2023-2024学年高中数学人教A版2019选择性课后习题第三章3-2-1　双曲线及其标准方程

3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程A级必备知识基础练1.(多选题)如果方程x2m+2-y2m+1=1A.4 B.2 C.1 D.72.(多选题)双曲线x225-y29=1A.17 B.7 C.22 D.23.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是()A.双曲线,焦点在x轴上B.双曲线,焦点在y轴上C.椭圆,焦点在x轴上D.椭圆,焦点在y轴上4.如图,已知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,A.2a+2m B.4a+2m C.a+m D.2a+4m5.与圆x2+y2=1及圆x2+y28x+12=0都外切的圆P的圆心在()A.一个椭圆上 B.一个圆上C.一条抛物线上 D.双曲线的一支上6.经过点P(3,27)和Q(62,7),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程为.

7.已知点F1,F2分别是双曲线x29-y216=1的左、右焦点,若点P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.则△F18.若k是实数,试讨论方程kx2+2y28=0表示何种曲线.B级关键能力提升练9.已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2y2=1(a>0)过点15,63,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,则|PF2|=(A.3 B.6 C.9 D.1210.已知定点F1(2,0),F2(2,0),N是圆O:x2+y2=1上任意一点,点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P,则点P的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆11.已知双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,△F1PF2的内切圆圆心为M,若S△FA.27 B.6 C.8 D.1012.(多选题)已知方程x24-t+y2t-A.当1<t<4时,曲线C为椭圆B.当t>4或t<1时,曲线C为双曲线C.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则1<t<5D.若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则t>413.(多选题)已知点P在双曲线C:x216-y29=1上,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为A.点P到x轴的距离为20B.|PF1|+|PF2|=50C.△PF1F2为钝角三角形D.∠F1PF2=π14.设P是双曲线x29-y216=1上一点,M,N分别是两圆(x5)2+y2=4和(x+5)2+y2=1上的点,则15.一动圆过定点A(4,0),且与定圆B:(x4)2+y2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为.

16.已知双曲线x24-y29=1,F1,F2(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积.(2)若∠F1MF2=120°,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=60°,△F1MF2的面积又是多少?C级学科素养创新练17.某地发生里氏8.0级地震,为了援救灾民,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,要把这批药品沿道路PA,PB送到矩形灾民区ABCD中去,若PA=100km,PB=150km,BC=60km,∠APB=60°,试在灾民区中确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线?并求出其方程.3.2.1双曲线及其标准方程1.AD要使方程表示双曲线,需(m+2)(m+1)>0,解得m<2或m>1.由选项知AD符合.2.CD设双曲线x225-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=5,b=3,c=34,设P为双曲线上一点,不妨令|PF1|=∴点P可能在左支,也可能在右支,由||PF1||PF2||=2a=10,得|12|PF2||=10,∴|PF2|=22或2.∴点P到另一个焦点的距离是22或2.3.B原方程可化为x2ba+y2=1,所以ba<0,所以方程表示的曲线是双曲线,且焦点在y轴上4.B由双曲线的定义,知|AF1||AF2|=2a,|BF1||BF2|=2a.又|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2|AB|=4a+2m.5.D由x2+y28x+12=0,得(x4)2+y2=4,画出圆x2+y2=1与(x4)2+y2=4的图象如图,设圆P的半径为r,∵圆P与圆O和圆M都外切,∴|PM|=r+2,|PO|=r+1,则|PM||PO|=1<4,∴点P在以O,M为焦点的双曲线的左支上.6.y225-x275=1设双曲线方程为Ax2By2解得A=175,B=1故双曲线的标准方程为y225-7.16因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2||PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|22|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100.在△F1PF2中,由余弦定理,得cos∠F1PF2=|PF所以∠F1PF2=90°,所以S△F1PF2=12|PF1|·8.解当k<0时,曲线方程化为y24-x2-当k=0时,曲线方程化为2y28=0,表示两条垂直于y轴的直线;当0<k<2时,曲线方程化为x28k+y2当k=2时,曲线方程化为x2+y2=4,表示一个圆;当k>2时,曲线方程化为y24+x289.C由左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2y2=1(a>0)过点15,63,可得15解得a=3,b=1,c=10,a+c>3,点P在双曲线C上,若|PF1|=3,可得P在双曲线的左支上,则|PF2|=2a+|PF1|=6+3=9.故选C.10.B如图所示,连接ON,由题意可得ON=1,且N为MF1的中点,∴MF2=2.∵点F1关于点N的对称点为M,线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P.由垂直平分线的性质可得PM=PF1.∴|PF2PF1|=|PF2PM|=MF2=2<F1F2.由双曲线的定义可得点P的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线.11.D由双曲线x216-y29=可得c=a2+b设△F1PF2的内切圆的半径为r,由S△F1PM=S△F2PM+8,即12r(|PF1||PF2|)=8易得|PF1||PF2|>0,由双曲线的定义可得|PF1||PF2|=2a=8,则有4r=8,解得r=2,则S△F1MF2=12.BCDA错误,当t=52时,曲线C为圆;B正确,若C为双曲线,则(4t)(t1)<0,∴t<1或t>4;C正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4t>t1>0,∴1<t<52;D正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则4-t13.BC因为双曲线C:x216-y29=1,所以c=16+9=5.又因为S△PF1F2=12·2c|yP|=12将|yP|=4代入C:x216-y29=1得x216由对称性,不妨取P的坐标为203,4,可知|PF2由双曲线定义可知|PF1|=|PF2|+2a=133+8=373,所以|PF1|+|PF2|=133+37对于点P,在△PF1F2中,|PF1|=373>2c=10>|PF2|=133,则k则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,选项C正确;由余弦定理得cos∠F1PF2=|P∴∠F1PF2≠π3所以选项D错误.14.9如图所示,设双曲线x29-y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,则点F1(5,0)为圆(x+5)2+y2=1的圆心,点F2(5,0)为圆(x5)2当|PM||PN|取最大值时,点P在该双曲线的左支上,由双曲线的定义可得|PF2||PF1|=6.由圆的几何性质得|PM|≤|PF2|+2,|PN|≥|PF1|1,所以|PM||PN|≤|PF2||PF1|+3=6+3=9.15.x24-y212=1(x≤2)设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4,即∴点P的轨迹是以A(4,0),B(4,0)为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支.又2c=8,∴c=4.∴b2=c2a2=12.∴动圆圆心的轨迹方程为x24-y21216.解设|MF1|=r1,|MF2|=r2(不妨设r1>r2),θ=∠F1MF2,因为S△F1MF2=12r1所以只需求r1r2即可.(1)当θ=90°时,S△F1MF2=12r1r2sin由双曲线方程知a=2,b=3,c=13,由双曲线的定义,得r1r2=2a=4,两边平方,得r12+r222r又r12+r22=|F1F2|2,即|F1F2也即5216=4S△F1MF2(2)若∠F1MF2=120°,则在△F1MF2中,|F1F2|2=r12+r222r1r2cos120°=(r1r2)2+3r1r2=52,所以求得S△F1MF2=12r1r同理,可求得当∠F1MF2=60°时,S△F1M17.解矩形灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA和PB送药一样