二次函数综合应用（解析版）-2021年中考数学专项训练（河南专用）

专题07二次函数综合应用

一、选择题

1.(2020郑州)将二次函数y=f—4x+5化成y^a{X~h^+k的形式为()

A.>'=(JC-2)2+1B.y=(x—2产一1

C.y=(x+2)2+lD.y=(x+2)2-l

l.A【解析】配方可得y=幺—4x+4+l=(x—29+1.

2.抛物线)，=2?—4犬+。经过点(2,-3),则)，的最小值为()

A.-1B.2C.-5D.-2

2.C【解析】；抛物线y=2，-4x+c经过点(2,-3),.,.2X22-4X2+c=-3,解得c=-3.，y=

2f一以一3.当*=一忌=1时，y有最小值，最小值为一5.

3.(2020荆门)抛物线y=—f+4x-4与坐标轴的交点个数为()

A.0B.1C.2D.3

3.C【解析】•.•廿一4"c=42—4(-l)X(-4)=0,二抛物线与x轴只有一个交点；当x=0时，>=-4,

二抛物线与y轴只有一个交点.，抛物线与坐标轴的交点个数为2.

4.(2020洛阳模拟)对于二次函数>=4。+1)(*—3),下列说法正确的是()

A.图象开口向下

B.与尤轴交点坐标是(1,0)和(一3,0)

C.x<l时，y随x的增大而减小

D.图象的顶点坐标为(1,12)

4.C【解析】Vy-4(x+l)(x-3)=4a-l)2-16,/.a==4>0,该抛物线的开口向上，故选项4错误;

与x轴的交点坐标是(一1,0)、(3,0),故选项B错误；当x<l时，y随x的增大而减小，故选项C正确；

图象顶点坐标为(1,-16),故选项。错误.

5.(2020周口)如图，抛物线y=o?+—+c(存0)与x轴交于点A(l,0),对称轴为直线x=-1,当y>0

时，x的取值范围是()

A.-!<%<1

第5题图

5.D【解析】•.•抛物线丫=0?+法+以。#0)与x轴交于点4(1,0),对称轴为直线》=-1,...抛物线

与x轴的另一交点坐标是(一3,0),.•.当y>0时，x的取值范围是一3<x<l.

6.如图，直线yi=〃?x+〃和抛物线以=/+人x+c交于A(-3,1)和8(1,2)两点，使得力>W时的x的

取值范围是(

第6题图

A.JC>1B.x>-3

C.-3<JC<1D..r>1或x<-3

6.C【解析】..•直线yi=，〃x+〃和抛物线”=以2+法+c交于A(-3,1)和8(1,2)两点，.,.由图象可

知，直线在抛物线乃=依2+以+。上方时，自变量x的取值范围为一3<x<l,二使得B>经时

的x的取值范围是一3VxV1.

7.(2020兰州)已知点A(l,yt),BQ,以)在抛物线)'=一。+1y+2上，则下列结论正确的是()

A.2>yx>yzB.2>»>力

C.%>”>2D.yi>y\>2

7.A【解析】把Xi=1,尤2=2分别代入、=—(工+1)一+2,求得乃=-2,yi=—7»*,-2>vi<y2.

8.(2020南阳)将抛物线y=2?向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为

()

A.y=2(x+2)2+3B.y=2(x-2)2+3

C.y=2(x-2)2—3D.y=2(x+2)2—3

8.B【解析】将抛物线)'=2?向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为、=27+3,再向右

平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y=2(x—2尸+3.

9.(2020信阳)在同一坐标系中，二次函数产/+版与一次函数y=fciL4的图象可能是()

9.C【解析】当x=0时，，二次函数y=a/+fer有y=0,可知抛物线过原点，故。错误；令+公

=bx—a,此方程无解，则二次函数y=a?十次与一次函数丫=法一。的图象没有交点，故8错误；当二次

函数y=a?+反开口向上时，。>0,对称轴在y轴右边，，一套>0,得从0,...一次函数尸反一”经过第

二、三、四象限，.•.选项C正确.

