用二分法求方程的近似解史传奇

游戏：请你模仿李咏主持一下幸运52，请同学们猜一下物品的价格.第一页第二页，共25页。在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10km长，大约有200多根电线杆呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？BACDE第二页第三页，共25页。假设在区间[-1,5]上，f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(-1)>0,f(5)<0，即f(-1)f(5)<0，我们怎样依如上方法求得方程f(x)=0的一个解?-1f(x)yxO12345第三页第四页，共25页。像上面这种求方程近似解的方法称为二分法.二分法的定义：定义：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）.第四页第五页，共25页。【思考】(1)所有的函数都有零点吗？(2)若函数有零点，是否都可用二分法求出？xyoxyoxyo第五页第六页，共25页。例1.求函数f(x)=x3+2x2-3x-6的正数零点(精确度为0.1).【解题指南】本题考查函数零点的概念以及用二分法求函数零点的具体步骤.求正数零点，关键是确定一个包含此零点的区间.【解析】确定一个包含正数零点的区间(m，n)，且f(m)·f(n)<0.因为f(0)=-6<0，f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以可以取区间(1,2)作为计算的初始区间.因为f(1)=-6<0，f(2)=4>0，所以存在x0∈(1,2)，使f(x0)=0.用二分法逐步计算，列表如下：第六页第七页，共25页。端点(中点)端点或中点的函数值的符号取值区间f(1)<0,f(2)>0(1,2)f(1.5)<0(1.5，2)f(1.75)>0(1.5,1.75)第七页第八页，共25页。由于|1.75-1.6875|=0.0625<0.1.∴函数的正零点的近似值为1.6875.端点(中点)端点或中点的函数值的符号取值区间f(1.625)<0(1.625,1.75)f(1.6875)<0(1.6875,1.75)第八页第九页，共25页。给定精确度,用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1.确定区间，验证，给定精确度；2.求区间（a,b）的中点c；3.计算（1）若，则c就是函数的零点；（2）若,则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；（3）若,则令a=c（此时零点x0∈(c,b)).即若，则得到零点近似值a(或b）；4.判断是否达到精确度：否则重复步骤2～4．第九页第十页，共25页。例2.求函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内的零点（精确度为0.01）.解：画出y=lnx及y=6-2x的图象，观察图象得，方程lnx=6-2x有唯一解，记为x1，且这个解在区间（2，3）内y=－2x+6y=lnx6Ox1234y第十页第十一页，共25页。根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）f(2)<0,f(3)>02.5f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0，f(3)>02.75f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>02.625f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0,f(2.625)>02.5625f(2.5625)>0（2.53125，2.5625）f(2.5)<0f(2.5625)>0（2.5，2.5625）f(2.53125)<0f(2.5625)>0f(2.53125)<02.53906252.546875（2.53125，2.546875）2.53125f(2.5390625)>0f(2.53125)<0f(2.546875)>0（2.53125，2.5390625）f(2.546875)>0f(2.53125)<0,f(2.5390625)>0列出下表：第十一页第十二页，共25页。由于所以，可以将作为函数零点的近似值，也即方程的近似根.注意精确度第十二页第十三页，共25页。2.二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点；中值计算两边看.同号丢，异号算，零点落在异号间.重复做，何时止，精确度来把关口.第十三页第十四页，共25页。对二分法概念的理解【技法点拨】运用二分法求函数零点需具备的二个条件(1)函数图象在零点附近连续不断.(2)在该零点左右函数值异号.第十四页第十五页，共25页。【典例训练】1.下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()2.下面关于二分法的叙述，正确的是()(A)用二分法可求所有函数零点的近似值(B)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位(C)二分法无规律可循(D)只有在求函数零点时才用二分法第十五页第十六页，共25页。用二分法求函数的零点【技法点拨】1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图象估计零点所在的初始区间［m,n］(一般采用估计值的方法完成).(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是［m,c］还是［c,n］，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.第十六页第十七页，共25页。【典例训练】1.函数f(x)=x3+x2-2x-2在区间［1,2］的一个零点是_____(精确度为0.1).2.求函数f(x)=x3-3x2-9x+1的一个负零点(精确度为0.01).第十七页第十八页，共25页。用二分法求方程的近似解【技法点拨】用二分法求方程的近似解的思路和方法(1)根据函数的零点与相应方程解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的，所以求方程f(x)=0的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解.(2)对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求函数F(x)=f(x)-g(x)的零点的近似值，然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解.第十八页第十九页，共25页。【典例训练】1.利用计算器，算出自变量和函数值的对应值如下表：x1.01.41.82.22.63.0…y=2x2.02.6393.4284.5956.0638.0…y=x21.01.963.244.846.769.0…那么方程2x=x2的一个根所在区间为()(A)(0.6,1.0)(B)(1.4,1.8)(C)(1.8,2.2)(D)(2.6,3.0)2.求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度为0.1).第十九页第二十页，共25页。1.二分法求函数的零点的近似值适合于()(A)零点两侧函数值符号相反(B)零点两侧函数值符号相同(C)都适合(D)都不适合A第二十页第二十一页，共25页。2.下列函数不能用二分法求零点的是()(A)f(x)=3x-2(B)f(x)=log2x+2x-9(C)f(x)=(2x-3)2(D)f(x)=3x-33.用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0,则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为()(A)0.64(B)0.74(C)0.7(D)0.6CC第二十一页第二十二页，共25页。4.用二分法求函数y=f(x)在区间［2，4］上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)＜0，取区间［2,4］的中点x1==3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区间是_______.(2,3)5.某同学在借助计算器求“方程lgx=2-x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中，他用“二分