对数函数计算全

§2.2对数函数2．对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有以下性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即loga1＝0；③底的对数等于1，即logaa＝1.2．对数的运算法那么(1)根本公式①loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN(a>0，a≠1，M>0，N>0)③logaMn＝n·logaM(a>0，a≠1，M>0，n∈R)3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝eq\f(logcN,logcb)(b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN＝eq\f(1,logNb)或logbN·logNb＝1(N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；(2)logbnNm＝eq\f(m,n)logbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R).题型一正确理解对数运算性质对于a>0且a≠1，以下说法中，正确的选项是()①假设M＝N，那么logaM＝logaN；②假设logaM＝logaN，那么M＝N；③假设logaM2＝logaN2，那么M＝N；④假设M＝N，那么logaM2＝logaN2.A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④题型二对数运算性质的应用求以下各式的值：(1)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38－5log53；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)eq\f(log5\r(2)·log79,log5\f(1,3)·log7\r(3,4)).题型三对数换底公式的应用计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1，N>0)．1．(上海高考)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．2．(辽宁高考)设g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x≤0，,lnx，x>0，))那么geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝____.1．对数式log(a－3)(7－a)＝b，实数a的取值范围是()A．(－∞，7)B．(3,7)C．(3,4)∪(4,7)D．(3，＋∞)2．设a＝log32，那么log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2B．3a－(1＋a)C．5a－2D．－a2＋3a3．log56·log67·log78·log89·log910的值为()A．1B．lg5C.eq\f(1,lg5)D．1＋lg24．loga(a2＋1)<loga2a<0，那么aA．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))D．(1，＋∞)5．函数f(x)＝ax－1＋logax(a>0，a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，那么a的值为()A．4B.eq\f(1,4)C．3D.eq\f(1,3)6．假设方程(lgx)2＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，那么αβ等于()A．lg7·lg5B．lg35C．35D.eq\f(1,35)7．f(log2x)＝x，那么feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________.8．log(eq\r(2)－1)(eq\r(2)＋1)＝________.9．lg2＝0，lg3＝1，lgx＝－2＋1，那么x＝________.10．(1)lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求logeq\r(2)eq\f(x,y)的值；(2)log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365.11．设a，b，c均为不等于1的正数，且ax＝by＝cz，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．12．a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．2．对数与对数运算(一)自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.4．假设a>0，且a≠1，那么ab＝N等价于logaN＝b.5．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1).一、对数式有意义的条件例1求以下各式中x的取值范围：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.变式迁移1在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<2B．2<a<5C．2<a<3或3<a<5D．3<a<4二、对数式与指数式的互化例2将以下对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625；(2)logeq\f(1,2)8＝－3；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))－2＝16;(4)log101000＝3.变式迁移2将以下对数式化为指数式求x值：(1)logx27＝eq\f(3,2)；(2)log2x＝－eq\f(2,3)；(3)log5(log2x)＝0;(4)x＝log27eq\f(1,9)；(5)x＝logeq\f(1,2)16.三、对数恒等式的应用例3(1)alogab·logbc·logcN的值(a，b，c∈R＋，且不等于1，N>0)；(2)4eq\f(1,2)(log29－log25)．变式迁移3计算：3log3eq\r(5)＋(eq\r(3))log3eq\f(1,5).1．一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．利用ab＝N⇔b＝logaN(其中a>0，a≠1，N>0)可以进行指数与对数式的互化．3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1)．一、选择题1．以下指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg1＝0B．27－eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)与log27eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)C．log3eq\f(1,2)＝9与9eq\f(1,2)＝3D．log55＝1与51＝52．指数式b6＝a(b>0，b≠1)所对应的对数式是()A．log6a＝aB．log6b＝C．logab＝6D．logba＝63．假设logx(eq\r(5)－2)＝－1，那么x的值为()A.eq\r(5)－2B.eq\r(5)＋2C.eq\r(5)－2或eq\r(5)＋2D．2－eq\r(5)4．如果f(10x)＝x，那么f(3)等于()A．log310B．lg3C．103D．5．2·log25＋eq\f(1,2)·log25的值等于()A．2＋eq\r(5)B．25eq\r(5)C．2＋eq\f(\r(5),2)D．1＋eq\f(\r(5),2)二、填空题6．假设5lgx＝25，那么x的值为________．7．设loga2＝m，loga3＝n，那么a2m＋n的值为________8．lg6≈2，那么102≈________.三、解答题9．求以下各式中x的值(1)假设log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－2x,9)))＝1，那么求x值；(2)假设log2003(x2－1)＝0，那么求x值．10．求x的值：(1)x＝logeq\f(\r(2),2)4；(2)x＝log9eq\r(3)；(3)x＝71－log75；(4)logx8＝－3；(5)logeq\f(1,2)x＝4.对数与对数运算(二)自学导引1．对数的运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．2．对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca).一、正确理解对数运算性质例1假设a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，以下式子中正确的个数有()①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)；③logaeq\f(x,y)＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay.A．0个B．1个C．2个D．3个变式迁移1假设a>0且a≠1，x>0，n∈N*，那么以下各式正确的选项是()A．logax＝－logaeq\f(1,x)B．(logax)n＝nlogaxC．(logax)n＝logaxnD．logax＝logaeq\f(1,x)二、对数运算性质的应用例2计算：(1)log535－2log5eq\f(7,3)＋log57－log5；(2)2(lgeq\r(2))2＋lgeq\r(2)·lg5＋eq\r((lg\r(2))2－lg2＋1)；(3)eq\f(lg\r(27)＋lg8－lg\r(1000),)；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.变式迁移2求以下各式的值：(1)log535＋2logeq\f(1,2)eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.三、换底公式的应用例3(1)设3x＝4y＝36，求eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)的值；(2)log189＝a,18b＝5，求log3645.变式迁移3(1)设log34·log48·log8m＝log416，求m；(2)log1227＝a，求log616的值．1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收〞，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数；(2)“拆〞，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为()A．－3B．－1C．1D2．lg2＝a，lg3＝b，那么log36等于()A.eq\f(a＋b,a)B.eq\f(a＋b,b)C.eq\f(a,a＋b)D.eq\f(b,a＋b)3．假设lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，那么eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(a,b)))2的值等于()A．2B.eq\f(1,2)C．4D.eq\f(1,4)4．x＝1000,y＝1000，那么eq\f(1,x)－eq\f(1,y)等于()A.eq\f(1,3)B．3C．－eq\f(1,3)D．－35．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，假设f(x1x2…x2005)＝8，那么f(xeq\o\al(2,1))＋f(xeq\o\al(2,2))＋…＋f(xeq\o\al(2,2005))的值等于()A．4B．8C．16D．2log二、填空题6．