10.(2020温州)已知二次函数y=f—4x+2,关于该函数在一1姿3的取值范围内，下列说法正确的是

()

A.有最大值一1,有最小值一2

B.有最大值0,有最小值一1

C.有最大值7,有最小值一1

D.有最大值7,有最小值一2

10.D【解析】•.•y=x2-4x+2=（x-2-一2,.♦.抛物线的对称轴为直线x=2,•—1<2<3,.•.当x

=2时二次函数有最小值为-2,当x=—1时，抛物线有最大值，最大值为（-1—2）2—2=7.故选D

11.（2020安顺）如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A,B两点，与y轴交于C点,

OA=0c.则由抛物线的特征写出如下结论：

①。加>0;②4ac一层>0；

③a—b+c>0；

④ac+6+l=0.

其中正确的个数是（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

11.B【解析】由图象可知a>0,<?<0,又•.,对称轴在y轴右边，■姜>0,，*。，.500,结论

①正确；观察题图可知函数图象与x轴有两个交点，，层-4ac>0,••.4"一/〈O,结论②错误；将工=一1

代入，观察题图可知，当x=-1时，y=a—b+c>0,结论③正确；；OA=OC,...点A的坐标为（c,0）,

即“/+6C+<?=0,又,.•0#0,，ac+8+l=0,结论④正确，故选8.

二、填空题

1.（2020哈尔滨）二次函数y=—（x—6尸+8的最大值是.

1.8【解析】•••"=-1<0,有最大值，当x=6时，y有最大值，最大值为8.

2.（2020南阳）已知抛物线y=f+bx+4的顶点在x轴上，则b=.

2.±4【解析］根据题意4♦：：：］］二（）,.•.廿一16,.•.b=±4.

3.已知抛物线>=以2+法+。伍>0）过4（一2,0）,0（0,0）、8（—3,乃）、C（3,竺）四点，则力与力的

大小关系是.

—2+0

3.）1<丫2【解析】•••抛物线与X轴交于A（—2,0）、。（0,0）两点，抛物线对称轴为直线》=工一=

-1,VB（-3,必）、C（3,y2）,且抛物线开口向上，，点8离对称轴较近，二力

4.（2020郑州）二次函数丫=一口+于）2+2的图象上有三个点，分别为4—2,%）,8（一1,"），C（1,券），

则力、丝、券的大小关系是.

4.），3<y2Vx【解析】IVO,.•.抛物线的开口向下.根据二次函数的解析式可得其对称轴为直

线x=一小，离对称轴的距离越近的点的纵坐标越大，反之，离对称轴的距离越远的点的纵坐标越小，A、

B、C三点到直线x=一小的距离分别是2—小，小一1,小+1,；2-小〈小一1<小+1,；.)，3<y2V%

5.(2020泰安)若二次函数y=f+6x—5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程f+法-5=2x—13的

解为.

5.X|=2,X2=4【解析】..•二次函数)，=』+区-5的对称轴是直线x=2,—?=2,即〃=—4".关

于x的方程f+fec—5=2r—13为f—4x—5=2x—13,解得内=2,x2=4.

三、解答题

□

1.(2020外国语)如图，在平面直角坐标系中，抛物线片ax2一±x+c经过点4一1,0),8(4,0),与y轴交

2

于点C,点P是x轴下方的抛物线上一动点(包含点A、8).作直线8C,若过点P作x轴的垂线，交直线8c

于点Q.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在点P的运动过程中，是否存在点P,使△CPQ是等腰三角形？若存在，直接写出点P的横坐标，

若不存在，请说明理由.

