高思奥数导引小学四年级含详解答案第20讲 幻方与数阵图扩展部分

第20讲幻方与数阵图扩展

兴趣篇

1、把1,2,9填入图中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相

等。

2、(1)如图1,在3X3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角

线上所填数之和都相等。

(2)如图2,在4X4的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角

线上所填数之和都相等。

图2

3、在图所示的3X4方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等,

各列所填的数之和也相等。现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是

多少？

E□

□二N

□□

4、如图，请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方。

5、请将图所示的5X5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性

质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，1、2、3、4、5

恰好各出现一次。请问：标有符号“▽”和“O”的方格中所填的数分别是什

么？

O1

52

V4

△4

3

6、请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立。所有满足要求的填法

共有多少种？

□<□>□

VVV

□>□>□

VVV

□>□>□

7、请在图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个

小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7。

8、将1至5这5个数字填入图中的圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。

9、请在图中的六块区域内填入1、2、3、4、5、6,使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的

区域内的数之和都相等。

10、将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等

的。请问：这个和最小是多少？最大是多少？

拓展篇

1、将1,2,3,…，24,25分别填入图的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的

2、请在图的每个空格内填入一个合适的数,使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中

的各数之和都相等。

3、（1）在图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各

数之和都等于19.95。那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？

（2）请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个空

格中的各数之和都相等。

Si

4、如图，大正方形的4个角上已填入4个数，4个数之和是264。奇妙的是，把这个图倒过

来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264。请你在中间的小正方形的4个角的圆圈

里，填入另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且

小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264。

5、将1、2、3、5、6、7、9、10、11填入图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相

等。

6、请将1至10填入图中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数

都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差。

9

7、在图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个

数的平均数。现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好。

8、请将1个1,2个2,3个3,…，8个8,9个9填入图中，使得相同的数所在的方格都

连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且

知道A、B、C、。、E、F、G各不相同；那么，七位数ABCOEFG是多少？

9、将数字1、2、3、4、5、6、7填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每

条直线上的3个数之和都相等。

10、将1至9填入图中的9个圆圈内，使4个大圆圈上的4个数之和都等于16。

11、图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个。

如果要求图中的3个2X2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多

少？请给出一种填法。

12、如图，大三角形被分成了9个小三角形。试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这

9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加

的和相等。这5个数的和最大可能是多少？请给出一种填法。

超越篇

1、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中

的各数之和都相等。

2、图是有名的“六角幻方”：将1至19这19个自然数填入图中的圆圈中，使得每一条直线

上圆圈中的各数之和相等。美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了

52年的时间才找到了解答。我们给大家填入了6个自然数，请你完成这个“六角幻方”。

3、在图中有6个正方形，请你将I至9填入图中，使得每个正方形的4个顶点上的数字之

和都相等。

4、在图的七个圆圈中填入一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是1,并且相邻

两个圆圈内的数字之差（大数减小数）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字。

3

4

5、将1至9分别填入图中的9个圆圈内，使图中每条直线（图中有7条直线）上的圆圈内

所填数之和都相等，那么这个和是多少？

6、将0,1,2,9这10个数分别填入图中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的3个顶

点上的数之和相等。这个和最大是多少？最小是多少？请分别给出使得和最大、最小的

填法。

7、在图中有11个空的圆圈，要求把1至13这些数填入各圈内（其中3、4已经填好），使

得上面2个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数（例如，虚线框中上面2

个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面1个圈中的数），并且最下面空着的4个圆

圈中的数之和等于43。

