不定积分概念与性质

第五章不定积分本章的教学根本要求是：1、理解原函数和不定积分的定义，掌握原函数和不定积分的性质；2、熟练掌握不定积分的根本公式及凑微分法；3、熟练掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。

一、原函数与不定积分的概念四、不定积分的性质三、根本积分表五、小结第一节不定积分的概念与性质二、不定积分的几何意义例定义：一、原函数与不定积分的概念(primitivefunction)定义原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)假设不唯一它们之间有什么联系？定理关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数,那么（为任意常数）证（为任意常数）任意常数积分号被积函数不定积分(indefiniteintegral)的定义：被积表达式积分变量定义原函数

例1求解:解:例2求例3某商品的边际本钱为,求总成解:其中为任意常数本函数.二、不定积分的几何意义显然，求不定积分得到一积分曲线族,在同一横坐标处,任一曲线的切线有相同的斜率.0xy实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.三、根本积分表根本积分表

是常数);说明：根本积分表导数根本公式∫0dx=cC’=0〔C为常数〕∫xndx=xn+1/(n+1)+c(xn)’=nxn-1∫1/xdx=ln|x|+c(lnx)’=1/x∫axdx=ax/lna+c(ax)’=axlna∫exdx=ex+c(ex)’=ex∫cosxdx=sinx+c(sinx)’=cosx∫sinxdx=-cosx+c(cosx)’=-sinx∫sec2xdx=tanx+c(tanx)’=sec2x∫csc2xdx=-cotx+c(cotx)’=-csc2x∫secx.tanxdx=secx+c(secx)’=secx.tanx∫cscx.cotxdx=-cscx+c(cscx)’=-cscx.cotx∫1/(1-x2)1/2dx=arcsinx+c(arcsinx)’=1/(1-x2)1/2∫1/(1+x2)dx=arctanx+c(arctanx)’=1/(1+x2)

例4求积分解：证：等式成立.〔此性质可推广到有限多个函数之和的情况〕四、不定积分的性质例5求积分解：求不定积分的方法

(1)直接积分法(2)第一类换元法(3)第二类换元法(4)分部积分法直接积分法根据不定积分的性质和根本积分公式，对于一些比较简单的函数的不定积分可以直接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换，再辅以积分的法那么，就可按根本公式求出结果，这样的积分方法，叫做直接积分法。该方法主要把被积函数变换成根本积分公式中的被积函数的形式。

例6求积分解：例7求积分解：例8求积分解：说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用根本积分表.化积分为代数和的积分解:所求曲线方程为3.根本积分表〔1〕～〔13〕5.不定积分的性质1.原函数的概念：2.不定积分的概念：4.求微分与求积分的互逆关系五、小结根本积分表是常数);不定积分的性质作业题: