第七章第1节课件

2024/1/6第七章第1节1.数列的概念(1)数列的定义：按照_______________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为___________的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.(3)数列有三种表示法，它们分别是___________、图象法和______________.知

识

梳

理一定顺序项定义域列表法通项公式法2.数列的分类

分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数______无穷数列项数______按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1_______an其中n∈N*递减数列an＋1_______an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限＞＜3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与_________之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.(2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.序号nS1Sn－Sn－1[常用结论与微点提醒]1.一些常见数列的通项公式(1)数列1，2，3，4，…的通项公式为an＝n；(2)数列2，4，6，8，…的通项公式为an＝2n；(3)数列1，2，4，8，…的通项公式为an＝2n－1；(4)数列1，4，9，16，…的通项公式为an＝n2；2.已知递推关系求通项一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(

) (2)一个数列中的数是不可以重复的.(

) (3)所有数列的第n项都能使用公式表达.(

) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.(

)解析(1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列.(2)数列中的数是可以重复的.(3)不是所有的数列都有通项公式.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√2.设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(

)

A.15

B.16 C.49

D.64

解析当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.

答案A3.已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是(

)答案C4.已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________.

解析因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1＞an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1).(*)

因为n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.

答案

(－3，＋∞)5.(2018·台州月考)在数列{xn}中，x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)，则数列{xn}的第2项是________，所有项和T＝________.解析∵x1＝10，xn＝log2(xn－1－2)，∴x2＝log2(x1－2)＝log28＝3，x3＝log2(x2－2)＝log21＝0.数列{xn}所有项的和为10＋3＋0＝13.答案

3

136.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.解析a1＝1，a2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，a3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)，a4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)，∴an＝1＋5×(n－1)＝5n－4.答案5n－4考点一由数列的前几项求数列的通项【例1】

根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：规律方法根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相邻项的联系特征；(3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征.应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想.考点二由Sn与an的关系求an(易错警示)【例2】(1)(2017·温州市十校联考)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________. (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.解析(1)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列，an＝－2n－1.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.显然当n＝1时，不满足上式.【训练2】(1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式.考点三由数列的递推关系求通项公式【例3】(1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________. (2)(2018·衢州质检)在数列{an}中，a1＝1，(n2＋2n)(an＋1－an)＝1(n∈N*)，则通项公式an＝________.解析

(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴n≥2时，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，将