初升高数学衔接学案

第一节乘法公式与因式分解

一.乘法公式：

⑴平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

⑵完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2

(3)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

(4)立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

⑸三数和完全平方(a+b+c)2-a2+b2+c2+2(ab+be+ac)

二.因式分解

1.公式法

2.十字相乘法

(1)拆分：拆分二次项系数和常数项；(2)检验：交叉相乘再相加；(3)横写：横写。

3.分组分解法

考点一完全平方公式的综合应用

1.计算：(l)(a+6+c)-+(a+b—c)~+(a—b+c)~+(/?—o+c)~

(2)(x+l)(x—l)(x~一元+1)(x*+x+1)

2.已知a+b=3,ab=2,则的值为()

A.3B.4C.5D.6

3.已知5+9=13,且a-b=L则a+b的值是()

A.5B.±5C.7D.±7

4.若x-y=2,x2+y2=4,则留”+严4等于（）

A.-22014B.22014C.2""或-22°"D.0

5.若|x-y-5|+（孙-6）2=0,求彳3->3的值.

6.若3。+1=0,求/+）的值

7.已知aZ+^-Ga+lO/j+SdnO,求a+b的值.

8.不论a,b为何实数,a2+b2-^a-lb+8的值（）

A.总是正数B.总是负数C.可以是零D.可以是正数也可以是负数

9.已知a=-2014,b=2013,c=-2012,求a+b2+c2+ab+bc-ac的值.

10.已知a+〃+c=4,ab+bc+ac=4,求"+从+c?的值.

11.计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)的值

考点二因式分解

1.用公式法进行因式分解

(1)-2x2y+12xy-18y(2)—x、2x+3.

3

、,8

(3)64m2n2-(m2+16n2)2⑷x一〉

2.用十字相乘法进行因式分解

(D——4%—12(2)X2+13X-48(3)x4—5%2—36

(4)x~+x_(Q__a⑸x2-(a+b)xy+aby2(6)。6一7•3-8。6

(7)8X2+6X-35(8)8m2-22m+15(9)4X2+15X+9

(10)6y2+19y+10(ll)ax2-(a+l)x+l(12)12x2+ax-a2

(13)ax2-(2a-l)x-2(14)4x4-65x2y2+16/(16)7(x—1)'+4(x—1)—20

2

(17)("+8x)~+3(x+8x)-108(18)2(a+b)」+(a+b)(a—b)—6(a—b)2

—

(19)y2V2x—6(20)11+12

3.用分组分解法进行因式分解

22⑵2cix-1Oay+5by-bx

3223⑷4mn+1-

(3)%.—xy-孙一+y

(5)x2-2xy+y2-2x+2y+l(6)4(x—y+1)+y()'-2x)

(7)X3+3X+4(8)x-2x+l(9)a4+4

第二节根式与分式

1.计算

1-------

⑴叵)(6-叵)=⑶^

.V3

1+——

3

(4)(―^+—1二+亍।广+...+厂［一诉+1)=.

1+V2V2+V3V3+V4V9+V10

⑸)9-41.(6))8+2«=

2.试比较下列各组数的大小

2

⑴—VTT和V1T—Vic)⑵和2-\/2—V6

V6+4

c廿V5„yjX+\—ylX—l,X+1+yjx—l.

3.若X=：-,求i--~3—+-7—~的值.

2Jx+l+Jx—1Jx+l—Vx—1

5/3—5/25/3+V2

4.若x=求3--5孙+3/的值.

5/3+5/2

第三节一元二次方程

一,一元二次方程：ax1++c=0(6f0)

(1)当A>0时，方程有两个不相等的实数根，且有几2=一"土"、4"；

2a

h

(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根为=xz=一二；

2a

(3)当△V0时，方程没有实数根.

hr

(4)韦达定理及应用：玉+工2=-一,西％2=—

aa

2-X2+X2

X：+x；=(斗+X2)-，IX]一马1=2)=2)-4%1%2

考点一一元二次方程

1.当k取何值时，/一伏一1»+攵+2=0有两个相等的实数根？并求出这两个根.

2.已知方程/一ax?-2ax+/-1=0只有一个实根，求a的取值范围.

3.已知方程人父-2x-1=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围.

4.若直线y=2x+b与抛物线y=/有两个不同的交点，求b的取值范围.

5.若不,工2是方程f+2%-5=0的两个根，试求下列各式的值：

⑴(X1—5)(x,—5)；(2)—-H—=-；(3)|X|—X,|.

x2xx

6.关于x的方程f+4x+必=0的两根为无，生满足|汨一知=2,求实数勿的值.

7.当k取何值时，关于x的方程3/—2（3左+l）x+322—1=0.

