初三培优班教材

模块一函数的实际应用

一、一次函数的实际应用

1.2013年4月四川发生7.0级地震，为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨、100

吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的。、£两县.根据灾区的情况，这批赈灾物资运往。县的数量比运往E县

的数量的2倍少20吨.

（1）求这批赈灾物资运往力、E两县的数量各是多少？

（2）若要求C地运往。县的赈灾物资为60吨，A地运往。县的赈灾物资为x吨（尤为整数），B地运往。县的

赈灾物资数量小于A地运往。县的赈灾物资数量的2倍.其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾

物资数量不超过25吨.则A、8两地的赈灾物资运往。、E两县的方案有几种？

（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往。、E两县的费用如下表：

A地B地(:地

运往D县的费用（元/吨）220200200

运往E县的费用（元/吨）250220210

为及时将这批赈灾物资运往。、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在第（2）问的要求下，该

公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

2.抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功

能的A、B两仓库.已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨.从甲、

乙两库到A、B两库的路程和运费如下表：（表中“元/吨•千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）

路程（千米）运费（元/吨•千米）

甲库乙库甲库乙库

20151212

2520108

（1）若甲库运往A库粮食x吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨）的函数关系式;

（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？

3.A城有某种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C,D两乡，调运任务承包给某运输公司.已

知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C,D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，

从B城往C,D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台.

（1）设A城运往C乡该农机x台，运送全部农机的总费用为W元，求W关于x的函数关系式，并写出自变量x

的取值范围；

（2）现该运输公司要求运送全部农机的总费用不低于16460元，则有多少种不同的调运方案？将这些方案设计出

来；

（3）现该运输公司决定对A城运往C乡的农机，从运输费中每台减免a元作为优惠，其它费用不变，如何调运，

使总费用最少？

4.某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店,

30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：

空调机电冰箱

甲连锁店200170

乙连锁店160150

设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）.

（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；

（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调

机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？

5.某校校园超市老板到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，乙品牌的进货单价是甲品牌进货单价的2倍，考虑

各种因素，预计购进乙品牌文具盒的数量y（个）与甲品牌文具盒的数量x（个）之间的函数关系如图所示.当购

进的甲、乙品牌的文具盒中，甲有120个时，购进甲、乙品牌文具盒共需7200元.

（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；

（2）求甲、乙两种品牌的文具盒进货单价；

（3）若该超市每销售1个甲种品牌的文具盒可获利4元，每销售1个乙种品牌的文具盒可获利9元，根据学生需

求，超市老板决定，准备用不超过6300元购进甲、乙两种品牌的文具盒，且这两种品牌的文具盒全部售出后获利

不低于1795元，问该超市有几种进货方案？哪种方案能使获利最大？最大获利为多少元？

6.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年2月份A款汽车的售价比去

年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元.

（1）今年2月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每

辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，请问有哪几种进货

方案？

（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，在（2）的条件下，哪种方案可使公司获利最大？最大利润是多少？

二、二次函数的实际应用（利润问题）

1.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销.据市场调查，销售单价是

100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本.

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什

么范围内？（每天的总成本=每件的成本X每天的销售量）

2.某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元，根

据以往销售经验发现：当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒.

（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元，如果超市想要每天获得不低于2000

元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？

3.为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业

生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.张刚按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.己知

这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价X（元）之间的关系近似

满足一次函数：y=-10x4-500.

（1）张刚在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设张刚获得的利润为W（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果张刚想要每月获得的利润不低于3000元，那么政

府为他承担的总差价最少为多少元？

4.某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价/（元/台）与采购数量匹（台）满足

%=-20%+1500（0<x,<20,』为整数）；冰箱的采购单价当（元/台）与采购数量乙（台）满足

超为整数）.

y2=-10X2+1300（0<X2<20,

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的U,且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有

9

几种进货方案？

（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完.在（1）的条件下，问采购

空调多少台时总利润最大？并求最大利润.

5.某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元.已知绿茶每千克成本50元，经研究发现销量w（kg）随

销售单价X（元/kg）的变化而变化，具体变化规律如下表所示:

销售单价X（元/kg）......7075808590......

月销售量w（kg）......10090807060......

