专题02 反比例函数应用（五大类型）（题型专练）（解析版）

专题02反比例函数应用（五大类型）【题型1行程与工程应用】【题型2物理学中的应用】【题型3经济学的应用】【题型4生活中其他的应用】【题型5反比例函数的综合】【题型1行程与工程应用】1．（2022•潍坊二模）列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到（）km/h．A．180 B．240 C．280 D．300【答案】B【解答】解：设列车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t＝，把v＝200时，t＝3代入得：3＝，∴k＝600，∴列车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为t＝，当t＝2.5h时，即2.5＝，∴v＝240，故选：B．2．（2022秋•浑南区期末）某工程队计划修建铁路，给出了铺轨的天数y（d）与每日铺轨量x（km/d）之间的关系表：y（d）120150200240300x（km/d）108654根据表格信息，判断出y是x的函数，则这个函数表达式是y＝．【答案】y＝．【解答】解：根据表中数据可知，xy＝1200，∴y是x的反比例函数，即y＝，故答案为：y＝．3．（2023春•肇源县期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x（米）是反比例函数关系，图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该工程队有4台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完成此项任务？【答案】（1）．（2）该工程队需要用10天才能完成此项任务．【解答】解：（1）设，∵点（24，50）在其图象上，∴50＝，∴k＝1200，∴所求函数关系式为．（2）由题意知，4台挖掘机每天能够开挖水渠30×4＝120（米），当x＝120时，答：该工程队需要用10天才能完成此项任务．【题型2物理学中的应用】4．（2021秋•夏津县期末）已知蓄电池的电压为定值．使用电池时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，图象如图所示．如果以此蓄电池为电源的电器的限制电流不能超过3A，那么电器的可变电阻R（Ω）应控制在（）A．R≥1 B．0＜R≤2 C．R≥2 D．0＜R≤1【答案】C【解答】解：设反比例函数关系式为：I＝，把（2，3）代入得：k＝2×3＝6，∴反比例函数关系式为：I＝，当I≤3时，则≤3，∴R≥2，故选：C．5．（2022•娄底模拟）如图，取一根长100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O将其吊起来在中点O的左侧，距离中点25cm处挂一个重9.8N的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．如果把弹簧秤与中点O的距离L（单位：cm）记作x，弹簧秤的示数F（单位：N）记作y，下表中有几对数值满足y与x的函数关系式（）x/cm5103540y/N4924.57.16.125A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C【解答】解：根据杠杆原理可得，F•L＝25×9.8，∵把弹簧秤与中点O的距离L记作x，弹簧秤的示数F记作y，∴xy＝245（0＜x≤50）；∵5×49＝245，10×24.5＝245，35×7.1＝248.5，40×6.125＝245，∴满足y与x的函数关系式有（5，49），（10，24.5），（40，6.125），共3对，故选：C．6．（2022秋•柳州期末）已知近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间成如图所示的反比例函数关系，则眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数解析式为（）A．y＝200x B．y＝ C．y＝100x D．y＝【答案】D【解答】解：根据题意近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，由于点（0.5，200）在此函数解析式上，∴k＝0.5×200＝100，∴y＝，故选：D．7．（2022•山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时，该物体承受的压强p的值为400Pa．【答案】400．【解答】解：设p＝，∵函数图象经过（0.1，1000），∴k＝100，∴p＝，当S＝0.25m2时，物体所受的压强p＝＝400（Pa），故答案为：400．8．（2022•郴州）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I＝，测得数据如下：R（Ω）100200220400I（A）2.21.110.55那么，当电阻R＝55Ω时，电流I＝4A．【答案】4．【解答】解：把R＝220，I＝1代入I＝得：1＝，解得U＝220，∴I＝，把R＝55代入I＝得：I＝＝4，故答案为：4．9．（2023•鼓楼区校级模拟）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：千帕）随气体体积V（单位：立方米）的变化而变化，p随V的变化情况如表所示．P1.522.534…V644838.43224…（1）写出一个符合表格数据的p关于V的函数解析式P＝（2）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，依照（1）中的函数解析式，基于安全考虑，气球的体积至少为多少立方米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由表格中数据可得PV＝96，则P＝；故答案为：P＝；（2）由P＝144时，V＝，∴P≤144时，V≥，当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积至少为立方米．