等差数列与等比数列性质的比较

三、等差数列与等比数列性质的比较

等差数列性质等比数列性质

anran=d(n21)；an-an-l=d(n22)^=q(n>l),^=q(n>2)

1、定义+

a°an-i

4=珥+(77—l)dH-l

2、通项a.=a、q

公式n—m

a=%+(〃一m)d5,mGN")

na,^amq

_(a1+

q=l5=叫；

Sn~2

3、前n项和q#l,S=aQWL

,«(«-I),

d

S“="Qi+2l-ql-q

a、A、b成等差数列。A=a3+上h；a、A、b成等比数列U>2=上

2aA

an是其前k项an.k与后k项an+k的等差中项，（不等价于A?=ab,只能二>）：

4、中项

即：a„=an-k+dn+k

an是其前k项an.k与后k项an+k的

2

等比中项，BP：a>an.k.an+k

若m+n=p+q,则+%=a)+4若m+n=p+q,则•〃“=a)-特别地,若

5、下标和公式

2

特别地，若m+n=2p,则«“+〃”=2a)m+n=2p,则

等差数列的第k项与倒数第k项的和等于首尾等比数列的第k项与倒数第k项的积等于

两项的和，即:首尾两项的积，即：

6、首尾项性质

a+a,=4+Q“T=…=%+«„-（*-■）a〃。21,,*a〃-伏-I）

｛｝为等差数列，若叫n,p成等差数列,则｛｝为等比数列,若叫n,p成等差数列，则

圆aq成等差数列成等比数列

（两个等差数列的和仍是等差数列）（两个等比数列的积仍是等比数列）

等差数列｛%｝,｛4｝的公差分别为d,e，则数等比数列｛〃“｝,｛4｝的公比分别为p,q,

7、结论

列｛〃“+/?“｝仍为等差数列，公差为"+e则数列｛〃“•〃“｝仍为等比数列，公差为

pq

取出等差数列的所有奇（偶）数项，组成的取出等比数列的所有奇（偶）数项，组成的新

新数列仍为等差数列，且公差为2d2

数列仍为等比数列，且公比为q-

无此性质；

若am=n,a0=m(m丰n),则am+n=0

若S=n,S=m（m丰n）,则S=-Cm+n）

mnm+n无此性质；

无此性质；

若5,”=5"（加加），则5,“+,”=。

£”，S2m-Sm，S3,”一S2,”，…成等差数列，£“，S2m-Sm，一$2,”，…成等差数

公差为Md歹U,公比为

当项数为偶数2〃时，s偶一5奇=〃△当项数为偶数2〃时，5偶=夕$奇

当项数为奇数2n-1时，

S奇_dn

s偶a?+iS奇=Qi+4S偶

当项数为奇数2〃-1时，§奇一5偶=。中

品,1=（2〃D@，，g=〃_1

$偶

①定义法：上」=4

%

①定义法：a-a.、=d（n22）

②等差中项概念；44+2=a“+；（a“声0）

②等差中项概念；2a“=a,-+a“+i（n>2）

③函数法：an=cq"（c,q均为不为。的

③函数法：a=pn+q（p,。为常数）关于n的

8、等差（等比）n

常数，«eN+）,则数列｛”“｝是等比数列.

数列的判断方一次函数。数列⑶｝是首项为p+q,公差为

法

p（w0）的等差数列；④数列伯。｝的前n项和形如

④数列但。）的前n项和形如$=劭2+加n

Sn=Aq-A（A,q均为不等于0的常

（a,b为常数），那么数列｛a"是等差数列，数且q#l）,则数列｛%｝是公比不为1的

等比数列.

9、共性非零常数列既是等差数列又是等比数列

等差数列

一、填空题

1.在等差数列中已知ai=12,ae=27,则d=

2.在等差数列中已知d=-1,a7=8,则a户

3

3.（。+匕）2与①一匕）2的等差中项是

4.正整数前n个数的和是

5.数列｛4｝的前n项和S“=3〃一〃2,则可=

二、选择题

1.在等差数列｛%｝中/+41=40，则“4一。5+。6+%+。8—“9+。10的值为()

A.84B.72C.60D.48

2.在等差数列｛%｝中，前15项的和S15=90，&为()

A.6B.3C.12D.4

3.等差数列｛q｝中，4+%+%=-24,阳+49+%0=78,则此数列前20项的和等于()

A.160B.180C.200D.220

4.在等差数列｛4｝中，若。3+%+。5+。6+%=450,则%+小的值等于()

A.45B.75C.180D.300

三、计算题

1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛〃〃｝的有关未知数：

(1)4=*/=-L,S〃=-5,求n及；(2)d=2,〃=15,%=-10,求4及S”

66

2,设等差数列｛为｝的前n项和公式是5“=51+3〃，求它的前3项，并求它的通项公式

3.如果等差数列｛4｝的前4项的和是2,前9项的和是-6,求其前n项和的公式。

等比数列

一、填空题

1.若等比数列的首项为4,公比为2,则其第3项和第5项的等比中项是—

2.在等比数列｛an｝中，

(1)若q=＜，$6=3^|,则a$=;

乙10-----------

(2)若S3=7a3,则q=；

⑶若ai+az+a3=—3,a[a2a3=8,则二_____.

