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空间角—二面角高级实验中学数学组复习根底知识：1、定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

2、范围：［0,π］3、二面角的平面角的性质：

〔1〕

二面角的平面角有无数多个，但它们都相等。

〔2〕二面角的棱垂直二面角的平面角所在平面。

〔3〕二面角的平面角所在平面垂直二面角的两个半平面。

4、二面角的求法：

〔1〕定义法：由定义，在棱上取一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。〔2〕三垂线定理〔或其逆定理〕：在二面角的一个面内取一点P作另一个面的垂线PA，在由垂足A作二面角的棱的垂线AO，AO与棱交于点O，那么∠POA即为二面角的平面角或其补角。〔3〕垂面法：过空间一点作棱的垂面，垂面与二面角的两个面的交线所成的角是二面角的平面角。例题：在四棱锥P—ABCD中，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD。设PA=AB=a，BC=2a，求二面角B—PC—D的大小解法一：过D作DE⊥PC于点E，过E作EF⊥PC交BC于点F，连结FD，那么∠DEF为二面角B—PC—D的平面角。∵PA⊥面ABCD，∴AD为PD在平面AC内的射影。又∵CD⊥AD，∴CD⊥PD。在Rt△PCD中，PD=a，PC=a,∴DE=a，EC=a。在Rt△PBC中，FE=a，FC=∴DF=a。∴COS∠DEF==－∴二面角B—PC—D的大小为解法二：过A作AM⊥PB，垂足为M，∵平面PAB⊥平面PBC，∴AM⊥平面PBC过A作AN⊥PD于点N，同理AN⊥平面PCD。∴PC⊥AN，PC⊥AM。∴PC⊥面AMN，设垂足为Q，那么∠MQN即为所求。∵BA⊥平面PAD，

∴MA为平面PAD的斜线。又∵平面PAB⊥平面PAD，∴MA在平面PAD内的射影在交线PA上。∴∠MAP为斜线AM与平面PAD所成的角∵cos∠MAN=cos∠MAP·cos∠PAN∴cos∠MAN=×=∴∠MQN=π－∠MAN=∴二面角B—PC—D的大小为解法三：过B作BF⊥AC，垂足为F，过F作FN⊥PC于点N，连结BN，∵平面PAC⊥平面ABCD，∴BF⊥平面PAC。∴NF为BN在平面PAC内的射影。∵FN⊥PC，∴BN⊥PC∴∠BNF为二面角B—PC—A的平面角。

过D作DE⊥AC于点E，过E作EM⊥PC于点M，连结DM。同理可证∠DME为二面角D—PC—A的平面角∴二面角B—PC—D的大小为∠BNF+∠DME。∵sin∠BNF=,cos∠BNF=

sin∠DME=,cos∠DME=∴cos(∠BNF+∠DME〕=－∴所求二面角的大小为练习1：一个山坡的倾角与水平面成30o角，坡面上有一直道，它和坡脚的水平线成60o，沿这条山路行走20米，升高了

米PBA练习2、二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为，4。到棱的距离为

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