10．（2023•普兰店区模拟）嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）试写出这个函数的表达式；（2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？（3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，∵图象过点（1.6，60）∴k＝96即P＝；（2）当V＝2m3时，P＝48（kPa）；（3）当P＞120KPa时，气球将爆炸，∴P≤120，即≤120，∴V≥0.8．∴气球的体积应大于等于0.8m3．11．（2022秋•府谷县期末）蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当R＝10Ω时，求电流I（A）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设I＝（k≠0），把（4，9）代入得：k＝4×9＝36，∴．（2）当R＝10Ω时，I＝3.6A．12．（2023•宜都市一模）古希腊科学家阿基米德曾说“给我一个支点，我可以撬动地球”．后来人们把阿基米德的发现“若杠杆上的两物体与支点的距离与其质量成反比例则杠杆平衡”归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂＝动力×动力臂（如图）．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和1m．（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为2米时，撬动石头至少需要多大的力？（2）若想使动力F不超过（1）中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？【答案】（1）动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要500N的力；（2）动力臂至少要加长2m．【解答】解：（1）由题意可得：1000×1＝Fl，则，当动力臂为2米时，则撬动石头至少需要：，答：动力F与动力臂l的函数关系为，动力臂为2米时，撬动石头至少需要500N的力；（2）当动力F不超过题（1）中所用力的一半，即F≤250，则，解得：l≥4，即动力臂至少要加长4﹣2＝2（m），答：动力臂至少要加长2m．13．（2022•台州）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（单位：cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：cm）的反比例函数，当x＝6时，y＝2．（1）求y关于x的函数解析式．（2）若火焰的像高为3cm，求小孔到蜡烛的距离．【答案】（1）y＝；（2）4cm．【解答】解：（1）由题意设：y＝，把x＝6，y＝2代入，得k＝6×2＝12，∴y关于x的函数解析式为：y＝；（2）把y＝3代入y＝，得，x＝4，∴小孔到蜡烛的距离为4cm【题型3经济学的应用】14．（2023春•大连月考）某种商品上市之初进行了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．（1）求该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的函数解析式；（2）当上市的天数为多少时，日销售量为80件？​【答案】（1）当0＜x≤20时，y＝10x；当x≥20时，y＝；（2）当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件．【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，200）代入得k1＝10，∴y＝10x；当x≥20时，设y＝，把（20，200）代入得k2＝4000，∴y＝；（2）当y＝80时，80＝10x，解得：x＝8，当y＝80时，80＝，解得：x＝50，故当上市的天数为8天或50天时，日销售量为80件．15．（2023•未央区校级三模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．（1）写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式．（2）当上市的天数为多少时，日销售量为100件？【答案】（1）y＝10x；y＝；（2）10天或40天．【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，200）代入得k1＝10，∴y＝10x；当x≥20时，设y＝，把（20，200）代入得k2＝4000，∴y＝；（2）当y＝100时，100＝10x，解得：x＝10，当y＝100时，100＝，解得：x＝40，故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件．16．（2022秋•阜平县期末）某企业生产一种必需商品，经过长期市场调查后发现：商品的月总产量稳定在600件．商品的月销量Q（件）由基本销售量与浮动销售量两个部分组成，其中基本销售量保持不变，浮动销售量与售价工（元/件）（x≤10）成反比例，且可以得到如下信息：售价x（元/件）58商品的销售量Q（件）580400（1）求Q与x的函数关系式．（2）若生产出的商品正好销完，求售价x．（3）求售价x为多少时，月销售额最大，最大值是多少？【答案】（1）；（2）4.8元/件；（3）当x＝10时，月销售额最大，最大值为3400元．