3.在等比数列｛a｝中,

(1)若@7•812=5,则a8-a9•aio•an=

⑵若ai+a2=324,a3+ai=36,则％+@6=；

4.一个数列的前n项和Sn=8"-3,则它的通项公式2n=

二、选择题

3、已知｛am是等比数列，且an>o,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么23+25的值等于[]

A.5B.10C.15D.20

4、.等差数列｛a"的首项ai=i,公差dwo,如果a”a2,as成等比数列，那么d等于[]

A.3B.2C.-2D.2或-2

5、.等比数列｛a"中，a54-a6=a7-a5=48,那么这个数列的前10项和等于[]

A.1511B.512C.1023D.1024

6、.等比数列｛a"中，22=6,且25-224一23=-12,则an等于]

A.6B.6,(T)'.c.6,2"2D.6或6•(一1)2或6•2n2

数列通项公式的常见求法

一.公式法

1、等差数列公式

例1、(2011辽宁理)已知等差数列｛%｝满足。2=0,。6+。8=-10

(I)求数列SJ的通项公式；

2、等比数列公式

例2.(2011重庆理)设｛%｝是公比为正数的等比数列，4=2,%=4+4。

(I)求他“｝的通项公式

3、通用公式

若已知数列的前〃项和s“的表达式，求数列｛4｝的通项即可用公式

fs„........〃=1

"求解。一般先求出al=Sl,若计算出的an中当n=l适合时可以合并为一个关系式，若不

适合则分段表达通项公式。

例3、己知数列｛4｝的前n项和s“=〃2一1,求｛4｝的通项公式。

练习：已知数列｛/｝前n项和S“=4一凡一白.

⑴求4什1与%的关系；(2)求通项公式明.

1、叠加法

即：一。〃-2)++(。2—4)+。1(〃22);

例4、(20U四川理8)数列｛叫的首项为3,｛""｝为等差数列且2二%一/(〃eN*).若则4=一2,"=12,

则"8=

A.0B.3C.8D.11

【例1】已知数列｛《,｝满足％=2，4用=%+一一，求明。

2n~+n

2、叠乘法

一般地对于形如“已知a”且名包=f(n)(f(n)为可求积的数列)”的形式可通过叠乘法求数列的通项公式。

a”

即：an=-----•—N.q(??>2)；

a

„-xa吁24

例6、在数列｛〃〃｝中，a,=1,(n+1)•alt+i=n•an,求的表达式。

2n+

练习：已知数列｛%｝满足2B，求%。

3、构造法

例7、数列｛4｝满足a=1,a„=3an+l(1)求数列｛%｝的通项公式;

练习：已知数列｛4｝中，q=1,an+l=2a,,+3,求见。

已知数列｛4｝满足4出=2a“+3x5”,4=6,求数列｛4｝的通项公式。

(2)、倒数法

一般地形如为=—^1—、凡.4।=/।等形式的递推数列可以用倒数法将其变形为我们熟悉的形式来

k%+b

求通项公式。

dn-1

例11.已知数列也“｝满足:a\=1,。】=求｛必｝的通项公式。

3an-i+l

(3)、对数法

例14、若数列｛%｝中，%=3且凡+1=42(n是正整数)，则它的通项公式是%=_____.

专题二：数列前〃项和的求法

［题型1］公式法

【例7】已知｛4｝是公差为3的等差数列，数列｛2｝满足仇=1也=；,《也用=由「

⑴求｛凡｝的通项公式；

(2)求｛"｝的前〃项和.

［题型2］裂项求和

［例8］S,,为数列｛为｝的前n项和.已知an>0,a：+2an=4S“+3.

⑴求｛4｝的通项公式；

(2)设仇=—1—，求数列｛2｝的前〃项和.

4%

［题型3］错位相减求和

【例9】已知数列已,｝和也｝满足,q=2,〃=l,a“+I=2q,(neN*),

b\+++—bn=^,1+|-l(neN*).

