第一章三角形的证明回顾与思考

第一章三角形的证明

-回顾与思考

学习目标1.回顾、总结本章的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的方法和过程，构建知识系统，养成回顾反思的学习习惯。2.通过回顾与思考，提高总结、概括与反思的能力，体会数学思想方法的魅力。主要内容等腰三角形直角三角形线段的垂直平分线角平分线三角形的证明腰和底不相等等边三角形全等三角形互逆命题及其真假尺规作图一、等腰三角形

1、定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；3、判定：（1）（定义）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）（定理）有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

2、性质：（1）（定理）等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；（2）（定理推论）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合（三线合一）。1．已知等腰三角形的一个底角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（

）A．20°B．40°C．50°D．80°2．等腰三角形的两条边长分别为5cm和6cm，则它的周长是______________。3．已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝10cm，底边BC＝12cm，则△ABC的角平分线AD的长是________cm。巩固训练4、已知等腰ΔABC腰AB上的CD与另一腰AC的夹角为40°，则其

的度数为__

.┐┐顶角高50°或130°二.等边三角形1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形；2、性质：（1）等边三角形的三个内角都相等，且都为60°；（2）等边三角形每条边上的中线、高线及所对角的平分线互相重合（三线合一）。3、判定：（1）（定义）三边都相等的三角形是等边三角形；（2）（定理）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）（定理）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。1．边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________。2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度。巩固训练三.直角（Rt）三角形1、定义：有一个角是90°的三角形叫做直角三角形；2、性质：（1）（定理）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（2）（定理）直角三角形两锐角互余；（3）（勾股定理）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。3、判定：（1）（定义）有一个角是90°的三角形叫做直角三角形（2）（定理）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）（勾股定理的逆定理）如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。2．如上右图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是（

）A．3.5B．4.2C．5.8D．71．如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AP平分∠CAB交BC于点P，若BP＝6，则CP＝_____。四.线段的垂直平分线1、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。2、性质定理的逆定理（判定定理）：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。1、如下左图，在Rt△ABC中，有∠ABC=90°，DE是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E，∠BAE=20°，则∠C=

_________。2、如下右图，在△ABC中∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D。若ED=5，则CE的长为（）A.10B.8C.5D2.535°巩固训练巩固训练如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．8 B．9 C．10 D．11C五.角平分线1、性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。2、性质定理的逆定理（判定定理）：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。1、如下左图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD＝4，则点D到AB的距离是_______。2．如下右图，点D在BC上，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是△ABC的（

）A．垂直平分线B．角平分线C．高D．中线巩固训练3.如图，△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1

B．1：2：3

C．2：3：4D．3：4：5C解析:分别过O点作OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC，由角平分线性质定理可得OD=OE=OFDFE┐┐┐巩固训练4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是

．3F┐六.反证法与互逆命题1、反证法：（定义）先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。2.互逆命题：（定义）如果一个命题的条件和结论是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题达标测试1.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（）A．直角三角形的每个锐角都小于45°

B．直角三角形有一个锐角大于45°

C．直角三角形的每个锐角都大于45°

D．直角三角形有一个锐角小于45°A巩固训练2.命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：

3.下列说法正确的有（）①每个命题都有逆命题；②互逆命题的真假性一致；③每个定理都有逆定理．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个如果三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形B七.全等的判定及性质1、性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。2、判定：三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、Rt三角形：“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”、“HL”。1．（2019•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为()A．

B.C．

D．3拓展延伸┐A解：过点D作DF⊥AC于F∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝1，在Rt△BED中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，在Rt△CDF中，∠C＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CF＝

DF＝1，CD=∴BC＝BD+CD＝2+，

故选：A．F┐┐2、在ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B的大小为______ADBCE图二ACBDE图一┐┐解：（１）如图一：当等腰ΔABC为锐角三角形时，有∠AED＝40°，则∠A＝50°，∠B＝65°。（2）如图二：当等腰ΔABC为钝角三角形时，此时∠AED＝40°，则∠BAC＝130°，∠B＝25°。