高考数学二轮复习 专题检测（十五）圆锥曲线的方程与性质试题

专题检测（十五）圆锥曲线的方程与性质A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一个焦点，则p＝()A.2 B.3C.4 D.8解析：选D抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，椭圆eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\r(2p)，0)).由题意得eq\f(p,2)＝eq\r(2p)，解得p＝0(舍去)或p＝8.故选D.2.一个焦点为(eq\r(26)，0)且与双曲线eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝1有相同渐近线的双曲线方程是()A.eq\f(y2,18)－eq\f(x2,8)＝1 B.eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,16)－eq\f(y2,10)＝1 D.eq\f(y2,16)－eq\f(x2,10)＝1解析：选B设所求双曲线方程为eq\f(y2,4)－eq\f(x2,9)＝t(t≠0)，因为一个焦点为(eq\r(26)，0)，所以|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为eq\f(x2,18)－eq\f(y2,8)＝1.3.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,24)＋eq\f(y2,25)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,24)＝1C.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1解析：选D设圆M的半径为r，则|MC1|＝13－r，|MC2|＝3＋r，|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|，所以点M的轨迹是以点C1(4，0)和C2(－4，0)为焦点的椭圆，且2a＝16，a＝8，c＝4，则b2＝a2－c2＝48，所以点M的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.4.(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(5,2)C.eq\f(7,2) D.eq\f(9,2)解析：选B由F是双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＝3，,\f(xeq\o\al(2,0),4)－\f(yeq\o\al(2,0),5)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(2,0)＝\f(56,9)，,yeq\o\al(2,0)＝\f(25,9)，))所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(14),3)，\f(5,3)))，所以S△OPF＝eq\f(1,2)|OF|·y0＝eq\f(1,2)×3×eq\f(5,3)＝eq\f(5,2).故选B.5.(2019·石家庄市模拟(一))已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(\r(3),2)解析：选B∵FP的斜率为－eq\f(b,c)，FP∥l，∴直线l的斜率为－eq\f(b,c).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)＋\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)＋\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝1))得eq\f(yeq\o\al(2,1),b2)－eq\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(xeq\o\al(2,2),a2)))，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2（x1＋x2）,a2（y1＋y2）).∵AB的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，∴－eq\f(b,c)＝－eq\f(2b2,a2)，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝eq\r(2)c，∴椭圆的离心率为eq\f(\r(2),2)，故选B.6.(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点.若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.2 D.eq\r(5)解析：选A设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|＝a，|OM|＝|MP|＝eq\f(c,2).由|OM|2＋|MP|2＝|OP|2得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)))eq\s\up12(2)＝a2，故eq\f(c,a)＝eq\r(2)，即e＝eq\r(2).故选A.二、填空题7.(2019·北京通州区三模改编)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________.解析：抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1的两条渐近线方程分别为y＝2x，y＝－2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为eq\f(p,2)，因此eq\f(1,2)×2p×eq\f(p,2)＝2，解得p＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y＝2x和y＝－2x的距离相等，均为eq\f(|2－0|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5).答案：2eq\f(2\r(5),5)8.设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′，若l′与椭圆x2＋eq\f(y2,4)＝1的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为eq\f(1,2)的点P的个数为________.解析：直线l′的方程为2x＋y－2＝0，∴交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB|＝eq\r(5)，由△PAB的面积为eq\f(1,2)，得点P到直线AB的距离为eq\f(\r(5),5)，而平面上到直线2x＋y－2＝0的距离为eq\f(\r(5),5)的点都在直线2x＋y－1＝0和2x＋y－3＝0上，而直线2x＋y－1＝0与椭圆相交，2x＋y－3＝0与椭圆相离，∴满足题意的点P有2个.答案：29.已知M(x0，y0)是双曲线C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点.若eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，则y0的取值范围是________.解析：由题意知a＝eq\r(2)，b＝1，c＝eq\r(3)，设F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，则eq\o(MF1,\s\up7(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)，eq\o(MF2,\s\up7(→))＝(eq\r(3)－x0，－y0).∵eq\o(MF1,\s\up7(→))·eq\o(MF2,\s\up7(→))<0，∴(－eq\r(3)－x0)(eq\r(3)－x0)＋yeq\o\al(2,0)<0，即xeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0.∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴eq\f(xeq\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，即xeq\o\al(2,0)＝2＋2yeq\o\al(2,0)，∴2＋2yeq\o\al(2,0)－3＋yeq\o\al(2,0)<0，∴－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3).答案：－eq\f(\r(3),3)<y0<eq\f(\r(3),3)三、解答题10.(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，|PF2|＝eq\f(1,2)，椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积.解：(1)由题意知，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，|PF2|＝eq\f(b2,a)＝eq\f(1,2)，得a＝2，b＝1，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由条件可知F1(－eq\r(3)，0)，直线l：y＝x＋eq\r(3)，联立直线l和椭圆C的方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得5x2＋8eq\r(3)x＋8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8\r(3),5)，x1·x2＝eq\f(8,5)，所以|y1－y2|＝|x1－x2|＝eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝eq\f(4\r(2),5)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)·|y1－y2|·|OF1|＝eq\f(2\r(6),5).11.