义域为(－3,0]．(理)函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0,1) B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞)[答案]C[解析]本题考查函数定义域的求法．由题设得x2－x>0，解得x<0或x>1，选C.[方法点拨]1.求解函数的定义域一般应遵循以下原则：①f(x)是整式时，定义域是全体实数；②f(x)是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③f(x)为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若f(x)是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a≤g(x)≤b解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．2．高考中常将指数函数、对数函数与二次函数或幂函数(例如分式函数、含偶次方根的函数)等结合起来考查，这时一般应从外到内逐层剥离解决．例如，y＝eq\f(1,\r(2－log3x))，从总体上看是分式，故先由分母不为0得到eq\r(2－log3x)≠0，再由偶次方根下非负得到2－log3x>0，即log3x<2，最后由对数函数单调性及对数函数定义域得到0<x<9.3．(2015·山东理，10)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1，,x＜1，,2x，,x≥1.)))则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B．[0,1]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞)) D．[1，＋∞)[答案]C[解析]当a≥1时，f(a)＝2a∴f(f(a))＝2f(a)，当a＜1时，f(a)＝3a－1，若f(f(a))＝2f(a)，则f(a)≥1，即3a－1≥1，∴a≥eq\f(2,3)，∴eq\f(2,3)≤a＜1，综上a≥eq\f(2,3).∴选C.[方法点拨]1.分段函数求值或解不等式时，一定要依据条件分清利用哪一段求解，对于具有周期性的函数要用好其周期性．2．形如f(g(x))的函数求值应遵循先内后外的原则．4．(2015·湖北理，6)已知符号函数sgnx＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x＞0，,0，x＝0，,－1，x＜0，))f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则()A．sgn[g(x)]＝sgnxB．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]C．sgn[g(x)]＝－sgnxD．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)][答案]C[解析]考查新定义问题及函数单调性的应用．因为f(x)是R上的增函数，a＞1，所以当x＞0时，ax＞x，f(x)＜f(ax)，g(x)＜0；x＝0时，ax＝x，f(x)＝f(ax)＝f(0)，g(0)＝0；x＜0时，ax＜x，f(x)＞f(ax)，g(x)＞0.因此sgn[g(x)]＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，x＞0，,0，x＝0，,1，x＜0.))所以sgn[g(x)]＝－sgnx.故本题正确答案为C.5．(文)函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()[答案]A[解析]∵f(－x)＝ln[(－x)2＋1]＝ln(x2＋1)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，排除C.∵x2＋1≥1，则ln(x2＋1)≥0，且当x＝0时f(0)＝0，所以排除B、D，选A.(理)若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx＋1，x≤0,lnx，x＞0，))则当k>0时，函数y＝f[f(x)]＋1的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4[答案]D[解析]结合图象分析．当k>0时，f[f(x)]＝－1，则f(x)＝t1∈(－∞，－eq\f(1,k))或f(x)＝t2∈(0,1)．对于f(x)＝t1，存在两个零点x1、x2；对于f(x)＝t2，存在两个零点x3、x4，共存在4个零点，故选D.6．函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)[答案]D[解析]本题考查复合函数的单调性，f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)由y＝logeq\f(1,2)u及u＝x2－4复合而成，y＝logeq\f(1,2)u在定义域内为减函数，而u＝x2－4在(－∞，－2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，所以f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的单调递增区间(－∞，－2)，选D.7．(文)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8x－8，x≤1，,0，x>1，))g(x)＝log2x，则f(x)与g(x)两函数图象的交点个数为()A．4 B．3C．2 D．1[答案]C[解析]画出两函数的图象知，当0<x<1时，有一个交点，又f(1)＝g(1)＝0；当x>1时，f(x)＝0<g(x)恒成立，故选C.