第五章-定积分

第五章定积分一、教学目的1．理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质．2．掌握定积分的换元积分法和分部积分法．3．了解无穷区间上广义积分的概念.4.掌握定积分的应用.二、教学重点1.定积分的定义和性质2.定积分的计算方法3.定积分的应用三、教学难点1.定积分的概念2.换元积分法四、课时安排约10学时5.1定积分的概念与性质◆5.1.1◆5.1.2定积分的概念◆5.1.3定积分的几何意义◆5.1.4定积分的基本性质◆5.1.5内容小结5.1.1面积问题：求一条或几条曲线围成的不规则图形的面积问题，可以转化为求曲边梯形的面积问题．所谓曲边梯形是指由连续曲线y=（≥0)，直线和（）以及轴围成的平面图形．求曲边梯形面积方法的具体步骤如下：（1）分割：任取分点将区间[]分成n个小区间：，其长度为，这样就将曲边梯形分成n个小曲边梯形．（2）近似：在小区间上任取一点，用以为底、为高的小矩形近似代替相应的小曲边梯形，其面积为，即≈（3）求和：把n个小矩形面积相加就得到曲边梯形面积的近似值，（4）取极限：记，如果当分点无限增加，同时每个小区间的长度都趋于零时，即当时，上述和式极限存在，并且该极限与区间分法和的取法无关，那么我们有理由认为，这个极限值就是曲边梯形的面积，即．路程问题：设质点以变速作直线运动，其中≥O，是时间t的连续函数，求在时间间隔[T0，T]上质点所经过的路程．我们采用与计算曲边梯形面积相同的思路（1）分割：任取分点，将区间分成n个小时间间隔：，其长度为．（2）近似：由于时间间隔很小，在这些小区间上可以将质点近似地看成作匀速运动，其常速为，其中为任取时刻，以作为质点在时间间隔上的路程的近似值，即≈（3）求和：把每一个时间间隔内物体所经过的路程的近似值相加，得到在时间间隔[T0，T]的路程的近似值（4）取极限：记，如果当分点无限增加，同时每个小时间间隔的长度都趋于零时，即当时，上述和式极限存在，我们就有理由认为，这个极限值就是质点做变速直线运动在时间间隔[T0，T]上的路程．即5.1.2定积分的概念定义5.1设函数在区间[]上有定义，任取分点将[]分成个小区间，其长度为，在每小区间上任取一点，作和式记，如果对区间[]任意分法，小区间上的点任意取法，只要当时，上述和式极限存在，则将此极限值叫做函数在区间[]上的定积分．记作，即其中符号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，分别称为积分下限和积分上限，区间[]称为积分区间．当在区间[]上的定积分存在时，称在区间[]上可积．关于定积分定义的几点说明：（1）定积分作为积分和式的极限是一个常数；定积分的值只与被积函数及积分区间[]有关，而与积分变量的字母无关．即有（2）定积分的定义是在积分限情况下给出的，对的情况，补充如下规定：当时，；当时，（3）定积分的存在性：当在[]上连续或只有有限个第一类间断点时，必定存在．5.1.3定积分的几何意义由定积分定义，不难得到它的几何意义如下：若在区间[]上≥0，则定积分在几何上表示由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形的面积，即若在区间[]上≤O，此时由曲线，直线及轴所围成的曲边梯形位于轴的下方，则定积分在几何上表示上述曲边梯形的面积的相反数，即若在[]上既有正值，又有负值，则定积分在几何上表示介于曲线，直线及轴之间各部分曲边梯形面积的代数和，位于轴上方部分面积取正号，位于轴下方部分面积取负号(如图5．1．6)．即．例1利用定积分定义计算定积分．解因为被积函数在积分区间[]上连续，根据定积分的存在性可知在区间[]可积．因而定积分的值与区间[]的分法及点的取法无关．为了计算方便，把区间[]分成等份，且取为每一个小区间的右端点．这样每一个小区间的长为，，于是，得和式．所以，．5.1.4定积分的基本性质性质1被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即性质2两个函数代数和与差的定积分等于它们定积分的代数和，即此性质可推广到有限多个函数代数和的情况，即性质3如果，那么有性质4(保序性)在[]上，若≤，则≤性质5(估值定理)如果函数在[]上可积，对任意∈[]恒有，则≤≤性质6(积分中值定理)如果函数在区间[]上连续，则至少存在一点∈[]，使得例2比较下列各对积分值的大小．