专题03 轴对称图形（难点）（解析版）

专题03轴对称图形（难点）一、单选题1．（2020·河南师大附中实验学校八年级阶段练习）下列图案是轴对称图形的是有（

）A．①② B．①③ C．①④ D．②③【答案】C【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解析】解：①是轴对称图形，②不是轴对称图形，③不是轴对称图形，④是轴对称图形．故选：C．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2022·江苏·八年级单元测试）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质分别对每一项进行分析即可．【解析】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和高重合，故本选项错误，②等腰三角形两腰上的高相等，正确；③等腰三角形的最小边不一定是底边，故本选项错误；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等，正确；⑤等腰三角形不一定是锐角三角形，故本选项错误；其中正确的有2个，故选：B．【点睛】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，直线AB、CD相交于点O，P为这两条直线外一点，连接OP．点P关于直线AB、CD的对称点分别是点P1、P2．若OP＝4，则点P1、P2之间的距离可能是（）A．0 B．7 C．9 D．10【答案】B【分析】由对称得，，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．【解析】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：∵点P关于直线AB，CD的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝4，OP＝OP2＝4，∵OP1+OP2＞P1P2，∴0＜P1P2＜8，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称的性质和三角形三边的关系的应用，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形三边的关系．4．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，是四个基本作图的痕迹，下列关于①、②、③、④四条弧的说法正确的是（

）A．弧①是以O为圆心，长为半径所画的弧B．弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧C．弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧D．弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧【答案】D【分析】根据基本作图的方法即可得到结论．【解析】解：A、弧①是以O为圆心，适当长为半径所画的弧，故本选项错误，不符合题意；B、弧②是以P为圆心，不是以任意长为半径所画的弧，故本选项错误，不符合题意；C、弧③是以A为圆心，大于长为半径所画的弧，故本选项错误，不符合题意；D、弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，故本选项正确，符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．5．（2022·江苏·八年级单元测试）在△ABC中，AB=AC，若过△ABC的一个顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（

）A．90°或108°或36°或 B．90°或108°或36°C．90°或54°或36°或 D．90°或54°或36°【答案】A【分析】分别以点A、点B、点C为顶点做直线将△ABC分成两个等腰三角形，由于AB=AC，故以点B和以点C为顶点作的等腰三角形结果是一样的，所以讨论点A、点B为顶点的情况，根据等腰三角形的性质找出角的关系，由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．【解析】如图1，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，设，，，，，，，在中，，，解得：，；如图2，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，，设，，，，，，，，，在中，，，解得：，；如图3，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，设，，，，，，，，在中，，，解得：，；如图4，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，，设，，，，，，，，，在中，，，解得：，，综上，可为90°或108°或36°或．故选：A．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理，画出符合条件的图形，根据等腰三角形的判定以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．6．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中是一个格点三角形，在这个的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解；【解析】解：与△ABC成轴对称的格点三角形最多有6个．故答案为：D．【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．7．（2021·江苏常州·八年级期中）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内，若求五边形DECHF的周长，则只需知道（