(理)函数f(x)＝logeq\f(1,2)cosx(－eq\f(π,2)<x<eq\f(π,2))的图象大致是()[答案]C[解析]解法1：由奇偶性定义易知函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，排除A，B；又x∈[0，eq\f(π,2)]时，cosx∈(0,1]，f(x)＝logeq\f(1,2)cosx>0，排除D，故选C.解法2：利用复合函数单调性的判断方法，由于u＝cosx在区间(－eq\f(π,2)，0)、(0，eq\f(π,2))上分别为增函数和减函数，而y＝logeq\f(1,2)u为减函数，故复合函数f(x)＝logeq\f(1,2)cosx在区间(－eq\f(π,2)，0)、(0，eq\f(π,2))上分别为减函数和增函数，故选C.8．(文)如果我们定义一种运算：g⊗h＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(gg≥h，,hg<h，))已知函数f(x)＝2x⊗1，那么函数f(x－1)的大致图象是()[答案]B[解析]由定义知，当x≥0时，2x≥1，∴f(x)＝2x，当x<0时，2x<1，∴f(x)＝1，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≥0，,1x<0，))其图象易作，f(x－1)的图象可由f(x)的图象向右平移1个单位得到，故选B.[方法点拨]1.新定义题型要准确理解把握新定义的含义，发掘出其隐含条件．2．恒成立问题要注意恒成立的临界点及特值法应用．3．分段函数的单调性和最值问题，一般是在各段上分别讨论．(理)定义两种运算：a⊕b＝eq\r(a2－b2)，a⊗b＝eq\r(a－b2)，则函数f(x)＝eq\f(2⊕x,x⊗2－2)为()A．奇函数 B．偶函数C．既是奇函数又为偶函数 D．非奇函数且非偶函数[答案]A[解析]本题考查对新运算的理解和应用以及函数奇偶性的判断方法，难度中等．根据所给的运算定义得函数f(x)＝eq\f(2⊕x,x⊗2－2)＝eq\f(\r(4－x2),|x－2|－2)，求出函数的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称，且x－2≤0，所以函数f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x－2|－2)＝eq\f(\r(4－x2),2－x－2)＝eq\f(\r(4－x2),－x)，易知f(－x)＝－f(x)，所以原函数为奇函数，故选A.[易错分析]本题中常见错误是不化简函数的解析式而直接将－x代入，导致选择错误答案D.9．(文)已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2－x，x<0,fx－5，x≥0))，则f(2013)等于()A．－1 B．2C．0 D．1[答案]D[解析]∵2013＝403×5－2，∴f(2013)＝f(－2)＝log22＝1.(理)(2014·湖南理，3)已知f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3[答案]C[解析]本题考查函数的奇偶性．分别令x＝1和x＝－1可得f(1)－g(1)＝3且f(－1)－g(－1)＝1⇒f(1)＋g(1)＝1，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1－g1＝3，,f1＋g1＝1.))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝2，,g1＝－1.))⇒f(1)＋g(1)＝1，故选C.10．(2015·浙江嘉兴测试一)偶函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f(ax－1)<f(2＋x2)恒成立，则实数a的取值范围为()A．(－2eq\r(3)，2) B．(－2,2)C．(－2eq\r(3)，2eq\r(3)) D．(－2,2eq\r(3))[答案]B[解析]本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，如何利用单调性构造不等式是解答本题的关键所在，难度中等．由于函数为偶函数，故f(ax－1)＝f(|ax－1|)，因此f(ax－1)<f(2＋x2)⇔f(|ax－1|)<f(2＋x2)，据已知单调性可得f(|ax－1|)<f(2＋x2)⇔|ax－1|<2＋x2，据题意可得不等式|ax－1|<2＋x2恒成立，即－(2＋x2)<ax－1<2＋x2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax＋3>0，,x2＋ax＋1>0))恒成立，据二次函数知识可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－12<0，,a2－4<0，))解得－2<a<2，故选B.[易错分析]考生多因为分类讨论而使解答过程复杂化，且讨论过程出错率也较高．利用整体思想将偶函数的条件拓展，利用整体性思想解决问题可以回避分类讨论的过程．11．(文)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间(1,2)上都是减函数，则实数a的取值范围是()A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1][答案]D[解析]由f(x)在(1,2)上为减函数得a≤1；由g(x)＝eq\f(a,x＋1)在(1,2)上为减函数得a>0，∴0<a≤1.(理)函数f(x)＝(eq\f(1,2))－x2＋2mx－m2－1的单调增区间与值域相同，则实数m的取值为()A．－2 B．2C．－1 D．1[答案]B[解析]∵－x2＋2mx－m2－1＝－(x－m)2－1≤－1，∴(eq\f(1,2))－x2＋2mx－m2－1≥2，∴f(x)的值域为[2，＋∞)，∵y＝(eq\f(1,2))x单调递减，y＝－(x－m)2－1的单调减区间为[m，＋∞)，∴f(x)的单调增区间为[m，＋∞)．