23n

⑴求与。”；

(2)记数列｛a/“｝的前n项和为Tn,求7；.

［题型4］分组求和

【例10］已知｛斯｝是等差数列，满足0=3,勿=12,数列｛娱满足历=4,*4=20,且｛瓦一小｝为等比数列.

(1)求数列｛斯｝和｛5｝的通项公式：

(2)求数列｛d｝的前〃项和.

倒序相加法求数列的前n项和

求5抽21。+5抽22°+5抽23。+.-+§抽288°+5抽289°的值

2015-2019年全国卷数列真题

1、(2015全国1卷17题)S“为数列｛/｝的前〃项和.已知＞0,端+a“=4S”+3.

(I)求｛4“｝的通项公式；

(II)设"=」一，求数列｛b,,｝的前n项和.

2、(2015全国2卷4题)已知等比数列｛《,｝满足a1=3,a,+a3+a5=21,则43+%+%=()

A.21B.42C.63D.84

3、(2015全国2卷16题)设S,是数列｛4｝的前n项和，且弓=一1,an+l=SnSn+l,则S“=.

4、(2016全国1卷3题)已知等差数列｛《,｝前9项的和为27,即)=8,则=()

(A)100(B)99(C)98(D)97

5、(2016全国2卷15题)设等比数列｛可｝满足。1+。3=10,。2+。4=5,则am…。〃的最大值为.

6、(2016全国2卷17题)5“为等差数列｛《｝的前〃项和，且4=1,S7=28.记〃,=[lga“],其中国表示不超过

x的最大整数，如[。9]=0,[lg99]=l.

(I)求伉，伉।,瓦“;

(II)求数列｛a｝的前1000项和.

7、(2016全国3卷17题)已知数列伍，的前n项和工=1+2%,其中4Ho.

(I)证明是等比数列，并求其通项公式；

S5=—

(II)若32，求”.

8、（2017年国1卷4题）记S.为等差数列｛%｝的前"项和，若q+%=24,S6=48,则｛4“｝的公差为（）A.I

B.2C.4D.8

10、（2017全国2卷3题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共

灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯

数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

«1

11、（2017全国2卷15题）等差数列｛4｝的前〃项和为S“，%=3，54=10,则.

%=1Sk

12、（2017全国3卷9题）等差数列｛q｝的首项为1,公差不为0.若%，%，4成等比数列，则｛为｝前6项的和为

（）

A.-24B.-3C.3D.8

13、（2017全国3卷14题）设等比数列｛4“｝满足4+4=-1,4-4=-3,则4=.

14.（2018年国1卷14题）记5,为数列｛q｝的前"项和.若S“=2a,,+1,则.

15.（2019年国1卷9题）记£为等差数列｛&｝的前〃项和.已知区=0,35=5,则（）

A.a„—2n-5B.a„=2>n-10C.S„=2rf-8nD.S„=—n-2n

2

16,（2019年国1卷14题）记S“为等比数列｛a,J的前〃项和.若句=上，a：=a6,则£=

3

数列单元检测题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.2011是等差数列：1,4,7,10,…的第几项（）

(A)669(B)670(C)671(D)672

2.数歹U瓜｝满足a“=4a„r+3,ai=0,则此数列的第5项是（）

(A)15(B)255(C)20(D)8

3.等比数列｛a„｝中，如果a«=6,au=9,那么a：；为（）

o1A

(A)4(B)-(C)—(D)2

29

4.在等差数列列J中，ai+a3+a5=105,a2+a«+a6=99,则a2()=（）

(A)-1(B)1(C)3(D)7

5.在等差数列列J中，已知ai=2,a2+a：,=13,则a,i+a5+a6=（）

(A)40(B)42(C)43(D)45

6.记等差数列的前n项和为S“，若S?=4,8=20,则该数列的公差d=()

(A)2(B)3(C)6(D)7

7.等差数列｛aj的公差不为零，首项a1=l,a?是④和的的等比中项，则数列的前10项之和是

(A)90(B)100(C)145(D)190

8.在数列｛an｝中，ai=2,2anH-2an=l,则aioi的值为()

(A)49(B)50(C)51(D)52

9.计算机是将信息转化成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示二进制的数，将它转化成

十进制的形式是1X23+1X22+OX2】+1X2°=13,那么将二进制数11…1转换成十进制数的形式是

16位

()

(A)217-(B)216-1(C)216-(D)215-1

10.在等差数列｛&J中，若ai+a2+a3=32,aii+ai2+ai3=118,则a，i+a产()

(A)45(B)50(C)75(D)60

11.(2011•江西高考)已知数列瓜｝的前n项和S”满足：Sn+SrS』,且时1,那么小产()

(A)1(B)9(C)10(D)55

12.等比数列｛aj满足a)。，n=l,2,…，且as•a2n_5=22n(n23),贝当巳21时,1og2ai+1og2a3+•••+1og2a2n-i=

()

(A)n(2n-l)(B)(n+1)2(C)n2(D)(n-l)2

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上)

13.等差数列｛aj前m项的和为30,前2m项的和为100,则它的前3m项的和为.