【解答】解：（1）设，依题意得：，解得：，∴；（2）当Q＝600时有：，解得：x＝4.8，∴售价为4.8元．（3）依题意得：月销售额＝，∵100＞0，∴Q随x的增大而增大，则当x＝10时，月销售额最大，最大值为3400元．17．（2023•沂源县一模）在新型冠状肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为每吨2万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息：信息1：设第x次线上销售水果y（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨；信息2：该水果的销售单价p（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次线上销售的浮动价与销售场次x成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次x成反比；信息3：x（次）2824p（万元）2.22.83请根据以上信息，解决下列问题．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若p＝3.2（万元/吨），求x的值；（3）在这30次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y与x之间的函数关系式为：y＝40﹣x；（2）12或20；（3）在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5万元．【解答】解：（1）设第x次线上销售水果y（吨），∵第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售量减少1吨；∴y与x之间的函数关系式为：y＝40﹣x；（2）设第1场～第15场时p与x的函数关系式为p＝ax+b；第16场～第30场时p与x的函数关系式为，依题意得，解这个方程组得，，∴，又当x＝24时，有，解之得，m＝24，∴，当1≤x≤15时，，解之得，x＝12当16≤x≤30时，，解之得，x＝20（3）设每场获得的利润为W（万元），则有当1≤x≤15时，，所以当x＝15时，W最大，最大为37.5万元；当16≤x≤30时，，当x＝16时，W最大，最大为36万元，所以在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5万元【题型4生活中其他的应用】18．（2023•中山区模拟）小明要把一篇文章录入电脑，完成录入的时间y（分）与录入文字的速度x（字/分）之间的函数关系如图．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）小明在19：20开始录入，要求完成录入时不超过19：35，小明每分钟至少应录入多少个字？【答案】（1）y与x的函数表达式为y＝；（2）小明每分钟至少录入100个字．【解答】解：（1）设y＝，把（150，10）代入y＝得，10＝，∴k＝1500，∴y与x的函数表达式为y＝；（2）∵当y＝35﹣20＝15时，x＝100，∵k＞0，在第一象限内，y随x的增大而减小，∴小明录入文字的速度至少为100字/分，答：小明每分钟至少录入100个字19．（2023春•姑苏区校级期中）某商场销售一批散装坚果，进价为30元每斤，在销售时售货员发现坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，且价格调整为每斤50元时，当日销量为80斤，那么每日该坚果的销量y（单位：斤）与每斤价格x（单位：元）之间的函数表达式为y＝．【答案】y＝．【解答】解：∵坚果的日销量和每斤的利润正好成反比例关系，∴y与（x﹣30）成反比例关系，设y＝（k＞0），∵x＝50时，y＝80，∴＝80，解得，k＝1600，∴y与x之间的函数表达式为：y＝，故答案为：y＝．20．（2023•乾安县一模）李老师把油箱加满油后驾驶汽车从县城到省城接客人，油箱加满后，汽车行驶的总路程y（单位：km）与平均耗油量x（单位：L/km）之间的关系如图所示．（1）求y与x的函数关系式．（2）当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为多少km？【答案】（1）；（2）当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为437.5km．【解答】解：（1）设y与x的函数表达式为，将点（0.1，700）代入，得k＝0.1×700＝70，∴y与x的函数表达式为．（2）当x＝0.16时，，∴当平均耗油量为0.16L/km时，汽车行驶的总路程为437.5km．21．（2022•普宁市一模）通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（后简称指标）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加，中间一段时间，指标保持平稳状态，随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是反比例函数的一部分．（1）请求出当0≤x＜10和20≤x＜40时，所对应的函数表达式；（2）杨老师想在一节课上进行某项运动的教学需要18分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于48才能达到较好的效果，他的教学设计能实现吗？请说明理由．【答案】（1）y＝2x+40，；（2）杨老师的教学设计能实现，理由见解析．【解答】解：（1）设0﹣10分钟的函数解析式为y＝kx+b，20﹣40分钟的函数解析式为，∴，，∴，k＝1200，∴0﹣10分钟的函数解析式为y＝2x+40，20﹣40分钟的函数解析式为；（2）杨老师的教学设计能实现，理由：将y＝48代入y＝2x+40中，得x＝4，将y＝48代入中，得x＝25，∵25﹣4＝21＞18，∴杨老师的教学设计能实现．