【解析】解：(1)由题意，抛物线的解析式可表示为：y=a(x+1)(x-4),

将点(0,-2)代入上式，得：0=1,

2

即抛物线的解析式为：y=-x2-^x~2；

22

(2)由片Lx?—3x—2得：C。-2),由勾股定理得：BC=2V5,

22

由C(0,-2),B(4,0)得直线BC的解析式为：片;x-2,

1q1

设P(m,—m2——m—l),则Qm,—m—2),

222

过Q作QMJ_y轴于M,则QM〃八8,

.CQQMnnCQ_m

BCAB2V54

xj5m

・・CQ;丁，

PQ=——m2+2m,PC=J/n2+|—w2--/T?|=m

2N122J

①当CQ二PQ时，

=——m2+2m,解得：m=0（舍）或m=4—J5；

22

②当CQ二PC时，

解得：m=0(舍)或m=2或m=4(舍)；

③当PQ二PC时,

一；n)2+2m=m+,解得：m=0(舍)或m=g；

综上所述，存在点P,使△CPQ是等腰三角形，点P的横坐标为：4—行或2或上.

2

2.(2020开封)如图，抛物线L：，=0&+以+3与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧)，与y轴交于

点C,已知点8(3,0),抛物线的对称轴为x=L

(1)求抛物线的解析式；

(2)将抛物线向下平移/)个单位长度，使平移后所得的抛物线的顶点落在AOBC内部(包含△O8C边

界)，求h的取值范围；

(3)设点P是抛物线上上任一点，点Q在直线/：x=-3上，△P8Q能否成为以点P为直角顶点的等腰

直角三角形？若能，写出符合条件的点P的坐标，若不能，请说明理由.

即抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.

⑵在y=-x2+2x+3中，当x=0时，y=3,即C(0,3),

由8(3,0),C(0,3)得直线BC的解析式为:y=~x+3,

在y=—X2+2X+3中,当x=l时，y=4,

在y=-x+3中，当x=l时，y=2,

若将抛物线向下平移h个单位长度,使平移后所得的抛物线的顶点落在△08C内部(包含aOBC边界),

则2—W4.

(3)①当P在x轴上方时，

过点P作PD_L/于M,PN_Lx轴于N,由△P8Q为等腰直角三角形可知，△P8N丝△PQ/W,

则PN=MQ,

设P(m,y),则PN=PA4=y,而P/W=m+3,

y-m+3,

—m2+2m+3=m+3,解得：m=0或m=l,

即P(0,3)或(1,4)；

②当P点在x轴下方时，同理可得:

2_，足3+>/33_p.3-5/33

—m+2m+3=­m—3,1解1n得：m=------或"?=-------

22

9+区一,3-屈9-显、

即pj+产^)或(丁「一^)，

综上所述,ZXP8Q能成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形，点P的坐标为：(0,3)或(1,4)或(土产,

9+屈、-3-屈9-底、

-丁)或(丁，

3.(2020省实验)如图，已知抛物线经过点A(—1,0),8(4,0)((0,2)三点，点。与点C关于x轴对称，点

P是线段A8上一个动点，设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线/交抛物线于点Q,交直线B0于

点M.

(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

(2)在点P运动过程中，是否存在点Q,使得△8QM是直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不

存在，请说明理由.

y

£tL.

【解析】解：(1)设抛物线的解析式为：y=a(x+1)(x-4),

将点C(0,2)代入上式得：a=--,

2

即抛物线的解析式为：y=--(x+1)(X-4)=--X2+-X+2.

222

(2)存在；由题意知，NQM8X90。分两种情况讨论：

①当NMQ8=90°时，此时点Q与点户重合于点A,即QLL。)；

②当NQB/W=90°时，△8PQSZ\MP8,

：.BPi=PM•PQ,

.点D与点C关于x轴对称，

：.D(~2,0),

由8(4,0),D(0,-2)得直线8。的解析式为:y='x-2,

2

j]3

设P(m,0),则M(m,—m—2),Q(m,-—m2+—m+2),

222

II3

/.BP=4—m,PM-2——m,PQ=--m2+—m+2,

222

ii?

(4-m)2=(2——m)(——m2+—m+2),

222

解得：m=3或m=4(舍)，

即Q(3,2);

综上所述，点Q的坐标为：(-1,0),(3,2).

