2023-2024学年初中第二学期9年级数学人教版下册第28章《单元测试》04

人教九年级下单元测试第28章班级________姓名________一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB的值为()A.B.C.D.2.若α为锐角，且cosα＝，则()A.0°<α<30°B.30°<α<45°C.45°<α<60°D.60°<α<90°3.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论不正确的是()A.sinB＝B.sinB＝C.sinB＝D.sinB＝4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则cosB的值为()A.B.C.D.5.如图，△ABC与△A'B'C'都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A'B'＝A'C'＝3.若∠B＋∠B'＝90°，则△ABC与△A'B'C'的面积比为()A.25∶9B.5∶3C.∶D.5∶36.如图，在Rt△ABD中，延长斜边BD到点C，使DC＝BD，连接AC.若tanB＝，则tan∠CAD的值为()A.B.C.D.7.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD⊥BC于点D，下列四个选项中，错误的是()A.sinα＝cosαB.tanC＝2C.sinβ＝cosβD.tanα＝18.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为()A.a·(cosα－cosβ)B.C.a·cosα－D.a·cosα－asinα·a·tanβ9.如图，传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1∶2，物体从地面沿着该斜坡前进了10米，那么物体离地面的高度为()A.5米B.5米C.2米D.4米10.如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋BD的最小值是()A.2B.4C.5D.10二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.如图，某山坡的坡度为i＝1∶，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了米.

12.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为.(结果保留根号)

13.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向.为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行

小时即可到达.(结果保留根号)

14.一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ；sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°·cos30°＋cos60°·sin30°＝×＋×＝1.则类似地，可以求得(1)sin15°的值是；(2)sin75°的值是.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15.计算：－cos30°＋sin45°.16.如图，已知AB是☉O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC＝6，AC＝8，求sin∠ABD的值.四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.如图，在△ABC中，∠A＝30°，cosB＝，AC＝6.求AB的长.18.如图，山顶有一座塔AB，塔高33m.计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF.从与E点相距80m的C处测得A，B的仰角分别为27°，22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°，求隧道EF的长度.(参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1∶的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE.求旗杆AB的高度.(结果保留根号，参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈)20.如图，某海监船以60海里/小时的速度从A处出发沿正西方向巡逻，一艘可疑船只在A的西北方向的C处，海监船航行1.5小时到达B处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B的北偏西30°方向的C处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/小时的速度追击，在D处海监船追到可疑船只，D在B的北偏西60°方向.(结果保留根号)(1)求B，C两处之间的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间.六、(本题满分12分)21.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E.(1)如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；(2)连接PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cosA的值.七、(本题满分12分)22.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α).(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A，∠B的大小.八、(本题满分14分)23.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB＝2，P是AC上的一个动点.(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；(2)当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；(3)当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时▱DPBQ的面积.参考答案1.D2.D3.C4.A5.A6.D7.C8.C9.C10.B11.10012.1213.14.(1)(2)15.解：原式＝－×＋×＝－＋1＝0.16.解：由条件可知∠ABD＝∠ABC，∵AB为☉O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝10，∴sin∠ABD＝sin∠ABC＝＝.17.解：过点C作CD⊥AB于点D.∵∠A＝30°，∴CD＝AC＝3，AD＝AC·cosA＝9.在Rt△BCD中，设BD＝4x，∴BC＝5x.由勾股定理得CD＝3x.由题意得3x＝3，解得x＝，∴BD＝4，∴AB＝AD＋BD＝9＋4.18.解：延长AB交CD于点H，∴AH⊥CD.在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH.在Rt△AHC中，AH＝CH·tan∠ACH≈0.51CH.在Rt△BHC中，BH＝CH·tan∠BCH≈0.4CH，由题意得0.51CH－0.4CH＝33，解得CH＝300，∴EH＝CH－CE＝220，BH＝120，∴AH＝AB＋BH＝153，∴DH＝AH＝153，∴HF＝DH－DF＝103，∴EF＝EH＋FH＝323.答：隧道EF的长度约为323m.19.解：延长ED交BC的延长线于点F，∴∠CFD＝90°.∵tan∠DCF＝i＝＝，∴∠DCF＝30°.∵CD＝4，∴DF＝2，CF＝CD·cos∠DCF＝2，∴BF＝BC＋CF＝2＋2＝4.过点E作EG⊥AB于点G，∴GE＝BF＝43，GB＝EF＝ED＋DF＝3.5.又∵∠AEG＝37°，∴AG＝GE·tan∠AEG＝43·tan37°，∴AB＝AG＋BG＝4·tan37°＋3.5≈3＋3.5，答：旗杆AB的高度约为(33＋3.5)米.20.解：(1)过点C作CE⊥AB于点E，则∠CEA＝90°，∠CBE＝60°.由题意得AB＝60×1.5＝90，∠CAB＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形.∴CE＝AE，CE＝3BE，BC＝2BE.设BE＝x，则CE＝x，AE＝BE＋AB＝x＋90，∴x＝x＋90，解得x＝45＋45，∴BC＝2x＝90＋90.答：B，C两处之间的距离为(90＋90)海里.(2)过点D作DF⊥AB，交AB的延长线于点F，∴DF＝CE＝x＝135＋45，∠DBF＝90°－60°＝30°，∴BD＝2DF＝270＋90，∴海监船追到可疑船只所用的时间为＝(3＋)小时.答：海监船追到可疑船只所用的时间为(3＋)小时.21.解：(1)∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4.∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2.∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝BP＝.(2)如图，过点B作BF∥CA，交CD的延长线于点F，∴＝＝.∵BD＝DA，∴FD＝DC，BF＝AC.∵CE＝2，ED＝3，∴CD＝5，∴EF＝8，∴＝＝＝，∴＝，∴＝.设CP＝k，∴PA＝3k.∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴PA＝PB＝3k，∴BC＝2k，∴AB＝2k.∵AC＝4k，∴cosA＝.22.解：(1)由题意得sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝，cos120°＝－cos(180°－120°)＝－cos60°＝－，sin150°＝sin(180°－150°)＝sin30°＝.(2)∵三角形的三个内角的比是1∶1∶4，∴三个内角分别为30°，30°，120°.①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为，－，将x＝代入方程，得4×()2－m×－1＝0，解得m＝0，经检验，－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意；②当∠A＝120°，∠B＝30°时，方程的两根为，，不符合题意；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，方程的两根为，，将x＝代入方程，得4×()2－m×－1＝0，解得m＝0，经检验，不是方程4x2－1＝0的根，不符合题意.综上可知m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°.23.解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3.(1)如图1，作DF⊥AC.∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝.∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝，∴DP＝＝.(2)当点P位置如图2所示时，根据(1)中结论，DF＝，∠ADF＝45°.又∵PD＝BC＝，∴cos∠PDF＝＝，∴∠PDF＝30°，∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°.当点P位置如图3