第13-课时-相似三角形水平测试评析

第13课时相似三角形水平测试局部试题分析1.掌握比例及其性质、平行线分线段成比例定理.3.能利用四边形、三角形相似的判定及性质进行简单的计算和证明.2.记住相似三角形的五种判定方法和根本相似图形.学习难点：三角形相似判定、性质的运用学习重点：三角形相似的判定及性质学习目标相似单元检测题存在失误分析1.相似三角形与全等三角形类似即具有传递性2.相似三角形的判定定理与性质的熟练运用问题.3.当探究一个特殊值取何值时两个三角形相似，这就需要分类讨论.特别是它们有一个公共角时，通常用夹这个角的两边比相等来完成.注意不要出现漏解现象.4.有关三角形内线段比的计算方法问题.5.运算能力的提升问题.6.标准解答试题的问题.12.如图,△ABC中,AB=6,AC=4,点P为AC的中点,过P点的直线交AB于点Q,假设以A,P,Q为顶点的三角形和以A,B,C为顶点的三角形相似,那么AQ的长为_______.BACP●解析：在线段AB上取一点Q,那么线段PQ与边AB的关系没有明确，因此，需分类讨论.BACP●QBACP●Q①假设△AQP∽△ABC时,如上图所示②假设△AQP∽△ACB时,如上图所示19.△ABC,延长BC到D,使CD=BC.取AB的中点F,连接FD交AC于点E.(2)假设AB=a,FB=EC，求AC的长.ABCDEF解析：(1)此题是三角形内线段比的问题.欲求线段AE与AC的比.而点E,F,C是线段成比例的分界点.如果知道其中任意两条线段被分点分成的比,就可以求出其它任一线段被分点所分成的比.此题解决的方法是：利用平行线(作辅助线).即过三角形边上的点作欲求分比线段的平行线,构成两对相似三角形.ABCDEFGABCDEFGH20.一天晚上,李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度.如下图,当李明走到点A时,张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走,到点B处时,李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB,并测得AB=1.25m.李明直立时身高为1.75m,求路灯的高度CD.(结果精确到0.1m)ABCDMEN∟∟∟解析：由题意知△CDE是等腰直角三角形,因此CD=CE.设CD=CE=x.那么AC=CE-AE=x-1.75易证△ABN∽△ACD.一、比例根本性质的运用1.假设2a=3b=4c,且abc≠0,那么的值是【】解析：此题是求代数式的值，可将a、b、c三个数中，用其中一个字母的代数式表示另外两个字母，然后代入化简即可.∵2a=3b=4cB跟踪练习1.如图，在△ABC中，P是AB边上的动点〔P异于A,B〕，过点P的一条直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图，∠A=36°，AB=AC,当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有______条3二、确定三角形相似时考虑问题应全面，不漏解P∟ABC2.如图,△ABC中,AB=AC=BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N,使△AMN与△ABC相似，求MN的长.1.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B,C的一点，过点P作直线截△ABC使截得的三角形与△ABC相似，满足这样的直线共有【】3跟踪练习PABC●∟CBAM●解析：在线段AC上取一点N,那么线段MN与边BC的关系没有明确，因此，需分类讨论.1.如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线与三角形的另一边交于点N.假设截得的三角形与原三角形相似，求MN的长.(1)当点N在AC边时，有以下两种情况：BACM●BACM●①N解析：此题只说过点M作直线MN与三角形的另一边交于点N,并没有指明直线MN怎样作，即与三角形的哪一边相交于点N,因此，需分类讨论.①假设△AMN∽△ABC时解得，MN=4.1.如图,在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线与三角形的另一边交于点N.假设截得的三角形与原三角形相似，求MN的长.BACM●BACM●②N②假设△AMN∽△ACB时解得，MN=6.1.如图，在△ABC中,AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线与三角形的另一边交于点N.假设截得的三角形与原三角形相似，求MN的长.(2)当点N在BC边时，有以下两种情况：BACM●①假设△BMN∽△BAC时解得，MN=4.BACM●③N∵AB=9，AM=3,∴BM=AB-AM=9-3=61.如图，在△ABC中,AB=9,AC=6,BC=12,点M在AB边上,且AM=3,过点M作直线与三角形的另一边交于点N.假设截得的三角形与原三角形相似，求MN的长.归纳：解决三角形相似的问题时，有些题目只要求两个三角形相似，而没有明确要求对应关系，这时需要分类讨论BACM●BACM●④N②假设△BMN∽△BCA时∵AB=9，AM=3,∴BM=AB-AM=9-3=6解得，MN=3.综上所述：MN的长为6或3或4.2.在△ABC中,AB=6,AC=9D在边AB所在的直线上,且AD=2,过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E,求CE的长.解析：因点D在边AB所在的直线上，点D的位置没有确定，因此应分类讨论.①假设点D在线段AB上，如上图所示解得AE=3.∵AC=9，AE=3∴CE=AC-AE=9-3=6BACD●EBACD●∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC2.在△ABC中,AB=6,AC=9D在边AB所在的直线上,且AD=2,过点D作DE∥BC交边AC所在直线于点E,求CE的长.②假设点D在线段AB上，如上图所示解得AE=3.∵AC=9，AE=3∴CE=AC+AE=9+3=12BACBACD●E∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC综上所述：CE的长为6或12.1.如图，在△ABC中，EF∥BC,AD∥BC,连接CE并延长，交AD于D,假设AD=BC.三、运用相似三角形性质、判定进行有关的计算或证明〔1〕求EF:BC的值；CBADEF解析：∵AD∥BC