4.(2019信阳)如图,顶点为(2,—1)的抛物线丫=£*+版+<:((7r0)交y轴于点C(0,3),交x轴于A,B两点，直线

/过AC两点，点P是位于直线/下方抛物线上的动点，过点P作PQ〃y轴，交直线/于点Q.

⑴求抛物线的解析式；

(2)求线段PQ的最大值及此时点P的坐标；

⑶在抛物线的对称轴上是否存在点G,使ABCG为直角三角形?若存在，请直接写出点G的坐标;若不存在,

请说明理由.

y

【解析】解：(1)•••抛物线的顶点为(2,-1),

即抛物线解析式可表示为：y=a(x-2^-\,

将C(0,3)代入上式得：a=l,

即抛物线的解析式为：y=(x-2)2-1=Y-4x+3.

(2)由y=x2-4x+3,得当y=0时，x=l或x=3,

即8(1,0),4(3,0),

由A(3,0),C(0,3)可得直线AC的解析式为：y=—x+3,

设Q(m,—m+3),则P(m,nr-4m+3),0<m<3,

PQ=—m+3—(nr-4/n+3)

=­+3m

9

+

4-

当寸3，PQ的长取最大值9三，此时点P(3二，3

2424

(3)存在，设G(2,n),

由8(1,0),C(0,3)得：

BC2=10»BG2=l+n2,CG2=4+(n—3)2,

①当点C为直角顶点时，由勾股定理得：

l+n2=4+(n-3)2+10,解得：n=—,即G(2,—)；

33

②当点8为直角顶点时，由勾股定理得：

l+n2=4+(n—3)2—10,解得：n=—,即G(2,—)；

33

③当点G为宜角顶点时，由勾股定理得:

l+n2=10-4-(n-3)2,解得：n=l或n=2,即G(2,1)或(2,2)；

综上所述，点G的坐标为：(2,—),(2,i),(2,1),(2,2).

33

5.(2020许昌)已知：如图，抛物线片ax?-2ax+c(a*0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、

8,点A的坐标为(4,0).

(1)求该抛物线的解析式;

(2)点Q是线段A8上的动点，过点Q作QE〃AC,交BC于点E,连接CQ.当4CQE的面积最大时,

求点Q的坐标;

(3)若平行于x轴的动直线/与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0).问:

是否存在这样的直线/，使得AODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

〃。+

16-8c=0解得：\a=~2

c=4c=4

・・・抛物线的解析式为：y=.lx2+x+4.

2

(2)过点£作EG_Lx轴于点G,设点Q的坐标为(m,0),

・••点8(-2,0),

^•AB=6fBQ=m+2

VQE//AC

.BEBQ

••一—/

BCAB

'CEG//OC,

.BEEG

・•--=---

BCOC

,,•-B-Q=-E-G-

ABOC

日口相+2EG

即--------=------,

64

.〜2m4-4

♦・EG----------，

3

=-BQ*CO--BQ•EG

22

1/-、/〃2m+4、

=-(m+2)(4--------)

23

=--Cm-1)2+3

3

...当m=l时,SACQE有最大值3,此时Q(1,0).

(3)存在.分三种情况讨论：

①若DO=DF

由A(4,0),D(2,0)得：AD=OD=DF=2

在R3AOC中，OA=OC=4,

,\ZO4C=45O,NDFA=NOAC=45°

：.ZADF=90°,

.,.点F的坐标为(2,2),

由-1X2+X+4=2,得XFI+非,x2-l->/5,

2

即点P的坐标为：P(1+石，2),P(1-6，2).

②若FO=FD,

则F在线段。。的垂直平分线上，即F点横坐标为1,

：.F(1,3),

由—1X2+X+4=3,得*I=1+G，X2=1-V3,

2

即点P的坐标为：P(1+G，3),P(1-73,3).

③若OD=OF,

由勾股定理得：AC=4五,

...点。到AC的距离为20,

由垂线段最短可知，OF^2^2>OD,故此种情况不存在；

综上所述，存在这样的直线/,使得AODF是等腰三角形，点P的坐标为：(1+行，2),P(1-A/5,2),

P(1+G,3),(1->/3,3).