22．（2023•驿城区二模）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；（2）解释线段BC的实际意义；（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【答案】（1）y＝，，（2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；（3）10小时．【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝kx+b（k≠0）∵线段AB过点（0，10），（3，15），∴，解得，∴线段AB的解析式为：y＝x+10（0≤x＜6），∵B在线段AB上当x＝6时，y＝20，∴B坐标为（6，20），∴线段BC的解析式为：y＝20（6≤x＜10），设双曲线CD解析式为：，∵C（10，20），∴m＝200，∴双曲线CD的解析式为：，∴y关于x的函数解析式为：y＝，（2）线段BC表示恒温系统设定恒温为20℃；（3）把y＝10代入中，解得：x＝20，∴20﹣10＝10（小时），∴恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．23．（2023•孟津县一模）西安市某校为进一步预防“新型冠状病毒”，对全校所有的教室都进行了“熏药法消毒”处理，已知该药物在燃烧释放过程中，教室内空气中每立方米的含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的函数关系如图所示，其中当x＜6时，y是x的正比例函数，当x≥6时，y是x的反比例函数，根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）求当x≥6时，y与x的函数关系式；（2）药物燃烧释放过程中，若空气中每立方米的含药量不小于1.5mg的时间超过30分钟，即为有效消毒，请问本题中的消毒是否为有效消毒？【答案】（1）y与x的函数关系式为y＝（x≥6）；（2）超过30分钟，故是有效消毒．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝（k≠0），将（15，4）代入，得15＝．∴k＝4×15＝60，∴y与x的函数关系式为y＝（x≥6）；（2）当x＝6时y＝＝10，∴点A的坐标为（6，10）；由A点（6，10）可得OA所在直线表达式为y＝x＝x，将y＝1.5代入y＝x，得x＝1.5，∴x＝0.9，将y＝1.5代入y＝，得＝1.5，∴x＝40，∴40﹣0.9＝39.1（分钟），超过30分钟，故是有效消毒．24．（2022秋•铁锋区期末）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1∴k1＝，设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（k2＞0），∵经过点（8，6），∴6＝，∴k2＝48，∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝x（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y＝（x＞8）；（2）结合实际，令y＝中y≤1.6得x≥30，答：即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室；（3）把y＝3代入y＝x，得：x＝4，把y＝3代入y＝，得：x＝16，∵16﹣4＝12＞10，所以这次消毒是有效的．25．（2022秋•陵城区期末）泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围：（2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）停止加热时，设y＝，由题意得：50＝，解得：k＝900，∴y＝，当y＝100时，解得：x＝9，∴C点坐标为（9，100），∴B点坐标为（8，100），当加热烧水时，设y＝ax+20，由题意得：100＝8a+20，解得：a＝10，∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）；当停止加热，得y与x的函数关系式为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）；（2）把y＝90代入y＝，得x＝10，因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟．26．（2023春•淮安区期末）我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至20℃时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图所示．（1）a＝8，b＝40．（2）直接写出图中y关于x的函数表达式．（3）饮水机有多少时间能使水温保持在50℃及以上？（4）若某天上午7：00饮水机自动接通电源，开机温度正好是20℃，问学生上午第一节下课时（8：40）能喝到50℃以上的水吗？请说明理由．【答案】（1）8；40．（2）y＝．（3）学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16﹣3＝13分钟．（4）学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水．【解答】解：（1）∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从20℃到100℃需要8分钟，设一次函数关系式为：y＝k1x+b，将（0，20），（8，100）代入y＝k1x+b，得k1＝10，b＝20．