∴△ADE∽△BCE又∵EF∥BC

即EF:BC=1:3.〔2〕求S△AEF:S△BCE的值.1.如图，在△ABC中，EF∥BC,AD∥BC,连接CE并延长，交AD于D,假设AD=BC.CBADEF解析：∵EF∥BC

∴△AME∽△ENB∴∠1=∠B〔1过点A作AM⊥EF于点M,过点E作EN⊥BC于点NNM那么∠AME=∠ENB=90°2.如图,点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3〔图中阴影局部〕的面积分别是1,4,9.那么△ABC的面积是【】设DN=a,GH=b,NE=c解析：由条件可判定△FDN∽△MNE∽△NGH.∴b=3a,c=2aBACDEGFMHN△1△2△3∴S△ABC=36再由△FDN∽△ABC.得∴b=3a,c=2aBACDEGFMHN△1△2△3∴BC=BG+GH+HC=a+3a+2a=6a解后归纳：利用相似三角形的性质，面积的比等于相似比的平方.设好一个三角形边长的参数，用这个参数表示另外两个三角形的边长,最后再用面积比等于相似比的平方解决问题.3.如图，在△ABC中,E、F分别是AB、AC的中点，BC=6,CE=5，动点P在射线EF上，BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于点Q,当EP+BP=18时，那么CQ的长为_____.延长BQ交EF的延长线于点M.∵E、F分别是AB、AC的中点，∴

EF∥BC解析：条件有平行线和角平分线，通常可构成等腰三角形.BACEFPQD（（12BACEFPQD（（12M）∴△MEQ∽△BCQ3.如图，在△ABC中,E、F分别是AB、AC的中点,BC=6,CE=5，动点P在射线EF上，BP交CE于D,∠CBP的平分线交CE于点Q,当EP+BP=18时，那么CQ的长为_____.设CQ=x,那么EQ=CE-CQ=5-x.∵∠1=∠2，∠2=∠M∴∠1=∠MBACEFPQD（（12BACEFPQD（（12M）∴PB=PM,∴EP+BP=EP+PM=EM=184.如图，四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径，AC与BD相交于点E，AC=BC,DE=3，AD=5，那么⊙O的半径为____.

●ABDCOE解析：∵AC=BC,∴△ABC是等边三角形.连接CO并延长交AB于点F,那么CF⊥ABF∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°,即AD⊥AB∴

OF∥AD∴△ADE∽△COE设OC=x,那么OD=OC=x,∴OE=OD-DE=x-35.如图，在△ABC中，∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE.〔2〕当∠BAC=90°时，求证：EC⊥BC.BCADE解析：∵∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABC5.如图，在△ABC中，∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE.〔2〕当∠BAC=90°时，求证：EC⊥BC.∴△ABD∽△ACEABDCE∟又∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC∴∠BAD=∠CAE∴∠B=∠ACE又∠BAC=90°∴∠B+∠ACB=90°∴∠ACE+∠ACB=90°即∠BCE=90°∴EC⊥BC.6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点〔不与B,C重合〕，EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F,G.（2）当∠BAC=90°时，求证：EC⊥BC.F解析：∵∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABCBCADEGF6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点〔不与B,C重合〕，EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F,G.〔2〕FD与DG是否垂直？假设垂直，请给出证明；假设不垂直，请说明理由；F解析：∵∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABCBCADEGF6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点〔不与B,C重合〕，EF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F,G.〔3〕当AB=AC时,△FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由.F解析：∵∠ADE=∠B,∠BAC=∠DAE∴△ADE∽△ABCABCGFDE7.如图，AD是△ABC的中线，将BC边所在的直线绕点D顺时针旋转α角,交边AB于点M,交射线AC于点N,设AM=xAB,AN=yAC(x,y≠0).(1)如图①当△ABC为等边三角形且α=30°时求证：△AMN∽△DMA；∵∠BAC=∠B=60°∴△AMN∽△DMAAB