6.(2020郑州)如图所示，经过原点0的抛物线片c^+bx(80)与x轴交于另一点A(L。)，在第一象

限内与直线片x交于点8(2,t).

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B、。、C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标；

(3)如图2所示，若点M在这条抛物线上，且NMBO=N48O,在(2)的条件下，是否存在点P,使

得APOCsAMOB?若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由.

【解析】解：(1);y=x过点B(2,t),

t=2,即B(2,2),

将48两点坐标代入抛物线解析式，得:

4〃+2b=2

,93，

%十二。=0

142

解得:a=2,b=—3,

抛物线的解析式为：片2/-3X；

(2)过C作CD〃y轴，交x轴于点£,交。8于点D,过B作8FLCD于F,如图所示,

设C(t,2t2-3t),则E(t,0),D(t,t),点C在第四象限,

：.OE=t,BF=2~t,CD=t-(2t2~3t)=~2t2+4t,

••5AO8C=SACDO+SACDB

=--CD(OE+BF)

2

=-(—2t2+4t)(t+2—t)

2

=—2t2+4f,

-2t2+4t=2,解得:t=l,

：.C(1,-1).

(3)存在.如图，连接AB、OM,设BM与y轴交于点N,

由8(2,2),知NAO8=/NOB=45。，

VOB=OB,ZABO=ZMBO,

.♦.△A。哈△NOB,

33

：.ON=OA=-,即N(0,-),

22

设直线8M的解析式为：*kx+±,

2

将8(2,2)代入得：△,

4

1a

即直线8M的解析式为：*上x+2,

42

联立片，x+3,y=2x2—3x»解得:

42

x=2,y=2（点8）或x=-3,y=—

832

即M（-32,竺45）,

832

VAPOC^/\MOB,

...丝=丝=竿=2,ZPOC=ZBOM,

OPOCV2

①当点P在第一象限时，过M作MGJ_y轴于G,过P作PH_Lx轴于H,如图,

,?ZCAO=Z8OG=45°,ZBOM=ZBOC,

：.ZGOM=ZPOH,

"：ZPHO=ZMGO=90°,

.•.△MOGs"。”,

.OMMGOG、

••=------==2,

OPPHOH

345345

由M（一2,3）得：OG=—,

832832

345

：.PH=—fOH=—f

1664

453

即P(上，2_).

6416

②当点P在第三象限时，过M作MG_Ly轴于G过P作PH_Ly轴于H,

y

r=*

345

同理得：PH=—,0H=—,

1664

综上所述，满足条件的点p的坐标为：（一上，（竺，—）.

16646416

4

7.（2020信阳）如图，在矩形。ABC中，点。为原点，边。4的长度为8,对角线AC=10,抛物线片-一

9

x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP,连接PQ,设

CP=m,ACPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式并求出S最大时的m值；

②在S最大的情况下，在抛物线y=-1x2+bx+c的对称轴上，若存在点F,使ADF。为直角三角形，请

直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

：.C(6,0),

将八(0,8)、C(6,0)两点坐标代入y=-±x2+bx+c,得:

9

4

c=8,——x36+6b+c=0,

9

4

解得:b=—,c=8,

3

4、4

・••抛物线的解析式为：片-与2+，+8；

93

.QEAB_3

'~QC~~AC~~5

即一Q£_=3,

10-/7：5

33

QE=—(10-m)=6——m,

55

：.S=-CPQE

2

=—m(6——m)

25

3

(m-5)2+—

102

当m=5时，5取最大值;

②抛物线片-士x?+±x+8的对称轴为x=工,

932

可得：D(3,8),Q(3,4),

由图可知，

3

(/)当/FDQ=90°时，Fj(-,8),

2

(//)当NFQD=90°时,尸2(—，4),

2

3

(///)当NDFQ=90。时,设F(一，n),

2

由勾股定理得：FD2+FQ2=DQ2,

即'+(8—+；+("4)2=16,

解得，n=64-sKn=6-,

22

•匚r3…币、匚/3人用、

2222

综上所述，点F坐标分别为F](—,8)1尸2(—»4)>F3(—,6+——)>F4(—•>6―――).

