实数基本概念及运算.(打印)

实实数根本概念及运算涉及的篇章：七年级上册第一章有理数、七年下册第六章实数第一讲实数的有关概念实数的有关概念1〕正数与负数：大于0的数是正数,在正数前面加上符号“﹣〞〔负〕的数叫做负数。既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋〞，“－〞号叫做它的符号.正数前面的“＋〞可以省略，注意与表示是同一个正数.2)有理数:整数与分数统称有理数.注：=1\*GB3①正数和零统称为非负数；=2\*GB3②负数和零统称为非正数；=3\*GB3③正整数和零统称为非负整数；=4\*GB3④负整数和零统称为非正整数.例题精讲例题精讲例1.以下数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？，，，，，，，，变式：以下个数中：中负分数有个；负整数有个；自然数有个3)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注童上述规定的三要素缺一个不可)错例原因无原点没有正方向单位长度不统一没有单位长度有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如.例题精讲例题精讲例2.以下说法错误的选项是〔〕A．所有的有理数都可以用数轴上的点表示B．数轴上的原点表示0C．在数轴上表示-3的点与表示+1的点的距离是2D．数轴上表示-5的点，在原点负方向5个单位例3.(2006年乌鲁木齐中考题)如右图所示，数轴的一局部被墨水污染了，被污染的局部内含有的整数为_________.4)相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.相反数的性质：=1\*GB3①代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．相反数必须成对出现，不能单独存在．例如：和互为相反数，或者说是的相反数，是的相反数，而单独的一个数不能说是相反数．定义中的“只有〞指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同〞区分开．例如：与互为相反数，而与虽然符号不同，但它们不是相反数．=2\*GB3②几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．=3\*GB3③求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—〞号即可．一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数、0、负数，也可以是任意一个代数式．注意不一定是负数．当时，；当时，；当时，.=4\*GB3④互为相反数的两个数的和为零，即假设与互为相反数，那么，反之，假设，那么与互为相反数．=5\*GB3⑤多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋〞号，都可以全部去掉；一个正数前面有偶数个“－〞号，也可以把“－〞号全部去掉；一个正数前面有奇数个“－〞号，那么化简后只保存一个“－〞号，既“奇负偶正〞〔其中“奇偶〞是指正数前面的“－〞号的个数的奇偶数，“负正〞是指化简的最后结果的符号〕.例题精讲例题精讲例4.⑴〔2023丰台二模〕的相反数是A．B．C．D．⑵〔2023密云二模〕的相反数是A．3B．－3C．±3D．〔3〕.如果，化简以下各数的符号，并说出是正数还是负数⑴；⑵；⑶；⑷；⑸(4).以下说法错误的选项是()A.与互为相反数B.与互为相反C.与互为相反数D.与互为相反数5)绝对值:从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离绝对值的性质：例题精讲例题精讲例5.数轴上有一点到原点的距离是，那么这个点表示的数是_________.变式：〔广西竞赛题〕数轴上有两点，之间的距离为，点与原点的距离为，那么点所对应的数为6)倒数：乘积为1的两个数，叫做互为倒数----数a(a≠0)的倒数是，零没有倒数．例6.〔1〕.2023朝阳二模〕的倒数是A．B．C．D．〔2〕.〔2023东城二模〕的倒数是A．-5B．5C．D．〔3〕.〔2023西城二模〕的倒数是A.2023B.C.D.－20237〕.有理数比拟大小利用数轴比拟有理数的大小：数学中规定，在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.两个负数，绝对值大的反而小。例题精讲例题精讲例7.在数轴上表示以下各数，再按大小顺序用“＜〞号连接起来.，，，，，，，变式：在数轴上，下面说法中不正确的选项是()．A．两个正数，小的离原点近B．两个有理数，大数对应的点在右边C．两个负数，较大的数对应的点离原点近 D．两个有理数，大的离原点较远8).科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式〔其中，是整数〕，此种记法叫做科学记数法．例如：就是科学记数法表示数的形式．也是科学记数法表示数的形式．注意：指数n确实定公式：整数的位数-1.例题精讲例题精讲例8.