(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq\f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；(2)若eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))，求|AB|.解：设直线l：y＝eq\f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq\f(3,2).又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq\f(5,2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－eq\f(12（t－1）,9).从而－eq\f(12（t－1）,9)＝eq\f(5,2)，得t＝－eq\f(7,8).所以l的方程为y＝eq\f(3,2)x－eq\f(7,8).(2)由eq\o(AP,\s\up7(→))＝3eq\o(PB,\s\up7(→))可得y1＝－3y2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x))可得y2－2y＋2t＝0.所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.代入C的方程得x1＝3，x2＝eq\f(1,3).故|AB|＝eq\f(4\r(13),3).12.(2019·成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为4eq\r(2)，离心率为eq\f(1,3).(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1M∥F2N，直线F1M的斜率为2eq\r(6)，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k1＋2k2的值.解：(1)由题意，得2b＝4eq\r(2)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).又a2－c2＝b2，∴a＝3，b＝2eq\r(2)，c＝1.∴椭圆C的标准方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)由(1)可知A(－3，0)，B(3，0)，F1(－1，0).据题意，直线F1M的方程为y＝2eq\r(6)(x＋1).记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M′.设M(x1，y1)(y1>0)，M′(x2，y2∵F1M∥F2N，∴根据对称性，得N(－x2，－y2联立得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x2＋9y2＝72，,y＝2\r(6)（x＋1），))消去y，得14x2＋27x＋9＝0.由题意知x1>x2，∴x1＝－eq\f(3,7)，x2＝－eq\f(3,2)，k1＝eq\f(y1,x1＋3)＝eq\f(2\r(6)（x1＋1）,x1＋3)＝eq\f(4\r(6),9)，k2＝eq\f(－y2,－x2－3)＝eq\f(2\r(6)（x2＋1）,x2＋3)＝－eq\f(2\r(6),3)，∴3k1＋2k2＝3×eq\f(4\r(6),9)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)))＝0，即3k1＋2k2的值为0.B组——大题专攻强化练1.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为eq\f(1,2)，其中一个顶点是抛物线x2＝－4eq\r(3)y的焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标.解：(1)设椭圆C的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由题意得b＝eq\r(3)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，c＝1.故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1(k≠0).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,y＝k（x－2）＋1))得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0.①因为直线l与椭圆C相切，所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.整理，得2k＋1＝0，解得k＝－eq\f(1,2).所以直线l的方程为y＝－eq\f(1,2)(x－2)＋1＝－eq\f(1,2)x＋2.将k＝－eq\f(1,2)代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).2.在直角坐标系xOy中，长为eq\r(2)＋1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\r(2)eq\o(PD,\s\up7(→)).记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0，1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，当点M在曲线E上时，求直线l的方程.解：(1)设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y).由eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\r(2)eq\o(PD,\s\up7(→))，得(x－m，y)＝eq\r(2)(－x，n－y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－m＝－\r(2)x，,y＝\r(2)（n－y），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝（\r(2)＋1）x，,n＝\f(\r(2)＋1,\r(2))y，))由|eq\o(CD,\s\up7(→))|＝eq\r(2)＋1，得m2＋n2＝(eq\r(2)＋1)2，所以(eq\r(2)＋1)2x2＋eq\f(（\r(2)＋1）2,2)y2＝(eq\r(2)＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))，知点M的坐标为(x1＋x2，y1＋y2).易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－eq\f(2k,k2＋2)，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝eq\f(4,k2＋2).由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋eq\f(（y1＋y2）2,2)＝1，即eq\f(4k2,（k2＋2）2)＋eq\f(8,（k2＋2）2)＝1，解得k2＝2.此时直线l的方程为y＝±eq\r(2)x＋1.3.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\f(1,3)，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(0，2)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若x轴上的一点E满足|AE|＝|BE|，试求出点E的横坐标的取值范围.解：(1)由已知得eq\f(c,a)＝eq\f(1,3)，2c＝2，所以c＝1，a＝3，b2＝a2－c2＝8.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)根据题意可设直线l的方程为y＝kx＋2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为G(x0，y0).设点E(m，0)，使得|AE|＝|BE|，则EG⊥AB.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,\f(x2,9)＋\f(y2,8)＝1))得(8＋9k2)x2＋36kx－36＝0，x1＋x2＝－eq\f(36k,9k2＋8)，所以x0＝eq\f(－18k,9k2＋8)，y0＝kx0＋2＝eq\f(16,9k2＋8)，因为EG⊥AB，所以kEG＝－eq\f(1,k)，即eq\f(\f(16,9k2＋8)－0,\f(－18k,9k2＋8)－m)＝－eq\f(1,k)，所以m＝eq\f(－2k,9k2＋8)＝eq\f(－2,9k＋\f(8,k))，当k>0时，9k＋eq\f(8,k)≥2eq\r(9×8)＝12eq\r(2)，所以－eq\f(\r(2),12)≤m<0；当k<0时，9k＋eq\f(8,k)≤－12eq\r(2)，所以0<m≤eq\f(\r(2),12).综上所述，点E的横坐标的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),12)，0))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),12))).4.如图，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|＝eq\f(\r(5),2)|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(16,17)，\f(2,17)))在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.解：(1)由已知|AB|＝eq\f(\r(5),2)|BF|，得eq\r(a2＋b2)＝