由条件知m＝2.[方法点拨]函数单调性判定方法一是紧扣定义；二是充分利用函数的奇偶性、函数的周期性和函数图象的直观性进行分析转化．函数的单调性往往与不等式的解、方程的解等问题交汇，要注意这些知识的综合运用．三是利用导数研究．对于选择、填空题若能画出图象一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数用导数法；对于抽象函数一般用定义法．12．(2015·浙江宁波期末)设函数y＝f(x)是定义在R上以1为周期的函数，若g(x)＝f(x)－2x在区间[2,3]上的值域为[－2,6]，则函数g(x)在[－2012,2012]上的值域为()A．[－2,6] B．[－4030,4024]C．[－4020,4034] D．[－4028,4016][答案]C[解析]本题考查函数性质与归纳推理的应用，考查对抽象函数的理解和应用，难度较大．求出几个区间的值域，再进行归纳推理．当x∈[3,4]时，x－1∈[2,3]，g(x－1)＝f(x－1)－2(x－1)，且g(x－1)∈[－2,6]，又f(x)的周期为1，所以f(x)－2x＝f(x－1)－2x＝g(x－1)－2∈[－4,4]，所以g(x)在[2,4]内的值域为[－4,6]．同理，当x∈[4,5]时，g(x)的值域是[－6,2]，所以g(x)在[2,5]内的值域为[－6,6]，…，g(x)在[2,2012]内的值域为[－4020,6]．g(x)在[1,2]内的值域为[0,8]，g(x)在[1,2012]内的值域为[－4020,8]，…，所以g(x)在[－2012,2012]内的值域为[－4020,4034]，故选C.[易错分析]抽象函数值域的求解是一个难点，尤其是与年份相关的周期函数的值域问题，难度更大．利用函数的周期性及整体思想将函数进行变换，使函数g(x)能够特殊化，从而归纳得出结论．13．(文)已知f(x＋1)为偶函数，且f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，a＝f(2)、b＝f(log32)、c＝f(eq\f(1,2))，则有()A．a<b<c B．b<c<aC．c<b<a D．a<c<b[答案]D[解析]∵f(x＋1)为偶函数，∴其图象关于y轴对称，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又∵函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，∵f(2)＝f(0)，且0<eq\f(1,2)<log32，∴f(2)<f(eq\f(1,2))<f(log32)，∴a<c<b.(理)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log21－x＋1，－1≤x<k,x5－3x＋2，k≤x≤a))，若存在k使得函数f(x)的值域是[0,2]，则实数a的取值范围是()A．[eq\r(3)，＋∞) B．[eq\f(1,2)，eq\r(3)]C．(0，eq\r(3)] D．{2}[答案]B[解析]当a＝2时，f(x)＝x5－3x＋2，k≤x≤2，f(2)＝28不合题意，∴a≠2，排除A、D；当a＝eq\f(1,3)时，∵k≤x≤a，∴k≤eq\f(1,3)，当k＝eq\f(1,3)时，－1≤x<eq\f(1,3)，eq\f(2,3)<1－x≤2，∴log2eq\f(2,3)<log2(1－x)≤1，又log2eq\f(2,3)<0，∴不合题意，排除C，故选B.二、填空题14．(文)设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(1)>1，f(2)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围是________．[答案](－1，eq\f(2,3))[解析]f(x＋3)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，得f(2)＝f(2－3)＝f(－1)＝－f(1)，又f(1)>1，所以f(2)<－1，即eq\f(2a－3,a＋1)<－1，解得－1<a<eq\f(2,3).(理)设M是由满足下列性质的函数f(x)构成的集合：在定义域内存在x0，使得f(x0＋1)＝f(x0)＋f(1)成立．已知下列函数：①f(x)＝eq\f(1,x)；②f(x)＝2x；③f(x)＝lg(x2＋2)；④f(x)＝cosπx.其中属于集合M的函数是________(写出所有满足要求的函数的序号)．[答案]②④[解析]对于①，方程eq\f(1,x＋1)＝eq\f(1,x)＋1，显然无实数解；对于②，由方程2x＋1＝2x＋2，解得x＝1；对于③，方程lg[(x＋1)2＋2]＝lg(x2＋2)＋lg3，也无实数解；对于④，方程cos[π(x＋1)]＝cosπx＋cosπ，即cosπx＝eq\f(1,2)，显然存在x使等式成立，故填②④.15．如图所示，f(x)是定义在区间[－c，c](c>0)上的奇函数，令g(x)＝af(x)＋b，并有关于函数g(x)的四个论断：①若a>0，对于[－1,1]内的任意实数m、n(m<n)，eq\f(gn－gm,n－m)>0恒成立；②函数g(x)是奇函数的充要条件是b＝0；③∀a∈R，g(x)的导函数g′(x)有两个零点；④若a≥1，b<0，则方程g(x)＝0必有3个实数根；其中所有正确结论的序号是________．[答案]①②③[解析]①∵g(x)＝af(x)＋b，∴eq\f(gn－gm,n－m)＝eq\f(a[fn－fm],n－m)，由图知对于f(x)在[－1,1]上任意两点A(m，f(m))，B(n，f(n))，有kAB＝eq\f(fn－fm,n－m)>0，又a>0，∴eq\f(gn－gm,n－m)>0恒成立，故①正确；②g(x)为奇函数⇔g(－x)＝－g(x)⇔af(－x)＋b＝－af(x)－b⇔2b＝－a[f(－x)