8、图中共有10个圆圈，6条直线。请问：

(1)能否将1至10填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？

(2)能否将0至9填入图中，使得每条直线上各数之和都相等？

(3)请从1至11中去掉一个数后,将剩下的数填入图中使得每条直线上各数之和都相等。

第20讲幻方与数阵图扩展

兴趣篇

1、把1,2,9填入图中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相

等。

【答案】

2、(1)如图1,在3X3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角

线上所填数之和都相等。

(2)如图2,在4X4的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角

线上所填数之和都相等。

r

114/12

15496

105163

811013

3、在图所示的3X4方格表的每个方格中填入恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等,

各列所填的数之和也相等。现在一些数已经填出，标有符号“*”的方格内所填的数是

多少？

□□Z□

□□□EJ

【答案】1

4、如图，请在空格中填入适当的数，组成一个三阶幻方。

回

M

【答案】答案不唯一，例如1

5、请将图所示的5X5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性

质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，1、2、3、4、5

恰好各出现一次。请问：标有符号和“O”的方格中所填的数分别是什

么？

O1

50

V4

△4

3

【答案】△=§,V=5,0=4

6、请将1至9这9个数填入图中的方框内，使得所有不等号都成立。所有满足要求的填法

共有多少种？

□<□>□

VVV

□>□>□

vvv

□>□>□

【答案】2种

7、请在图所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个

小圆圈内所填的数的差（大减小）恰好是1、2、3、4、5、6、7。

CM

bo

8、将1至5这5个数字填入图中的圆圈内,使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等。

【答案】中间的小圆圈填5,和是10

9、请在图中的六块区域内填入1、2、3、45、6,使得对每一个小圆圈来说，与它相邻的

区域内的数之和都相等。

10、将0至9填入图的10块区域中（阴影区域除外），使得每个圆内的三个数之和都是相等

的。请问：这个和最小是多少？最大是多少？

【答案】最小是11,最大是16

拓展篇

1、将1,2,3,…，24,25分别填入图的各个方格中，使得每行、每列及两条对角线上的

【答案】4

2、请在图的每个空格内填入一个合适的数,使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中

的各数之和都相等。

【答案】

3、（1）在图的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各

数之和都等于19.95。那么，标有“*”的方格内所填的数是多少？

（2）请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个空

格中的各数之和都相等。

图1图2

4、如图，大正方形的4个角上已填入4个数，4个数之和是264。奇妙的是，把这个图倒过

来看，大正方形4个角上的数之和仍然是264。请你在中间的小正方形的4个角的圆圈

里，填入另外4个数，使得每条对角线上的4个数正看和倒看时，其和都是264；而且

小正方形角上的4个数正看和倒看时，其和也都是264。

1991

5、将1、2、3、5、6、7、9、10、11填入图中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相

等。

6、请将1至10填入图中的10个圆圈中（9已经填好），使得除了第一行外每个圆圈内的数

都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差。

9

7、在图的7个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的3个数，居中的数是旁边两个

数的平均数。现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好。

8、请将1个1,2个2,3个3,…，8个8,9个9填入图中，使得相同的数所在的方格都

连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8个方格中的数，并且

知道4、B、C、D、E、尸、G各不相同：那么，七位数ABCOEFG是多少？

9、将数字1、2、3、4、5、6、7填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每

条直线上的3个数之和都相等。

［分析］设中心数为各条直线和各个圆周上的三数之和均为h因为a属于三条直线公

有，其余数各属于一条直线和一个圆周，于是得到2xQ+2++7)+a=5k,化简

为a+56=5«.因为14a47,a+56又是5的倍数，所以a=4,k=\2.填数方

法见右上图.

10、将1至9填入图中的9个圆圈内，使4个大圆圈上的4个数之和都等于16。

11、图中一共有10个方格，现在把2至11这10个自然数填到里面，每个方格各填一个。

如果要求图中的3个2义2的正方形中的4个数之和都相等，那么这个和最小可能是多

少？请给出一种填法。

［分析］由题意，9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5、、9、

10、11,计算三个正方形中四个数的和，这个和能被3整除，但是其中a和b被

重复计算了一次，所以有：2+3++11+〃+8=65+a+b=3s,当a+b=l,4,

7,时，65+。+/＞可以被3整除，因为要取最小值，所以〃+/7的值越小越好，

但是不可能取1与4,所以，。+匕=7时，这个和取得最小值，每个正方形中的和

也取得最小值：（65+7）+3=24.

12、如图，大三角形被分成了9个小三角形。试将1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入这

9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形三条边的每5个数相加

的和相等。这5个数的和最大可能是多少？请给出一种填法。

［分析］1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,用s表示靠近大三角形三条边的五个数的和.因

为有三个小三角形所填的数在求和时只用了一次（用a,b,c来表示这三个教），

其余均用了两;欠.于是，45x2-（a+6+8=3s.要彳吏s尽可能大，只要a+6+c尽

可能小.所以〃+匕+c=l+2+3=6,于是90-6=3s,s=28.剩下的六个数分

成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么：4+8=12；6+7=13；

5+9=14.经过调配可得到几十种填法，右上图是填法之一.

超越篇

1、请在图的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中

的各数之和都相等。

2、图是有名的'‘六角幻方"：将1至19这19个自然数填入图中的圆圈中，使得每一条直线

上圆圈中的各数之和相等。美国的数学爱好者阿当斯从1910年开始，到1962年，用了

52年的时间才找到了解答。我们给