）A．△ABC的周长 B．△AFH的周长C．△BDE或△FGH的周长 D．四边形ADEC的周长【答案】A【分析】由等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．【解析】解：∵△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2021·江苏南通·八年级期中）如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【解析】解：连接AD，MA．∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8cm，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴MA＝MC，∴MC+DM＝MA+DM≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝10（cm）．故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键．9．（2020·江苏·昭阳湖初中八年级期中）如图，在中，点D是BC边上一点，已知，，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】过点E作于M，于N，于H，如图，先计算出，则AE平分，根据角平分线的性质得，再由CE平分得到，则，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分，再根据三角形外角性质解答即可．【解析】解：过点E作于M，于N，于H，如图，∵，，∴，∴平分，∴，∵平分，∴，∴，∴平分，∴，∵由三角形外角可得：，，∴，而，∴．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分．10．（2020·江苏·无锡市甘露学校（待删除）八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DEAB，DFAC，E、F为垂足，则下列五个结论：①∠DEF=∠DFE；②AE=AF；③AD垂直平分EF；④EF垂直平分AD；⑤△ABD与△ACD的面积相等．其中，正确的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，然后证明△ADE与△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，再根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上可以证明AD垂直平分EF，根据等底等高的三角形的面积相等可得△ABD与△ACD的面积相等不正确．【解析】解：平分，，，、为垂足，，，故①正确；在与中，，，，故②正确；，，垂直平分，故③正确；与，与不一定相等，不一定垂直平分，故④错误，根据图形，，平分时，，与等高不等底，面积不相等，故⑤错误．综上所述，①②③共3个正确．故选：．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的面积，是小综合题，但难度不大，仔细分析图形是解题的关键．11．（2022·江苏·八年级课时练习）在如图所示的纸片中，，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根据平行线的性质，可得出∠AED=∠EDC，根据等边对等角即可求得∠EAD的度数，最后=∠EAD-∠CAD即可求出．【解析】∵D是斜边AB的中点，△ABC为直角三角形，∴CD=BD=AD，∵△CDE由△CDB沿CD折叠得到，∴△CDE≌△CDB，则CD=BD=AD=ED，∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=，∴∠EDC=180°-2，∵，∴∠AED=∠EDC=180°-2，∵ED=AD，∴∠EAD=∠AED=180°-2，∵∠B=，△ABC为直角三角形，∴∠CAD=90°-，∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-，故选：B．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键．12．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【分析】根据SAS先证，可得①正确；再根据AAS证，得②正确；由全等三角形的对应边相等得AD=BE，AM=BN，从而可得DM=EN，所以③正确；再由全等三角形的对应角相等及对顶角相等得∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD，得证∠BOM=∠ACB=60°，∠AOE=120°,④正确；连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，由全等三角形的对应高相等得CH=CF，从而由角平分线的判定证得平分，得⑤正确．【解析】解：∵△ABC与△DCE是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，∴(SAS)∴AD=BE，故①正确；∵，∴∠DAC=∠EBC，又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，∴，故②正确；∵，∴AM=BN，∴AD-AM=BE-BN即DM=EN故③正确；∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD∴∠BOM=∠ACB=60°∴∠AOE=120°故④正确；如图，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，∵，∴CH=CF，∴平分，故⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．二、填空题13．（2022·江苏·八年级专题练习）在“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，是轴对称图形的有______个．【答案】3【分析】根据轴对称图形的概念分析判断即可得出结果．【解析】解：线段、角、圆都是轴对称图形，三角形不一定是轴对称图形，故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是轴对称图形的概念，正确的掌握轴对称图形的概念是解题的关键．14．（2019·江苏盐城·八年级期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形底角是_________．【答案】或【分析】分高线在等腰三角形内部和外部两种情况求解．【解析】当高线在三角形内部时，根据题意，∠ABD=20°，则∠BAD=70°，故底角为；当高线在三角形外部时，根据题意，∠ACD=20°，则∠CAD=70°，故底角为；故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和分类思想，熟练掌握分类的标准是解题的关键．15．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，△ABC的边CB关于CA的对称线段是CB'，边CA关于CB的对称线段是CA'，连结BB'，若点A'落在BB'所在的直线上，∠ABB'＝56°，则∠ACB＝___度．【答案】28°【分析】根据对称性可判断出BB'⊥AC，先求出∠BAC＝34°，再根据对称的性质判断△A'CB≌△ACB，最后根据∠ACA'＝2∠ACB即可求解．【解析】解：连接BA'，AC与BB'交点为O，∵CB关于CA的对称线段是CB'，∴BB'⊥AC，∵∠ABB'＝56°，∴∠BAC＝34°，∵边CA关于CB的对称线段是CA'，∴△A'CB≌△ACB，∴∠BA'C＝∠BAC＝34°，∴∠ACA'＝2∠ACB＝56°，∴∠ACB＝28°，故答案为28°．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质及全等三角形的判定及性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为，．若，，则的周长是______．【答案】15【分析】根据对称的性质可知，OP1=OP=OP2=3，再根据P1P2=7即可求出△P1OP2的周长．【解析】∵P关于l1、l2的对称点分别为P1、P2，∴OP1=OP=OP2=4，∵P1P2=7，∴△P1OP2的周长=OP1+OP2+P1P2=4+4+7=15．故答案为15【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．17．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）△ABC中，BC=14，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于D、E，连接AD、AE，且DE=6，则AD+AE=________．【答案】8或20##20或8【分析】根据题意，分两种情况，当与无重合，当与有重合解答即可得到结论．【解析】解：的垂直平分线与的垂直平分线分别交于点，，，，分两种情况：当与无重合时，如图所示：，，，当与有重合时，如图所示：，，，综上所述：的值为：8或20，故答案为：8或20．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．18．（2021·江苏·无锡市第一女子中学八年级阶段练习）如图，在中，，，，，是的平分线，若点、分别是和上的动点，则的最小值是______．【答案】【分析】由题意可以把Q反射到AB的Q点，如此PC+PQ的最小值问题即变为C与线段AB上某一点O的最短距离问题，最后根据“垂线段最短”的原理得解．【解析】解：如图，作Q关于AP的对称点O，则PQ=PO，所以O、P、C三点共线时，CO=PC+PO=PC+PQ，此时PC+PQ有可能取得最小值，∵当CO垂直于AB即CO移到CM位置时，CO的长度最小，∴PC+PQ的最小值即为CM的长度，∵，∴CM=，即PC+PQ的最小值为，故答案为．【点睛】本题考查线段和最小的问题，通过轴反射把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键．19．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，是等边三角形，点在上，，，．是延长线上一点，．连接交于点，则的值为______．【答案】【分析】由可证明，设，；由可证明，可得，即可求解【解析】解：∵∴设则∴∵是等边三角形，∴∵AB//EG∴∴∵∴在和中∴∴∴在和中∴∴∴∴故答案为：【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质等知识，证明是解题的关键20．（2018·江苏无锡·八年级期中）如图,△ABC中，∠A=90°，AB=AC=，点P为BC上一动点，以PA为腰作等腰直角△APQ,则AQ+BQ的最小值为__________.【答案】【分析】先证明，然后以直线CQ作对称轴，找到点A的对称点，连接,即为AQ+BQ最小值.【解析】△APQ为等腰直角三角形，AP=AQ,∠PAQ=90°在△ABP和△ACQ中:

∴△ABP≌△ACQ（SAS）以CQ所在直线为对称轴作A点的对称点,连接,与CQ所在直线所交的点即为题目所求最小值的点作△ABC为等腰直角三角形点A到直线CQ的距离为1点到直线CQ的距离为1延长BC，作【点睛】本题考查的知识点是最值为题，解题关键是找到以CQ所在直线为对称轴作A点的对称点.21．（2020·江苏·东绛实验学校八年级阶段练习）如图，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：①BP＝CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度数不变，始终等于60°；④当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．正确的有__．【答案】②③④【分析】根据等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形中所对的直角边是斜边的一半等性质定理判定选项的正确性．【解析】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，根据题意得：AP＝BQ，在△ABQ和△CAP中，，∴△ABQ≌△CAP（SAS），②正确；∴∠AQB＝∠CPA，∵∠BAQ+∠APC+∠AMP＝180°，∠BAQ+∠B+∠AQB＝180°，∴∠AMP＝∠B＝60°，∴∠QMC＝60°，③正确；∵∠QMC＝60°，∠QCM≠60°，∴∠CQM≠60°，∴CQ≠CM，∵BP＝CQ，∴CM≠BP，①错误；当t＝时，BQ＝，BP＝，∵，且∴∴△PBQ为直角三角形，同理t＝时，△PBQ为直角三角形仍然成立，④正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查几何综合问题，涉及全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和含有角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．22．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在等腰中，，于点，以为边作等边三角形，与在直线的异侧，直线交直线于点，连接交于点．若，，则______．【答案】6【分析】根据等腰三角形的性质得出∠1＝∠2，由直线AD垂直平分BC，求出FB＝FC，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠4，然后求出AB＝AE，根据等腰三角形的性质得出∠3＝∠5，等量代换求出即可得到；在FC上截取FN，使FN＝FE，连接EN，根据等边三角形的判定得出△EFN是等边三角形，求出∠FEN＝60°，EN＝EF，再求出∠5＝∠6，根据SAS推出△EFA≌△ENC，根据全等得出FA＝NC，从而得到，据此求解即可．【解析】解：如图1，∵，∴，∵，∴直线垂直平分，∴，∴，

∴，即，∴在等边三角形中，，∴，∴，∴，∵，∴，∵在等边三角形中，，∴；在上截取，使，连接，∵，，∴是等边三角形，∴，，∵为等边三角形，∴，，∴，∴，即，在和中，，∴，

∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．三、解答题23．（2022·江苏·八年级课时练习）已知，如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P．(1)求证：△ABE≌△CAD；(2)求∠BPQ的度数；(3)若BQ⊥AD于Q，PQ＝6，PE＝2，求AD的长．【答案】(1)证明见详解；(2)60°；(3)14．【分析】（1）根据等边三角形的性质，通过全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质，即可求得∠BPQ=60°；（3）利用（2）的结果求得∠PBQ=30°，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到2PQ=BP=12，则易求BE=BP+PE=14，进而得出AD的长．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，在△ABE和△CAD中，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，即∠BPQ=∠BAC=60°；（3）∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=12，∴BE=BP+PE=12+2=14，∵△ABE≌△CAD，∴BE=AD=14．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，等边三角形各内角为60°的性质，本题中求证△ABE≌△CAD是解题的关键．24．（2021·江苏扬州·八年级期末）图1、图2、图3都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点.在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图1中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且、为格点；（2）在图2中，画一条不与重合的线段，使与关于某条直线对称，且、为格点；（3）在图3中，画一个，使与关于某条直线对称，且、、为格点，符合条件的三角形共有______个．【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；（3）图见解析，4．【分析】（1）先画出一条3×3的正方形网格的对称轴，根据对称性即可在图1中，描出点A、B的对称点M、N，它们一定在格点上，再连接MN即可；（2）同（1）方法即可求解；（3）同（1）方法可解；【解析】解：（1）如图①，3×3的正方形网格的对称轴l，描出点A、B关于直线l的对称点M、N，连接MN即为所求；（2）如图②，同理（1）可得，PQ即为所求；（3）如下图所示，同理（1）可得，ΔDEF即为所求，符合条件的三角形共有4个．【点睛】本题考查了作图−−轴对称变换，解决本题的关键是找到图形对称轴的位置．25．（2021·江苏·无锡市东林中学八年级期中）如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，点M，N分别是BC，DE的中点．（1）求证：MN⊥DE；（2）若∠ECB＋∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的长．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MD＝ME＝0.5BC，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可；（2）先推出∠DBM＝∠BDM，∠MEC＝∠MCE，从而得∠EMD＝90°，进而即可求解．【解析】（1）连接EM、DM，∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BDC＝∠BEC＝90°∵在Rt△DBC中和Rt△EBC中，M是BC的中点∴DM＝BC，EM＝BC

∴DM＝EM∵N是DE的中点

∴MN⊥ED；（2）∵DM＝BC＝BM∴∠DBM＝∠BDM同理∠MEC＝∠MCE∵∠ECB＋∠DBC＝45°∴∠EMB＋∠DMC＝2（∠ECB＋∠DBC）＝90°∴∠EMD＝90°∵N是DE的中点，DE＝10∴MN＝DE＝5．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）求出∠DME＝90°．26．（2019·江苏扬州·八年级阶段练习）（1）如图1，在△ABC中，∠A＜90°，P是BC边上的一点，P1，P2是点P关于AB、AC的对称点，连结P1P2，分别交AB、AC于点D、E．（1）若∠A＝52°，求∠DPE的度数；（2）如图2，在△ABC中，若∠BAC＝90°，用三角板作出点P关于AB、AC的对称点P1、P2，（不写作法，保留作图痕迹），试判断点P1，P2与点A是否在同一直线上，并说明理由．【答案】（1）∠DPE＝76°；（2）详见解析.【分析】（1）利用轴对称的性质证明：∠DPP1+∠EPP2=∠A，根据∠DPE=180°-（∠PDE+∠DEF）计算即可；（2）点P1，P2与点A在同一条直线上．证明∠PAP1+∠PAP2=180°即可．【解析】解：（1）∵P1，P2是点P关于AB、AC的对称点，∴PD=P1D，PE=P2E，∴∠EDP=2∠DPP1，∠DEP=2∠EPP2，∵∠DPP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°

①，2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180°

②②-①得：∠DPP1+∠EPP2=∠A，∵∠A=52°，∴∠DPP1+∠EPP2=52°，∴∠DPE=180°-（∠PDE+∠DEF）=180°-2（∠DPP1+∠EPP2）=180°-104°=76°．（2）点P1，P2与点A在同一条直线上．理由如下：连接AP，AP1，AP2．根据轴对称的性质，可得∠4＝∠1，∠3＝∠2，∵∠BAC＝90°，即∠1+∠2＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，即∠P1AP2＝180°，∴点P1，P2与点A在同一条直线上．【点睛】本题考查轴对称变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．27．（2022·江苏·八年级单元测试）已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．(1)如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；(2)如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）结合题干的∠BAC＝∠EDF＝60°，推导出两个三角形为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质即可求解；（2）由第（1）小问的解题思路和∠BAC＝∠EDF、ED=DF这两个条件想到：在FA上截取FM＝AE，求证△AED≌△MFD，再由全等的性质可得DA＝DM＝AB＝AC，即可证△ABC≌△DAM，最后由全等的性质得AM＝BC即可求解．（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF∴∵BC=AC、CE=CD∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，∵AB＝AE+BE∴AF＝AE+AD；（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，∵AE=MF，ED=DF

∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，∵AC=DM∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．即AF＝AE+BC．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定、全等三角形的性质、等边三角形和等腰三角形的性质等知识点，属于中难档的几何综合题．其中解题的关键是结合题干信息正确的作出辅助线．28．（2022·江苏南京·八年级期中）定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．如图，四边形ABCD中，已知，，所以该四边形是筝形．(1)结合图形，下列结论正确的有______（填序号）．①；

②AC、BD互相平分；③AC平分和；

④；⑤；

⑥筝形ABCD的面积为(2)选择（1）中的一个正确结论进行证明．【答案】(1)①③⑤⑥(2)见解析【分析】（1）结合图形，选出结论即可；（2）运用线段垂直平分线的判定与性质进行证明即可．（1）结合图形，可知①③⑤⑥正确，故答案为：①③⑤⑥（2）设AC、BD交点为O，如图，选①：∵，，∴点A、C在BD的垂直平分线上．∴AC是BD的垂直平分线．∴．选③：∵，，∴点A、C在BD的垂直平分线上．∴AC是BD的垂直平分线．∴．在中，又∵，∴AC平分．同理AC平分．选⑤：∵，，∴，．∴．∴．选⑥：∵，，∴点A、C在BD的垂直平分线上，∴AC是BD的垂直平分线．∴．【点睛】此题主要垂直平分线的判定与性质，解本题的关键是判断出AC是BD的垂直平分线．29．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．(1)如图1，当，时，______，______．(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．(3)如图3，当时，（2）中AF与BH的数量关系______成立（填“仍然”或“不再”）．请说明理由．【答案】(1)3；3(2)BH＝CF，见解析(3)仍然，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AF＝CF＝BF＝3，再说明BF＝BH，可得答案；（2）连接CF，首先利用ASA证明△ADC≌△BDF，得DF＝DC，则∠DCF＝45°，再证明△CGF≌△BGH，得BH＝CF，从而证明结论；（3）连接CF，先证明CFBH，得到∠H＝∠CFG，再证明△CGF≌△BGH（AAS），从而解决问题．（1）解：如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，∴AF＝CF＝3，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，∵AD⊥BC，∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，∴∠H＝∠BFH＝60°，∴BH＝BF，∴BF＝BH＝CF＝3，故答案为：3，3；（2）AF＝BH，理由如下：连接CF，如图2，∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，∵BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠EAF＝∠DBF，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴DF＝DC，∴∠DCF＝45°，∵BH⊥AB，∴∠ABH＝90°，∴∠HBG＝∠ABH－∠ABD＝45°，∴∠HBG＝∠FCD，∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（ASA），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴AF＝BH；（3）仍然，证明如下：连接CF，如图3，∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．由三角形三条高交于一点，得CF⊥AB．∵BH⊥AB，∴CFBH．∴∠H＝∠CFG，∵点G为BC边的中点，∴CG＝BG，∵∠BGH＝∠CGF，∴△CGF≌△BGH（AAS），∴BH＝CF，∵BA＝BC，BE⊥AC，∴BE是AC的垂直平分线，∴AF＝CF，∴AF＝BH；故答案为：仍然．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、证明△CGF≌△BGH是解题的关键．30．（2021·江苏南通·八年级期中）在等边的两边，所在直线上分别有两点，，点为外一点，且，，．（1）如图1，点，在边，上，，求的长；（2）如图2，点，在边，上，，试猜想，，之间的数量关系，并加以证明；（3）当点，在，的延长线上时，若等边的周长为，的长为，则的周长为______（用含有，的代数式表示）．【答案】（1）4；（2），见解析；（3）【分析】（1）根据等边三角形的性质及等腰三角形的性质可得：，利用全等三角形的判定定理可得：，利用全等三角形的性质得出，，可得出是等边三角形，，利用直角三角形中的性质即可得出答案；（2）延长至点，使，连接，由（1）得，可得，利用全等三角形的性质及各角之间的关系可得：，可得出：，得