222222

8.(2020外国语)如图，抛物线y=-Z+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐

标为(-1,0),点C的坐标为(0,3),点。和点C关于抛物线的对称轴对称，直线A。与y轴交于点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,Q为

顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.

【解析】解：(1)将(-1.0),(0,3)代入y=-x?+bx+c,得：

—1—b+c=0,c=3,解得：b=2,c=3,

即抛物线的解析式为：y=-x?+2x+3.

(2)由y=-X2+2X+3知,点M(l,4),

分两种情况讨论，

①当四边形MAPQ是矩形时，过M作MHLx轴于H,则MH=4,AH=2,

易证得：ZAPO=ZMAH,

.\tanZAPO=tanZMAH,

OAMH、

H即n——=----=2,

OPAH

：.0P=-9

2

即P(0,——),

2

由4-1,0)、M(l,4),P(0,-L)得：点Q坐标为(2,-),

22

・・,点7■和点Q关于AM所在直线对称，

即点Q与点7■关于点例(1，4)对称，

9

A7(0,-)；

2

②当四边形AMPQ是矩形时，

Q1

综上所述，点T的坐标为(0,-),(0,-一).

22

9.(2020焦作)如图，在平面直角坐标系中，一次函数"=*+6的图象经过点4-2,0),与反比例函数>

x

(x>0)的图象交于点B(a,4).

(1)求一次函数和反比例函数的表达式；

k

(2)设M是直线48上一点，过M作/VW〃x轴，交反比例函数y=—(x>0)的图象于点N,若以4,

X

。，M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的横坐标.

【解析】解：⑴将4-2,0)代入y=x+b,得：b=2,

即一次函数的解析式为：y=x+2,

将B(a,4)代入y=x+2,得:a=2,

即8(2,4),

将8(2,4)代入y=与得：x=8,

X

Q

即反比例函数的解析式为：y=—.

x

8

(2)设m+2),则A/(--------,m+2),

777+2

由题意知，MN//OA,则需MN=04=2时，以4,O,M,/V为顶点的四边形是平行四边形,

m----------=2,

"2+2

解得：2A/^—2或m=-2^/5—2(舍)或m=2G或m二一2\/3(舍)，

.•.点M的坐标为：(2>/2-2,2贝)或(24，28+2).

4.

10.(2020许昌)如图1,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),8(-1,0)两点，与y

3

轴交于点C.

(1)求该二次函数的解析式；

(2)设该抛物线的顶点为D,求AACD的面积(请在图1中探索)；

(3)若点P,Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动，其中一点到

达端点时，另一点也随之停止运动，当P,Q运动到t秒时，AAPQ沿PQ所在的直线翻折，点A恰好落在

4

—x9+30+c=0,8

ab=—

/.\，解得：3,

4

—xl—。+c=0c=-4

3

即抛物线的解析式为：片九2-»x-4；

33

(2)过点。作DM_Ly轴于点M,

4,•,、216

=—(X-1)--，

33

・,•点D(1,-3)、点C(0,-4),

3

s&ACD=5梯形AOMD~CDM~AOC

1,…、161/16A、，1一

=-x(1+3)x---x(--4)xl--x3x4

23232

=4；

(3)四边形4PEQ为菱形，理由如下：

E点关于PQ与4点对称，过点Q作QF,4P于F,

•：AP=AQ=tf

：.AP=AQ=QE=EP1

・♦・四边形AQEP为菱形，

VFQ//OC,

.AFFQAQ

^~OA~~OC~~ACy

.AFFQt

"3"一"TV

343

・・AF——11FQ二—trQ(3-—t

555

4.R

,:E在二次函数y=—x2--x-4上，

33

—(3』)2二(3』)-4,

53535

."=受或t=0(舍去)，

64

-e).

