等差数列经典试题(含答案)-

一、等差数列选择题1．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（）尺A． B． C． D．2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（）A．161 B．155 C．141 D．1393．已知等差数列的前n项和为Sn，若S2=8，，则a1等于（）A．1 B．2 C．3 D．44．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）A．3斤 B．6斤 C．9斤 D．12斤5．已知数列是等差数列，其前项和为，若，则（）A．16 B．-16C．4 D．-46．已知数列的前n项和，则（）A．350 B．351 C．674 D．6757．已知数列的前项和满足，则数列的前10项的和为（）A． B． C． D．8．设，，数列的前项和，，则存在数列和使得（）A．，其中和都为等比数列B．，其中为等差数列，为等比数列C．，其中和都为等比数列D．，其中为等差数列，为等比数列9．题目文件丢失！10．已知数列的前项和为，，且，满足，数列的前项和为，则下列说法中错误的是（）A． B．C．数列的最大项为 D．11．在函数的图像上有点列，若数列是等比数列，数列是等差数列，则函数的解析式可能是（）A． B． C． D．12．设等差数列、的前项和分别是、.若，则的值为（）A． B． C．1 D．213．设等差数列的前项和为，且，则（）A．15 B．20 C．25 D．3014．已知等差数列的公差为正数，为常数，则（）A． B． C． D．15．在等差数列{an}中，已知a5=3，a9=6，则a13=（）A．9 B．12 C．15 D．1816．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列，已知，，且满足（），则该医院30天入院治疗流感的共有（）人A．225 B．255 C．365 D．46517．已知数列满足且，则时，使得不等式恒成立的实数a的最大值是（）A．19 B．20 C．21 D．2218．已知等差数列的前项和为，且，则（）A．51 B．57 C．54 D．7219．设等差数列的前项和为，若，则（）A．60 B．120 C．160 D．24020．设是等差数列（）的前项和，且，则（）A． B． C． D．二、多选题21．已知数列是等差数列，前n项和为且下列结论中正确的是（）A．最小 B． C． D．22．等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（）A． B． C．当或时，取得最大值 D．23．题目文件丢失！24．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A．4 B．5 C．7 D．825．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，记Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是（）A．a8＝34 B．S8＝54 C．S2020＝a2022－1 D．a1＋a3＋a5＋…＋a2021＝a202226．已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A． B．C． D．27．记为等差数列的前n项和.已知，则（）A． B． C． D．28．已知数列为等差数列，则下列说法正确的是（）A．（d为常数） B．数列是等差数列C．数列是等差数列 D．是与的等差中项29．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（）A． B．C．当且仅当时，取最大值 D．当时，n的最小值为2230．等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是（）A． B．当或10时，取最大值C． D．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题1．D【分析】设该妇子织布每天增加尺，由等差数列的前项和公式即可求出结果【详解】设该妇子织布每天增加尺，由题意知，解得．故该女子织布每天增加尺．故选：D2．B【分析】画出图形分析即可列出式子求解.【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：，解得.故选：B.3．C【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出．【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，解得故选：C4．C【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求.【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，，根据等差数列的性质可知，中间三尺为.故选：C【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.5．A【详解】由.故选A.6．A【分析】先利用公式求出数列的通项公式，再利用通项公式求出的值.【详解】当时，；当时，.不适合上式，.因此，；故选：A.【点睛】易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足.7．C【分析】首先根据得到，设，再利用裂项求和即可得到答案.【详解】当时，，当时，.检验，所以.设，前项和为，则.故选：C8．D【分析】由题设求出数列的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.【详解】解：，当时，有；当时，有，又当时，也适合上式，，令，，则数列为等差数列，为等比数列，故，其中数列为等差数列，为等比数列；故C错，D正确；因为，，所以即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错.故选：D.【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.9．无10．D【分析】当且时，由代入可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列的通项公式，由可判断A选项的正误；利用的表达式可判断BC选项的正误；求出，可判断D选项的正误.【详解】当且时，由，由可得，整理得（且）.则为以2为首项，以2为公差的等差数列，.A中，当时，，A选项正确；B中，为等差数列，显然有，B选项正确；C中，记，，，故为递减数列，，C选项正确；D中，，，.，D选项错误.故选：D．【点睛】关键点点睛：利用与的关系求通项，一般利用来求解，在变形过程中要注意是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用将递推关系转化为有关的递推数列来求解.11．D【分析】把点列代入函数解析式，根据{xn}是等比数列，可知为常数进而可求得的结果为一个与n无关的常数，可判断出{yn}是等差数列．【详解】对于A，函数上的点列{xn，yn}，有yn＝，由于{xn}是等比数列，所以为常数，因此＝这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；对于B，函数上的点列{xn，yn}，有yn＝，由于{xn}是等比数列，所以为常数，因此＝这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；对于C，函数上的点列{xn，yn}，有yn＝，由于{xn}是等比数列，所以为常数，因此＝＝，这是一个与n有关的数，故{yn}不是等差数列；对于D，函数上的点列{xn，yn}，有yn＝，由于{xn}是等比数列，所以为常数，因此＝为常数，故{yn}是等差数列；故选：D．【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.12．C【分析】令，，求出，，进而求出，，则可得．【详解】令，，可得当时，，，当，，符合，故，，故.【点睛】由求时，，注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式求解．13．B【分析】设出数列的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到，然后代入求和公式即可求解【详解】设等差数列的公差为，则由已知可得，所以故选：B14．A【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案．【详解】，,令，则，解得令，则，即，若，则，与已知矛盾，故解得等差数列，，即，解得则公差，所以.故选：A15．A【分析】在等差数列{an}中，利用等差中项由求解.【详解】在等差数列{an}中，a5=3，a9=6，所以，所以，故选：A16．B【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和【详解】解：当为奇数时，，当为偶数时，，所以，是以2为首项，2为公差的等差数列，所以，故选：B17．B【分析】由等差数列的性质可得数列为等差数列，再由等差数列的通项公式可得，进而可得，再结合基本不等式即可得解.【详解】因为，所以，所以数列为等差数列，设其公差为，由可得，所以，解得，所以，所以，所以不等式即对任意的恒成立，又，当且仅当时，等号成立，所以即实数a的最大值是.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.18．B【分析】根据等差数列的性质求出，再由求和公式得出答案.【详解】，即故选：B19．B【分析】利用等差数列的性质，由，得到，然后由求解.【详解】因为，所以由等差数列的性质得，解得，所以．故选：B20．C【分析】由题建立关系求出公差，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，，，，.故选：C二、多选题21．BCD【分析】由是等差数列及，求出与的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.【详解】设等差数列数列的公差为.由有，即所以,则选项D正确.选项A.,无法判断其是否有最小值，故A错误.选项B.,故B正确.选项C.,所以，故C正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件得到，即，然后由等差数列的性质和前项和公式判断,属于中档题.22．ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A正确；∵，，故有，故B正确；该数列的前项和，它的最值，还跟的值有关，故C错误；由于，，故，故D正确，故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.23．无24．BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差为，设一共放层，则总得根数为：整理得，因为，所以为200的因数，且为偶数，验证可知满足题意.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.25．BCD【分析】由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案.【详解】对于A，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，可得，则即，，故C正确；对于D，由可得，，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，，能根据数列性质利用累加法求解.26．AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC27．AD【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，解方程组得：，所以，.故选：AD.28．ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A正确；B.因为数列是等差数列，所以，那么，所以数列是等差数列，故B正确；C.，不是常数，所以数列不是等差数列，故C不正确；D.根据等差数列的性质可知，所以是与的等差中项，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.29．AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由二次函数的配方法，结合n