⑴〔2023年广东中考题〕2008年5月10日北京奥运会火炬接力传递活动在美丽的海滨城市汕头举行，整个火炬传递路线全长约米，用科学记数法表示火炬传递路程是〔〕．A．米B．米C．米D．米⑵〔2023年北京中考题〕截止到2008年5月19日，已有名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将用科学记数法表示应为〔〕A．B．C．D．9〕.近实数：例题精讲例题精讲例9.近似数万精确到位；有个有效数字，分别是〔精确到千分位〕；〔精确到〕变式：〔2006年广西课改〕今年秋季，广西有一百三十余万名义务教育阶段的贫困学生享受到国家免费教科书政策，预计免费教科书发放总量为1500万册，发放总量用科学记数法记为______册〔保存2个有效数字〕10〕.如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根.为了书写方便，我们把a的算术平方根记作a的算术平方根记作例题精讲例题精讲例10.填空：(1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是______，即＝______；(2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是______，即＝______；(3)因为_____2=，所以的算术平方根是______，即＝______.求以下各式的值：(1)＝______(2)＝_____(3)＝____(4)＝_____(5)＝______(6)＝______.辨析题：卓玛认为，因为(－4)2＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？识记：112＝121，122＝144，132＝169，142＝196，152＝225，162＝256，172＝289，182＝324，192＝361，11〕.平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.例题精讲例题精讲例11.求下面各数的平方根：(1)100；(2)0.25；(3)0；(4)－4；例如：(1)因为〔±10〕2＝100〕，所以100的平方根是＋10和－100的平方是0，正数的平方是正数，负数的平方还是正数，所以任何数的平方都不会等于－4.这说明什么？从这个例题你能得出什么结论？正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？平方根的性质归纳：正数有平方根。平方根有什么关系？0的平方根有个，平方根是.负数平方根12〕.立方根的概念：如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的.〔也叫做数a的〕.换句话说,如果,那么x叫做a的立方根或三次方根.记作：.读作“〞，其中a是，3是，且根指数3省略〔填能或不能〕，否那么与平方根混淆.开立方，求一个数的的运算叫做开立方，与开立方互为逆运算立方根的性质：正数的立方根是数，负数的立方根是数，0的立方根是例题精讲例题精讲例12.判断正误:〔1〕、25的立方根是5；〔〕〔2〕、互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数；〔〕〔3〕、任何数的立方根只有一个；〔〕〔4〕、如果一个数的平方根与其立方根相同，那么这个数是1；〔〕〔5〕、如果一个数的立方根是这个数的本身，那么这个数一定是零；〔〕〔6〕、一个数的立方根不是正数就是负数.〔〕〔7〕、–64没有立方根.()求以下各式的值：〔1〕；〔2〕〔3〕13〕.实数概念：任何一个有理数都可以写成__小数或__小数的形式。反过来，任何__小数或___小数也都是有理数观察通过前面的探讨和学习，我们知道，____________小数又无理数，就是无理数_______和_______统称为实数〔注意有理数到实数数系的扩充，有理数的法那么同样适用于实数〕实数分类：类比有理数分类，实数也可以有如下分类按实数定义分类像有理数一样，无理数也有正负之分。例如，，是____无理数，，，是____无理数。由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以实数也可以这样分类：实数实数与数轴3、我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？〔1〕如下图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达点O′，点O′的坐标是多少？