14.(2011•广东高考)已知｛aj是递增等比数列，a2=2,a.「a3=4,则此数歹ij的公比q=____.

15.两个等差数列⑸｝,｛bn｝,多―----广二——丁，则产=______.

bj+b2+...+bnn+3

16.设数歹U｛a„｝中，ai=2,a„-i=an+n+l,贝!］通项a产___.

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知数列｛&,｝是等差数列，az=3,as=6,求数列｛a,｝的通项公式与前n项的和

18.(12分)(2011•铁岭高二检测)等比数列｛aj的前n项和为S“，已知8成等差数列.

(1)求｛aj的公比q；

(2)若ai-a3=3,求S,,.

19.(12分)数列｛aj的前n项和为S”，数列｛b“｝中，b产小，b产a「ai(n22),若an+S“=n,cn=an-l.

(1)求证：数列｛cj是等比数列；

(2)求数列｛bj的通项公式.

20.在数列｛%｝中，Sn+i=4a„+2,ot=l.

(1)设加=q+1—2〃,求证数列｛bj是等比数列;

(2)设金="，求证数列｛金｝是等差数列；

2"

(3)求数列｛d｝的通项公式及前n项和的公式.

n

21.(12分)已知数列｛a„｝的前n项和为0,凡,=1(3-1)(neN*),等差数列限｝中，b)O(nwN"),且b,+b2+b3-15,

又ai+bi,a2+b2,as+b3成等比数列.

(1)求数列｛aj,®｝的通项公式；

(2)求数列｛an+bj的前n项和T..

22.(本小题满分12分)等差数列｛qJ的各项均为正数，％=3,

前〃项和为S"，｛"｝为等比数列，4=1,且32=64,^S3=960.

(1)求与为；

1

(2)求和：—I---1-+一.

£52S.

数列单元检测题

参考答案

1.C.2.B.3,A4.B5.B6.B7.B8.D9.B10.B11.A12.C

13.210.14.q=2

9(aI+aj

【解析】设两个等差数列瓜｝,｛｝的前项和分别为则阻=7x9+2

15.b„nAn>B„.02=0=="

b59(b+b9)B99+312

2

16.【解析】Vai=2,an+i=an+(n+l),

Aan=ani+n,ani=an2+(n-l),

a“-2=a»-3+(n-2),…，a3=42+3,a?=a1+2,@尸2二1+1

将以上各式相加得：3n=[n+(n—1)+…+2+1]+1=―—-+1=+—+1.

17.【解析】设｛劣｝的公差为d,

a.+d=3

♦d2=3,a，5=6,\,

al+4d=6

ai=2,d=l,

.\an=2+(n-l)=n+l.

n(n-l)n~+3n

M=na,+—-------d=---------

n22

18•【解析】(1)依题意有

ai+(ai+aiq)=2(ai+a」q+aiq2)由于aiWO,故2q*+q=0,又qWO,从而q=.

(2)由已知得ai-ai(-,)2=3,

2

19.【解析】(1)产Si,an+Sn=n①，

ai+Si=l,得.

2

又an+i+Sn+i=n+1②,

_

①②两式相减得2(an+i-l)=anl,

即殳旦二1=J.，也即,

an—12c„2

故数列匕,｝是等比数列.

(2)c.=a.-1=—,

2

・1-1

c

••n=一听，a”=cn+l=l--)

a71

a»-iT-f.

故当n22时，bn=an-an_]=J7.

又E=a|=g,即

20.解析：(1)由。1=1,及5什1=4。n+2,

有。1+。2=4。1+2,02—301+2=5,<儿=。2—2%=3・

由冬+1=4。〃+2①，则当"22时，有Sc=4Gn—i+2.②

②—①得=-1，:.Qn+i—2。c=2(。〃-2ani)•

又,:bn=an+\-2an,：.bn=2bn-[.：.｛儿｝是首项加=3,公比为2的等比数列.

n]

:.bn=3X2~.

n|

_an“”+i-2a”b3x23

(2),；••Cn+1-Cnn

T2n+12"2n+l2向