∴y＝10x+20（0≤x≤8），设反比例函数关系式为：y＝，将（8，100）代入，得k＝800，∴y＝，当y＝20时，代入关系式可得x＝40；故答案为：8；40．（2）由（1）中计算可得，y＝．（3）在y＝10x+20（0≤x≤8）中，令y＝50，解得x＝3；反比例函数y＝中，令y＝50，解得：x＝16，∴学生在每次温度升降过程中能喝到50℃以上水的时间有16﹣3＝13分钟．（4）由题意可知，饮水机工作时40分钟为一个循环，上午七点到上午第一节下课时（8：40）的时间是100分钟，是2个40分钟多20分钟，∴＝40（℃），∴学生上午第一节下课时（8：40）不能喝到超过50℃的水．27．（2023春•东城区校级期末）工厂对某种新型材料进行加工，首先要将其加温，使这种材料保持在一定温度范围内方可加工，如图是在这种材料的加工过程中，该材料的温度y（℃）时间x（min）变化的函数图象，已知该材料，初始温度为15℃，在温度上升阶段，y与x成一次函数关系，在第5分钟温度达到60℃后停止加温，在温度下降阶段，y与x成反比例关系．（1）写出该材料温度上升和下降阶段，y与x的函数关系式：①上升阶段：当0≤x≤5时，y＝9x+15；②下降阶段：当x＞5时，y＝．（2）根据工艺要求，当材料的温度不低于30℃，可以进行产品加工，请问在图中所示的温度变化过程中，可以进行加工多长时间？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①上升阶段：当0≤x＜5时，为一次函数，设一次函数表达式为y＝kx+b，由于一次函数图象过点（0，15），（5，60），所以，解得：，所以y＝9x+15，②下降阶段：当x≥5时，为反比例函数，设函数关系式为：y＝，由于图象过点（5，60），所以m＝300．则y＝；故答案为：9x+15；＝（2）当0≤x＜5时，y＝9x+15＝30，得x＝，因为y随x的增大而增大，所以x＞，当x≥5时，y＝＝30，得x＝10，因为y随x的增大而减小，所以x＜10，10﹣＝，答：可加工min．【题型5反比例函数的综合】28．（2023•赣榆区二模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b的图象与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，Q两点，连接OP，△OAP的面积为．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当y2＞y1时，请你直接写出x的取值范围；（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+QC最小时，求△PQC的面积．【答案】（1）一次函数的解析式为：y1＝﹣x+，反比例函数的解析式为：y2＝；（2）0＜x＜1或x＞4；（3）．【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，∴，解得．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．∵△OAP的面积为，∴•OA•yP＝，∴yP＝，∵点P在一次函数图象上，∴令﹣x+＝．解得x＝4，∴P（4，）．∵点P在反比例函数y2＝的图象上，∴k2＝4×＝2．∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+，反比例函数的解析式为：y2＝．（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，∴K（1，2），由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4；（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接QP′，线段QP′与x轴的交点即为点C，∵P（4，），∴P′（4，﹣），∴PP′＝1，∴直线QP′的解析式为：y＝﹣x+，令y＝0，解得x＝，∴C（，0），∴S△PQC＝•（xC﹣xQ）•PP′＝×（﹣1）×1＝，∴当PC+QC最小时，△PKC的面积为．29．（2022秋•城固县期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点C的坐标为（4，3），反比例函数的图象经过点B．（1）求反比例函数的表达式；（2）在反比例函数的图象上是否存在点P，使得△OAP的面积等于菱形OABC的面积？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；P（8，4）或P（﹣8，﹣4）．【解答】（1）解：延长BC交x轴于点D，∵四边形OABC是菱形，∴OA∥BC，OA＝OC＝BC＝AB，∴BD⊥x轴，∵C（4，3），∴OD＝4，CD＝3，，∴OA＝OC＝BC＝AB＝5，∴BD＝BC+CD＝OC+CD＝8，∴B（4，8），∵点B在双曲线上，∴k＝4×8＝32，∴反比例函数的表达式为：；（2）解：存在；设P点的横坐标为m，∵S菱形OABC＝BC⋅OD＝5×4＝20，∴，∴m＝±8，当m＝8时，，即：P（8，4），当m＝8时，，即：P（﹣8，﹣4）；综上，存在点P（8，4）或P（﹣8，﹣4），使△OAP的面积等于菱形OABC的面积．30．（2023春•万州区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数在第一象限交于点C（1，a），点D（7，b）是反比例函数上一点，连接CD并延长交x轴于点E．（1）求b的值；（2）连接BE，若点P是线段BE上一动点，连接CP．当时，求点P的坐标；（3）若点M是x轴上一动点，点N为平面内一点，在（2）的条件下，是否存在以A、P、M、N四点为顶点的菱形？请直接写出点N的坐标．【答案】（1）b＝；（2）P（2，3）；（3）点N的坐标为（7，3）或（﹣3，3）或（2，﹣3）或（﹣，3）．