图中可以看出OO′的长时这个圆的周长_____点O′的坐标是____这样，无理数可以用数轴上的点表示出来如图二，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线画弧，与正半轴的交点就表示为与负半轴的交点就表示为总结①事实上，每一个无理数都可以用数轴上的___表示出来，这就是说，数轴上的点有些表示___有些表示______当从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点就是__________的，即每一个实数都可以用数轴上的__________来表示；反过来，数轴上的__________都是表示一个实数与有理数一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数______实数与相反数、绝对值当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数实数的相反数是___这里表示任意___一个正实数的绝对值是__一个负实数的绝对值是它的___0的绝对值是___例题精讲例题精讲例13、理解实数的有关概念①把以下各数分别填入相应的集合里：正有理数{}负有理数{}正无理数{}负无理数{}②a的相反数是-,那么a的倒数是_______．③实数a、b在数轴上对应点的位置如下图:那么化简│b-a│+=______．=4\*GB3④〔2006年泉州市〕去年泉州市林业用地面积约为10200000亩,用科学记数法表示为约_________________．例2.(-2)3与-23()．(A)相等(B)互为相反数(C)互为倒数(D)它们的和为16分析：考查相反数的概念，明确相反数的意义。答案：A=5\*GB3⑤.-的绝对值是；-3的倒数是；的平方根是．=6\*GB3⑥.以下各组数中，互为相反数的是()DA．-3与B．｜-3｜与一C．｜-3｜与D．-3与第二讲实数的运算1)加法：同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；任何数与零相加等于原数。互为相反数的两个数相加得零。2)减法：减一个数等于加这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即4)除法：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。用字母表示为：5)乘方：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。用字母表示为：6)开方：求一个数平方根立方根的运算叫做开方。如果x2＝a且x≥0，那么＝x；如果x3=a，那么在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．7〕．实数的运算律(1)加法交换律a+b＝b+a(2)加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)(3)乘法交换律ab＝ba．(4)乘法结合律(ab)c=a(bc)(5)分配律a(b+c)=ab+ac其中a、b、c表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．例题精讲例题精讲【例题经典】例13、实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如下图，以下式子中正确的有()．①b+c>0②a+b>a+c③bc>ac④ab>ac(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个变式：①〔2006年成都市〕计算：-+〔-2〕2×〔-1〕0-│-│．②.观察以下等式(式子中的“!〞是一种数学运算符号)1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…，计算：=③和之和的次方等于，与的相反数之和的次方等于，那么课后练习课后练习一、填空题：〔每题3分，共36分〕１、－2的倒数是＿＿２、4的平方根是＿＿＿３、－27的立方根是＿＿＿４、－2的绝对值是＿＿＿＿。５、2004年我国外汇储藏3275.34亿美元，用科学记数法表示为＿＿＿＿亿美元。６、比拟大小：－＿＿＿＿－７、近似数0.020精确到＿＿＿＿位，它有＿＿＿＿个有效数字。８、假设n为自然数，那么(－1)2n＋(－1)2n＋1＝＿＿９、假设实数a、b满足|a－2|＋(b＋)2＝0，那么ab＝＿＿＿。10、在数轴上表示a的点到原点的距离为3，那么a－3＝＿＿＿＿。11、一个矩形的长为3cm，宽为2cm，试估算它的对角线长为＿＿＿＿。〔结果保存两个有效数字〕12、罗马数字共有7个：I〔表示1〕，V〔表示5〕，X〔表示10〕，L〔表示50〕，C〔表示100〕，D〔表示500〕，M〔表示1000〕，这些数字不管位置怎样变化，所表示的数目都是不变的，其计数方法是用“累积符号〞和“前减后加〞的原那么来计数的：如IX＝10－1＝9，VI＝5＋1＝6，CD＝500－100＝400，那么XL＝＿＿＿，XI＝＿＿＿。二、选择题：〔每题4分，共24分〕１、以下各数中是负数的是〔〕A、－(－3) B、－(－3)2C、－(－2)3 D、|－2|２、在π，－，，3.14，，sin30°，0各数中，无理数有〔〕A、2个 B、3个 C、4个 D、5个３、绝对值大于1小于4的整数的和是〔〕A、0 B、5 C、－5 D、10４、以下命题中正确的个数有〔〕①实数不是有理数就是无理数②a＜a＋a③121的平方根是±11④在实数范围内，非负数一定是正数⑤两个无理数之和一定是无理数A、1个 B、2个 C、3个 D、4个５、天安门广场的面积约为44万平方米，请你估计一下，它的百万之一大约相当于〔〕A、教室地