（D有两个互为相反数的实跟；（2）两实根互为倒数.（3）有两实根，且一根大于零，另一根小于零.（4）有两正

实根.（5）有两负实根.

8.已知关于x的方程1+2①一2）x+序+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,

求力的值.

考点二解高阶方程

1.解下列方程

（1）4x3-%=0(2)x3+x2+x+l=O32

(3)X-4X+4X-16=0

(4)x4-3x2+2=0(5)X6-7X3-8=0

(4/+1)(4/+2)=12(7)(x2-5x+l)(x2-5x+9)+15=0

(6)

2.解下列分式方程

776x5冗+4

(l)x———=3———⑵

x—3x—3

小x+9x+7x+6x+10/、x"+3x+22x?+3x+1

(3)----+----=----+-----(4)——-——-=—：-------

x+8x+6x+5x+9x—3x+22x—3x+1

3.解下列根式方程

⑴+7x=x+2(2)V2x-4-Vx+5=l

(3)J2x+9-yjx—4-Jx+1——0

4.解下列方程组

[X2+y2=11(x—4产+(>—5)2=25

⑴4⑵4

x+y—1=0x2+y2=2y

'(—-)2+(5-份2=2

r

x2+y2-2y=0

⑷<(-2-4+(-2-6)2-1

x2+y2-2^/3x=0

(5—4+(5—。)2=/2

第四节二次函数

.,_7,/b、?4-cic—b~.

一.二次函数：y-ax~+bx+c=+—)+---------〃工()

2a4。.

/—aw—日bb4ac-b~.

⑴对称轴是工=----,顶点是（一一,---------）；

2a2a4a

hh

（2）。＞0时，在对称轴（X=-一）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴（x=——）右侧；），的

2a2a

b4ac—b2

值随尤值的增大而增大。当x=-2时，），取得最小值警——

2a4a

/7b

（3）。＜（）时，在对称轴（x=）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴（x=-2）右侧；），的

2a2a

b4cic—b~

值随X值的增大而减少。当》=二一二时，y取得最大值『〃一'

2a4a

二.二次函数与二次方程的关系

函数尸加+"+c（aW0）与x轴交点的横坐标就是方程a^+bx+c=0的根，且有如下结论:

（1）抛物线y=a/+6x+c（ar0）与x轴有两个交点O△＞0.

(2)抛物线尸a/+6x+c(aW0)与x轴有一个交点<=>△=().

(3)抛物线y=a^+6x+c(aX0)与x轴无交点O△<().

1.画出下列函数的图像

y=-x2+4x-3y=x2+2x+2

2.已知函数y=f+2x,-2WxWa,其中a2一2,求该函数的最小值。

3.已知函数y=-x2+4x-l,其中，＜xWf+l求该函数的最大值。

4.已知函数丁=1+24'+1,其中一1«%«2,求该函数的最小值。

5.求函数y=其中一求该函数的最大值。

第五节一元二次不等式

解一元二次不等式的一般步骤：

(1)化成不等式的标准形式：ax2+bx+c>0(«>0)或ax2+bx+c<0(a>0)

(2)求方程ax2+hx+c=0(a>0)的根,并画出对应的一元二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象;

(3)由图象得出不等式的解集：

当A〉。时，方程ax'+bx+cR有两个不等的实数根Xi，x2<x2),

2

ax+bx+c>0(a>0)的解集为{x|x<x^x>x2}

2

ax+bx+c<0(Q>0)的解集为{x\x1<x<x2}

简记为：大于0取两边，小于0取中间.

考点一解简单的一元二次不等式

1.解下列不等式.

(1)X2+X-2<0(2)-X-3X+4>0

(3)—%2+2x-3>0(4)x2+6x+10>0

(5)4x2-4x+l>0(6)4^2-4X+1<0

2.不等式组］-―1<0的解集是（）

X2-3X<0

A.-Kx<lB.0<x<3C.0<x<lD.-Kx<3

3.解下列不等式:①(x-L)(2-x)20.②x(3-x)Wx(x+2)T.

4.解下列不等式:①6（x，l）>13x②20—9y—20y2>0

考点三三个“二次”之间的关系问题

1.不等式以2+法+1>。的解集为求a,b的值.

2.已知不等式ax2-bx-1^0的解集是—‘4x4—工，则不等式x—bx-aVO的解集是

23

3.若不等式ax2+bx+c>0的解集为-3<x<4,求不等式bxJ+2ax-c-3b<0的解集.

4.若不等式ax2+bx+c>0的解集是则不等式b(x2-l)+a(x+3)+c>0的解集为

考点二利用转化法解分式不等式

1.解下列不等式

X—32—x

(1)-<0⑵二(3)—>—1

X+14+xX

2x—5,、2x-l

(4)N2.(5)-------->1(6)-------->1

x-1x—33-4x

23

z.2x—x+1