816

11.(2020新乡)如图，一次函数y=-；x+2分别交V、x轴于4、B两点，抛物线y=-x2+fec+c过A,

B两点.

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)作垂直于x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于M,交这个抛物线于N.求当t取何值时,

MN有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的情况下，以A,M、N、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点。的坐标.

【解析】解：(1)在y=—gx+2得，当x=0时，y=2；y=0时，x=4>

即A(0,2),B(4,0),

把A(0,2),8(4,0)代入y=-x2+bx+c,得:

bJ

c=2,解得.

2.

T6+4/?+c=0

c=2

抛物线解析式为y=-丁+gx+2.

17

(2)由题意知,M(t,--r+2),N(t,-r+-t+2),

22

7i

：.MN=-t2+-r+2-(——r+2)

22

=-("2y+4,

.•.当t=2时,MN有最大值4.

(3)根据平行四边形的性质，得：。点坐标为：(0,6),(0,-2)或(4,4).

12.(2020周口)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于4-1,0),8(4,0)两点，

与y轴交于点C.

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)设E是该抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F,过

点E作EHLx轴于点再过点F作FGJ_x轴于点G,得到矩形EFGH.在点E的运动过程中，当矩形EFG”

为正方形时，直接写出该正方形的边长.

【解析】解：(1);抛物线丫=£/+队+4与x轴交于4-1,0),8(4,0)两点,

.J〃-。+4=0

・・16〃+4/?+4=0'

解得：匕=1,

即抛物线的解析式为：y=-x2+3x+4.

(2)四边形EFGH是矩形，

当EF=EH时，四边形EFGH是正方形,

3

设E(m,—m2+3m+4),则F(3—m,—m2+3m+4),m>—,

2

；.EF=2m-3,fH=|-m2+3m+4|,

.'•2m—3=|—m2+3m+4|>

5+V29-5—5/29,仝、f1+V29-1—5/29，仝、

解得：m=-------或m=------------(舍)或m=--------------或m=------------(舍)

2222

,正方形的边长£F=2+J沟或岳一2,

综上所述，正方形EFGH的边长为：2+标或牺一2.

13.(2020郑州)如图所示，平面直角坐标系中直线y=x+l交坐标轴于点4。两点，抛物线y=ax2+bx

-3经过A、C两点，点C坐标为(。，5).点M为直线AC上一点，过点M作x轴的垂线，垂足为F,交

抛物线于点N.

(1)求抛物线解析式；

(2)是否存在点M,使得以点D、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点M的坐标，

如果没有，请说明理由.

【解析】解：•••直线y=x+l交坐标轴于点A、D两点,

A4(-1,0),D(0,1),

:点C(a,5)在直线y=x+l上，

/.o=4,即C(4,5),

将4—1,0),C(4,5)代入y=ax，bx—3得：

a-b-3=0fa=l

,解得：<，

\6a+4b-3=5[b=-2

抛物线的解析式为：y=x2-2x-3.

(2)存在，

E(0,-3),；.DE=4,

由题意知：DE〃/WN,

...当DE=MN=4时，四边形DENM是平行四边形，

设N(m,m?—2m—3),则m+1),

|m+1-(m2—2m—3)|=4,

3-V4I

解得：m-0(舍)或m-3或m=3+或m_

22

5+V413-15-y/4l

综上所述，点M的坐标为：(3,4),(“，----------),\-----------,-----------)

2222

14.(2020郑州)如图，已知二次函数丫=双2_(2〃-:卜+3的图象经过点44,0),与，轴交于点8,在

x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4),过点C作x轴的垂线交直线AB于点E,交该二次函数图象于点D.

(1)求。的值和直线48的解析式；

(2)过点。作DFJ_A8于点F,设AACE,△DEF的面积分别为S1，S2,若5产452，求m的值；

(3)点H是该二次函数图象上第一象限内的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行

四边形，且平行四边形OEGH的周长取最大值时，求点G的坐标.

or?-（2a-（卜+3得:3

【解析】解：（1）将44,0）代入y=Q———

4

・••抛物线的解析式为：^