高中数学人教A版（2019）必修第一册 2 2基本不等式同步练习（含解析）

必修第一册2.2基本不等式一、选择题（共14小题）1.下列式子中最小值为2的是   A.x+1x B.x2+2+12.若x>0，则x+4x A.2 B.3 C.22 D.3.对于a>0，b>0，下列不等式中不正确的是   A.21a+ C.ab≤a+b224.以长为10 m的线段AB为直径作半圆，则其内接矩形的面积的最大值为 A.10 B.15 C.25 D.505.下列不等式一定成立的是   A.x+y≥2xy B. C.∣x∣+∣y∣≥2∣xy∣ 6.下列不等式一定成立的是   A.x+1x≥2 C.x2+3x7.小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和ba<b，其全程的平均时速为v，则 A.a<v<ab B.v=ab C.ab<v<8.下列不等式中正确的是   A.a+4a≥4 B.a2+b9.a,b∈R，则a2+b A.a2+b C.a2+b10.为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD（阴影部分）和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1000 m2，绿化带的宽分别为2  A.20 m B.50 m C.101011.设正数m，n满足4m+9n A.26 B.25 C.16 D.912.若直线l:2x2b+a+ya+b=1 A.76 B.4−22 C.5−2313.设直线x=tt>0与曲线y=x2+2和x轴分别交于A，B两点，C A.22 B.3 C.2 D.14.设正实数a，b，c满足a2−3ab+4b2−c=0，则当 A.0 B.1 C.94 D.二、填空题（共7小题）15.基本不等式 （1）基本不等式ab≤a+b2成立的条件：a>0 （2）等号成立的条件：当且仅当①

时等号成立． （3）其中②

称为正数a，b的算术平均数，③

称为正数a，b的几何平均数．16.要挖一个面积为432 m2的矩形鱼池，周围两侧分别留出宽分别为3 m，4 m的堤堰，要想使占地总面积最小，此时鱼池的长为17.若点a,b在直线x+3y=1上，则2a+818.设a，b都为正数，且a+b=4，则1a+119.三个同学对问题“已知m,n∈R+，且m+n=1，求 甲：1m 乙：1m 丙：1m 参考上述解题思路，可求得当x=

时，y=a20.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设没有出租的房子不需要花这些费用），则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为

元．21.已知a>0，b>0，且1a+2+1b+2=三、解答题（共6小题）22.请回答：（1）基本不等式1： 对任意实数a和b，有

，当且仅当a=b时等号成立．（2）基本不等式2： 对任意正数a，b，有

，当且仅当a=b时等号成立．（3）两个不等式有什么区别?有什么推广结论?（4）几何意义： 我们称a+b2为a，b的

，称ab为a，b的

，因而，基本不等式223.设ab≠0，利用基本不等式有如下证明：ba24.某商场预计全年分批购入每台价值2000元的电视机共3600台，每批都购入xx∈N∗台，且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费之和为4360025.已知a>0，b>0，求证：a226.某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a m．房屋正面的造价为400 元/m227.请解答下列问题．（1）已知a,b,c∈R，求证：a（2）已知a,b,c>0，求证： ①a+b1 ②a+b+c1答案1.D2.D3.D【解析】A选项：因为a>0，b>0，所以21当且仅当a=b时等号成立，故A正确；B选项：2ab≤a所以ab≤a2+C选项：因为ab≤a+b2当且仅当a=b时等号成立，故C正确；D选项：若a+b2则2ab+a所以a2所以2ab≥a显然不成立，故D错误．4.C5.D6.B7.A8.D9.A10.B【解析】设BC=x，则CD=1000所以，S平行四边形当且仅当4x=10000x，即x=50时，取“所以当x=50时，S平行四边形11.B12.B13.C【解析】由x=t,y=x2+2可得At,S=当且仅当t=2t，即t=2时等号成立，所以△ABC14.B15.①a=b，②a+b2，③16.24 m，18 【解析】设鱼池的相邻两边长分别为x m，y m，则x+6y+8当且仅当6y=8x，即x=18，y=24时，等号成立．17.2218.1【解析】a，b都为正数，且a+b=4，则1a当且仅当ba=ab且19.100a20.3300【解析】设利润为y元，租金定为3000+50x0≤x≤70,x∈N元．则y=3000+50x70−x−10070−x=21.20【解析】a>0，b>0，且1a+2a+b=6当且仅当b+2a+2=a+2即a=b=10时取等号，a+b的最小值20．22.（1）a

（2）a+b

（3）第一个不等式成立的条件是a，b为实数，第二个不等式成立的条件是a，b为正实数．对于第二个不等式，还可以化为ab≤a+b

（4）算术平均数；几何平均数23.这个证明过程不正确．过程中b2+a24.由题意，当每批购入x台时，全年需付保管费S=2000x⋅k，所以总费用为y=3600又当x=400时，y=43600⇒k=1y=当且仅当x=120时，ymin25.因为a>0，b>0，所以a2b+b≥2所以a2所以a2当且仅当a=b时，等号成立．26.由题意可得，总造价y=3×2x×150+3×则y=900x+当且仅当x=16x，即若a≥4，则当x=4时，y有最小值13000；若a<4，任取x1,xy1因为x1<x2≤a，所以x所以y1−y2>0所以当x=a时，y有最小值900a+综上，若a≥4，当x=4时，