【解答】解：（1）∵点C（1，a）是直线y＝2x+4与反比例函数的交点，∴a＝2+4＝6，∴k＝1×6＝6，∴y＝，∵点D（7，b）是反比例函数上一点，∴b＝；（2）过点P作PQ⊥x轴交CD于点Q，∵C（1，6），D（7，），∴直线CD的解析式为y＝﹣x+，∵点E是直线CD与x轴的交点，∴E（8，0），∴直线BE的解析式为y＝﹣x+4，∴设P（a，﹣a+4），Q（a，﹣x+），∴PQ＝﹣a+﹣（﹣a+4）＝﹣a+，∴S△PCE＝S△PQC+S△PQE＝PQ（xQ﹣xC），∴（﹣a+）＝，∴a＝2，∴P（2，3）；（3）在直线y＝2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，∴A（﹣2，0），∵P（2，3），∴AP＝＝5，如图2，∵以A、P、M、N四点为顶点的菱形，∴AP＝AM＝5，∴M1（3，0）或M2（﹣8，0），∵四边形APNM是菱形，∴PN∥AM，PN＝AM＝5，∴N1（7，3），N2（﹣3，3）；如图3，当AP＝PM，AP∥MN时，点P与点N关于x轴对称，∴N3（2，﹣3），如图4，当AM＝PM，PN∥AM时，过N作NG⊥AM于G，∴NG＝3，过P作PQ⊥x轴于Q，∴PQ＝3，AQ＝4，设AM＝PM＝a，∴a2＝32+（4﹣a）2，∴a＝，∴AN＝，∴AG＝＝，∴OG＝，∴N4（﹣，3），综上所述，点N的坐标为（7，3）或（﹣3，3）或（2，﹣3）或（﹣，3）．31．（2023春•洛江区期末）如图，已知反比例函数的图象与直线y＝k2x+b将于交于A（﹣1，6）、B（﹣6，m）两点，直线AB交x轴于点M，点C是x轴正半轴上的一点，（1）求反比例函数及直线AB的解析式；（2）若S△ABC＝25，求点C的坐标；（3）若点C的坐标为（1，0），点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D、E、A、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣，y＝x+7；（2）C（3，0）；（3）存在．点E的坐标为或或．【解答】解：（1）将A（﹣1，6）代入y＝，得6＝，解得：k1＝﹣6，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；将B（﹣6，m）代入y＝﹣，得m＝1，∴B（﹣6，1），∵直线y＝k2x+b经过A（﹣1，6）、B（﹣6，1）两点，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+7；（2）在y＝x+7中，令y＝0，得x＝﹣7，∴M（﹣7，0），∵点C是x轴正半轴上的一点，∴设C（x，0）（x＞0），∴MC＝x﹣（﹣7）＝x+7，∵S△ABC＝S△AMC﹣S△BMC＝25，∴MC•（6﹣1）＝25，即（x+7）＝25，解得：x＝3；∴点C的坐标为（3，0）；（3）若点C的坐标为（1，0），点D为x轴上的一点，点E为直线AC上的一点，是否存在点D和点E，使得以点D、E、A、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出E点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）存在．点E的坐标为或或．设直线AC的解析式为y＝ax+c，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣3x+3；设D（t，0）、E（n，﹣3n+3），又A（﹣1，6）、B（﹣6，1），当AB、DE为平行四边形的对角线时，AB、DE的中点重合，∴，解得：，∴；当AD、BE为平行四边形的对角线时，AD、BE的中点重合，∴解得∴；当AE、BD为平行四边形的对角线时，AE、BD的中点重合，∴解得∴．综上所述，点E的坐标为或或．32．（2023•从化区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），与反比例函数交于点B（b，9）．（1）求反比例函数的表达式；（2）点P为反比例函数图象上一点，连接PB，若∠PBA＝∠BAO，求点P的坐标．【答案】（1）y＝（x＞0）；（2）P（12，）．【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+6（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣2，0），∴0＝﹣2a+6，解得：a＝3，∴直线AB的函数表达式为y＝3x+6．当y＝9时，3x+6＝9，解得：x＝1，∴点B的坐标为（1，9）．又∵反比例函数过点B（1，9），∴9＝，∴k＝9，∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；（2）设直线AB与y轴交于点D，延长BP交x轴于点C，过点C作CE⊥AB于点E，如图所示．当x＝0时，y＝3×0+6＝6，∴点D的坐标为（0，6）．∵∠PBA＝∠BAO，∴△ABC为等腰三角形，∴AE＝AB．∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，9），点D的坐标为（0，6），∴OA＝2，OD＝6，AB＝＝3，AD＝＝2，∴AE＝．∵∠DAO＝∠CAE，∠DOA＝90°＝∠CEA，∴△DAO∽△CAE，∴＝，即＝，∴AC＝15，∴点C的坐标为（15﹣2，0），即（13，0）．设直线BC的函数表达式为y＝mx+n（m≠0），将B（1，9），C（13，0）代入y＝mx+n得：，解得：，∴直线BC的函数表达式为y＝﹣x+．将y＝﹣x+代入y＝得：﹣x+＝，整理得：x2﹣13x+12＝0，解得：x1＝1，x2＝12，经检验，x1＝1，x2＝12均为所列方程的解，x1＝1不符合题意，舍去，x2＝12符合题意，∴x＝12．当x＝12时，y＝＝，∴点P的坐标为（12，）．33．