高考数学二轮复习 专题检测（五）数学文化试题

专题检测（五）数学文化一、选择题1.我国古代数学著作《九章算术》中有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣()A.104人 B.108人C.112人 D.120人解析：选B由题设可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡可抽取的人数为300×eq\f(8100,8100＋7488＋6912)＝300×eq\f(8100,22500)＝108.故选B.2.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第20项为()A.180 B.200C.128 D.162解析：选B根据前10项可得规律：每两个数增加相同的数，且增加的数构成首项为2，公差为2的等差数列.可得从第11项到20项为60，72，84，98，112，128，144，162，180，200.所以此数列第20项为200.3.(2019·昆明市高三调研测试)法国学者贝特朗于1899年针对几何概型提出了贝特朗悖论，内容如下：如图，在半径为1的圆内随机地取一条弦，则弦长超过圆内接等边三角形的边长eq\r(3)的概率等于多少？基于对术语“随机地取一条弦”含义的不同解释，存在着不同答案.现给出其中一种解释：固定弦的一个端点A，另一端点在圆周上随机选取，其答案为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)解析：选B记等边三角形为△ABC，弦的另一个端点为P.如图，弦AP的长超过AB的长，则点P落在劣弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上，所以所求概率为eq\f(1,3).故选B.4.欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式可知，e2i表示的复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：选B依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cosx，sinx)，故e2i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos2，sin2)，显然该点位于第二象限，选B.5.如图所示是2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标图案，该图案的设计基础是赵爽弦图，以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了勾股定理.如图是用4个全等的直角三角形以斜边为边长拼成的一个正方形.假设直角三角形的直角边长分别为3，5，在正方形ABCD中随机取一点，则此点取自四边形EFGH内的概率是()A.eq\f(2,17) B.eq\f(1,8)C.eq\f(2,9) D.eq\f(4,25)解析：选A因为直角三角形的直角边长分别为3，5，所以正方形ABCD的面积为32＋52＝34，易知四边形EFGH的面积为(5－3)2＝4.故此点取自四边形EFGH内的概率P＝eq\f(4,34)＝eq\f(2,17).故选A.6.我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是()A.五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸解析：选B设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{an}，公差为d，a1＝15，a13＝135，则15＋12d＝135，解得d＝10.所以a2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸.故选B.7.《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈eq\f(1,36)L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈eq\f(7,264)L2h，相当于将圆锥体积公式中的π近似取为()A.eq\f(22,7) B.eq\f(25,8)C.eq\f(157,50) D.eq\f(355,113)解析：选A依题意，设圆锥的底面半径为r，则V＝eq\f(1,3)πr2h≈eq\f(7,264)L2h＝eq\f(7,264)(2πr)2h，化简得π≈eq\f(22,7).故选A.8.五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指.中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水(减去5即得)……如图，这是一个把k进制数a(共有n位)化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1203，4，则输出的b＝()A.178 B.386C.890 D.14303解析：选A执行该程序框图，可得当输入k＝5，a＝1203，n＝4时，该程序框图的功能是计算并输出b＝3×50＋0×51＋2×52＋1×53＝178.故选A.9.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为________年()A.丙酉 B.戊申C.己申 D.己酉解析：选D天干以10循环，地支以12循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，80÷10＝8，则2029年的天干为己；80÷12＝6……8，则2029年的地支为酉.10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.其中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝eq\f(1,2)(弦×矢＋矢×矢).弧田是由圆弧(弧田弧)和以圆弧的端点为端点的线段(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差.现有一弧田，其弧田弦AB等于6米，其弧田弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为eq\f(7,2)平方米，则cos∠AOB＝()A.eq\f(1,25) B.eq\f(3,25)C.eq\f(1,5) D.eq\f(7,25)解析：选D如图，依题意AB＝6，设CD＝x(x＞0)，则eq\f(1,2)(6x＋x2)＝eq\f(7,2)，解得x＝1.设OA＝y，则(y－1)2＋9＝y2，解得y＝5.由余弦定理得cos∠AOB＝eq\f(25＋25－36,2×5×5)＝eq\f(7,25)，故选D.11.为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕的运算规则为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.例如原信息为111A.11010 B.01100C.10111 D.00011解析：选C对于选项C，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中的运算规则知h0＝0⊕1＝1，h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.12.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.定义：图像能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))可以是某个圆的“太极函数”；③正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图像是中心对称图形.其中正确的命题为()A.①③ B.①③④C.②③ D.①④解析：选A过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f(x)＝ln(x2＋eq\r(x2＋1))的图像如图所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y＝sinx图像的对称中心上，则正弦函数y＝sinx是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y＝sinx可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；函数y＝f(x)的图像是中心对称图形，则y＝f(x)是“太极函数”，但函数y＝f(x)是“太极函数”时，图像不一定是中心对称图形，如图，故④错误.故选A.二、填空题13.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称.从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________.(容器壁的厚度忽略不计)解析：表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1，2，6的长方体的外接球.设其半径为R，(2R)2＝62＋22＋12，解得R2＝eq\f(41,4)，所以该球形容器的表面积的最小值为4πR2＝41π.答案：41π14.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中“勾股”章讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的三条边分别称为“勾”“股”“弦”.设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，若线段PF2，PF1分别是Rt△F1PF2的“勾”“股”，则点P的横坐标为________.解析：由题意知半焦距c＝eq\r(3)，又PF1⊥PF2，故点P在圆x2＋y2＝3上，设P(x，y)，联立，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3，,\f(x2,4)＋y2＝1，))得Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(6),3)，\f(\r(3),3))).故点P的横坐标为eq\f(2\r(6),3).答案：eq\f(2\r(6),3)15.公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图方法，发现了黄金分割，其比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若m2＋n＝4，则eq\f(m\r(n),2cos227°－1)＝________.解析：由题设n＝4－m2＝4－4sin218°＝4(1－sin218°)＝4cos218°，eq\f(m\r(n),2cos227°－1)＝eq\f(2sin18°\r(4cos218°),2cos227°－1)＝eq\f(2·（2sin18°cos18°）,cos54°)＝eq\f(2sin36°,sin36°)＝2.答案：216.(2019·合肥市第一次质检)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为________.解析：由题意可知每次挖去等边三角形的eq\f(