（1）；（2）．解（1）根据幂函数的性质，在[O，1]上有，所以（2）根据指数函数的性质在[O，1]上有所以．例3估计定积分的值．解先求在[一l，1]上的最大、小值．因，令，得驻点．再比较驻点及区间端点的函数值，故最小值最大值．由估值定理得．5.1.5内容小结1.一个重要的数学方法2.定积分的概念3.定积分的几何意义4.定积分的基本性质5.2定积分的计算◆5.2.1微积分基本定理◆5.2.2微积分的换元积分法◆5.2.3微积分的分步积分法◆5.2.4内容小结5.2.1微积分基本定理1．变上限积分定理1设函数在区间[a，b]上连续，当时，则以为积分上限的积分的导数等于被积函数在积分上限处的值．即例1试求在处的导数值．解因为，所以例2求导数．解 2.微积分基本定理定理2设函数在[a，b]上连续，是在[a，b]上的一个原函数，那么例3求下列定积分．（1）； （2）．解（1）（2）例4求．解由定积分的可加性，得5.2.2定积分的换元积分法定理3设函数在区间上连续，令．如果（1）在区间上有连续的导数；（2）当在变化时，的值从单调地变到，则有定积分的换元公式：例5计算．解令，则，．当时，；当时，，所以例6计算．解令，则．当时；时，所以 =例7设在上连续，证明：（1）当为偶函数时，（2）当为奇函数时，证因为令，则．当时，；时，所以所以 当为偶数时，有=，所以当为奇数时，有=，所以例8计算．解5.定理4设在上具有连续导数，则有定积分的分部积分公式：例8计算．解 例9计算．解 例10计算．解 5.2.4内容小结1.微积分基本定理2.微积分的换元积分法3.微积分的分步积分法5.3无限区间上的广义积分定义1设函数在区间上连续，取，如果存在，则称此极限为在上的广义积分．记作此时也称广义积分存在或收敛．如果上述极限不存在，则称广义积分发散．类似地，可以定义函数在及上的广义积分：（） 广义积分收敛的充要条件是与都收敛．上述广义积分统称为无穷区间上的广义积分．例1计算．解 有时也可以这样形式地计算例2计算．解例3证明当时收敛；时发散．证当时，当时所以当时广义积分收敛；当时广义积分发散．例如：，因为，所以发散．，由于，所以收敛． 5.4定积分的应用◆5.4.1用定积分求平面图形的面积◆5.4.2定积分在经济上的应用◆5.4.3内容小结5.4.1用定积分求平面图形的面积由定积分的几何意义可以知道，当时，定积分表示曲边梯形的面积；如果，则定积分的负值表示曲边梯形的面积．下面介绍更为一般的情况．（1）由，及所围成的平面图形（如图5.4.1）的面积为（2）由，，及所围成的平面图形（如图5.4.2）的面积为例1求由曲线与直线，及x轴所围成的平面图形的面积．解（1）画出图形（如图5.（2）选择积分变量．（3）将所求面积表示为定积分 例2求由所围成的平面图形的面积．解如图5.4.4，取积分变量 例3求由曲线与直线所围成的面积．解解方程组求交点（如图5.得，，取积分变量为y，，所求面积为由上面的例题可总结出求平面图形面积的步骤：（1）画出图形，求出所给曲线的所有交点，确定所围成的平面图形；（2）考察图形是否具有对称性，利用对称性简化运算；（3）选择适当的积分变量，定出积分上、下限；（4）写出所求面积的定积分．例4求椭圆()所围成的平面图形的面积．解因为椭圆关于轴、轴、原点对称，所以椭圆的面积，等于它在第一象限部分的面积4倍（如图5.4. 一般地，当曲边梯形的曲边由参数方程给出时，则曲边梯形的面积为其中分别是曲边方程对应的起点、终点的参数值．5.在经济学中经常会遇到已知变化率或边际函数，求总量函数或总量函数在某个范围内的总量等问题，这些都要通过定积分进行计算．例1设某产品的生产是连续的，总产量是时间的函数．如果总产量的变化率为（单位/小时）求从到这两小时的总产量．解因为总产量是是其变化率的原函数，所以从到这两小时的总产量为例2已知生产某产品的边际成本和边际收入分别为（万元/百台）（万元/百台）其中和分别是总成本函数和总收入函数．（1）若固定成本万元，求总成本函数、总收入函数和总利润函数；（2）产量为多少时，总利润最大？最大利润为多少？解（1）总成本等于固定成本和可