随机变量的相互独立性

定义3.9设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分布函数为F(x1，x2，…，xn)，FXi(xi)为Xi的边缘分布函数，如果对任意n个实数x1，x2，…，xn，有

那么称X1，X2，…，Xn相互独立．3.4随机变量的相互独立性第3章多维随机变量及其分布3.4随机变量的相互独立性易知，在离散型随机变量的情形，如果对于任意n个取值x1，x2，…，xn，有

那么X1，X2，…，Xn相互独立．在连续型随机变量的情形，如果下式几乎处处成立那么X1，X2，…，Xn相互独立．这里“几乎处处成立〞是指除去测度为零的点集外处处成立．特别地，二维的情形2)假设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为3.4随机变量的相互独立性在平面上几乎处处成立。在平面上几乎处处成立:允许在平面上存在面积为零的集合，在其上等式不成立.3.4随机变量的相互独立性3.4随机变量的相互独立性【例3-16】设随机变量X和Y的联合分布律为

假设X与Y相互独立，求参数a，b，c的值．解：首先写出两个边缘边缘分布律

Y

Xy1y2y3x1a1/9cx21/9b1/3Y

Xy1y2y3pi.x1a1/9ca+c+1/9x21/9b1/3b+4/9p.ja+1/9b+1/9c+1/3a+b+c+5/9=13.4随机变量的相互独立性利用X与Y相互独立的条件，

Y

Xy1y2y3pi.x1a1/9ca+c+1/9x21/9b1/3b+4/9p.ja+1/9b+1/9c+1/3a+b+c+5/9=13.4随机变量的相互独立性【例3.17】随机变量X与Y相互独立且都服从参数为1/2的0-1分布，定义随机变量求Z的分布律，(X，Z)的分布律，并问X与Z是否独立？解：由X与Y的分布律

及独立性得到下表：X01与Y01pi0.50.5pj0.50.5(1，1)(1，0)(0，0)(0，1)(X，Z)1001Z(1，1)(1，0)(0，1)(0，0)(X，Y)0.250.250.250.25pij10.5pi.0.50.250.2510.50.250.250p.j10X

Z(X，Z)的分布律及边缘分布律为：由于P{X=i，Z=j}=0.25=0.50.5=P{X=i}P{Z=j}〔i，j=0，1〕，所以X与Z独立．0.53.4随机变量的相互独立性3.4随机变量的相互独立性【例3.18】某电子仪器由两部件构成，以X和Y分别表示两部件的寿命〔单位：千小时〕，X和Y的联合分布函数为，问X与Y是否独立？解法一：由边缘分布函数的定义知显然，对任意实数，均有，故X与Y独立．3.4随机变量的相互独立性解法二：由分布函数与概率密度的关系知因而对任意的,均有，故X与Y独立．【补充例】种保险丝的寿命(以一百小时计)X服从指数分布,其概率密度为有两只这种保险丝，其寿命分别为设相互独立，求的联合概率密度.(2)在(1)中，一只是原装的，另一只是备用的，备用的只在原装的熔断时自动投入工作，于是两只保险丝的总寿命为，求3.4随机变量的相互独立性因两只保险丝的寿命相互独立，故的联合概率密度为Ｘ１概率密度为Ｘ２概率密度为解(1)

3.4随机变量的相互独立性(2)3.4随机变量的相互独立性【例3.19】设服从二维正态分布，那么X与Y相互独立的充要条件是ρ=0.证：二维正态分布的概率密度为由例3.11知，的乘积为因此，假设ρ=0，那么对所有x,y有即X与Y独立．3.4随机变量的相互独立性反之，假设X与Y独立，由于f(x,y)，fX(x)，fY