设该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价X销售量一成本）

（1）请根据上表，写出w与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？

（3）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得

高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700,那么第二个月时里应该确定销售单价为多

少元？

6.我市高新技术开发区的某公司，用480万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金1520万元购买生产

设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调查发现：该产品的销售单价，需

定在200元到300元之间较为合理，销售单价x元与年销售量y万件之间的变化可近似的看作是如下表所反映的一

次函数：

销售单价X（元）200230250

年销售量y（万件）1075

（1）请求出y与x间的函数关系式；并直接写出自变量x的取值范围；

（2）请说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若赢利，最大利润是多少?若亏损，最少亏损多少？

（3）在（2）的前提下，即在第一年盈利最大或亏损最小时，第二年公司重新确定产品售价，能否使两年共盈利达

1790万元，若能，求出第二年的产品售价；若不能，请说明理由.

7.某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为30（）0元，在该产品的试销

期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元

销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价

均不低于2600元.

（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？

（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写

出自变量x的取值范围；

（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，

公司所获得的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单

价调整为多少元？（其它销售条件不变）

8.某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销.购进价格为10元/件，若售价为12元/件,

则可全部售出；若每涨价0.1元，销售量就减少2件.

（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？

（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%,该店主增加了进货量，并加强了宣传力度,

结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%,但售价比9月份在（1）的条件下的最

2

高售价减少一机％,结果10月份利润达到3388元，求m的值（m>10）.

9.经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度

达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千

米/小时，研究表明：当20WXW220时，车流速度v是车流密度x的一次函数.

（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；

（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在

什么范围内？

（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量=车流速度x车流密度，求大桥上车

流量y的最大值.

10.受中日钓鱼岛事件的影响，在钓鱼岛被“国有化”的2012年9月份，某日本品牌食用油价格开始回落，食用

油批发商批发这种品牌的食用油，每桶在9月份前四周每周的平均销售价格变化如下表：

周数X1234

价格以（元/桶）60595857

进入10月份后，由于受中日关系趋于缓和等因素的影响，食用油的价格开始回升，该品牌食用油销售价格为（元/

桶）从10月份第1周的54元/桶，上升至第2周的57元/桶，且销售价格当（元/桶）与周数x（X为整数）的变化

1,

=x

情况满足二次函数：y2~~^+bx+c.

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出9月份必与x的函

数关系式；并求出10月份内与x的函数关系式；

（2）若9月份该品牌的食用油进价町（元/桶）与周数x满足函数关系为：班=；尤2-3x+50,10月份该品牌的

781

食用油进价加，（元/桶）与周数X满足函数关系为：,机，=一%+一，试问在9月份和10月份中，哪月的哪一周销

•"22

售一桶该品牌的食用油利润最大？最大利润是多少？

（3）在第（2）问的条件下，该批发商在10月份的第2周以该周的进价购入该品牌食用油1200桶，准备在10月

份第3周进行销售.在第3周以该周的销售价销售了a%后，为了加快销售的进度，该批发商决定在原销售价格的

基础上每桶降价4元进行销售，这样顺.利的完成了第三周销售1200桶的任务，且获利12000元，算出a的值.

三、分段函数的实际应用

1.在“习近平新时代”精神的指引下，长沙市某企业积极响应政府“创新发展''的号召，研发了一种新产品.已知研发、

生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）关于售价x（元/件）的函数解析式为：

-2x+140(40<x<60)

—x+80(60<x<70)

（1）若企业销售该产品获得的年利润为W（万元），请直接写出年利润W（万元）关于售价x（元/件）的函数解析式;

（2）当该产品的售价x（元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？

（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围.

2.荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单

价P（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：

L+16（lW40,t为整数）

4

'=1

——r+46（41W80/为整数）

、2

日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示:

（1）求日销售量y与时间t的函数关系式？

（2）哪一天的日销售利润最大?最大利润是多少？

（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？

（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m<7）元给村里的特困户.在这前

40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.

3.某大学生利用业余时间参与了一家网店经营，销售一种成本为30元/件的文化衫，根据以往的销售经验，他整理

出这种文化衫的售价3（元/件），销量为（件）与第x（1<%<90）天的函数图象分别如图1、图2所示.（销

售利润=(售价-成本)X销量)

(1)求口与力的函数表达式；

(2)求每天的销售利润w与x的函数关系表达式；

(3)销售这种文化衫的第多少天，每天销售利润最大，最大利润是多少？

4.东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg,经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)

T+30（lW24J为整数）,

4

与时间t（天）之间的函数关系式为，=<,且其日销售量y（kg）与时间t（天）

-$+48（254/48/为整数）,

的关系如表:

时间t（天）136102040

日销售量y（kg）1181141081008040

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？

（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n<9）给“精准扶贫”对象.现发现：在

前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围.

5.某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按时完成任务,

该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系式：

’54x（04x45）

V="{,

-30x+120（5<x<15）

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的

利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大值是多少元？（利润=出厂价-成本）

（3）设（2）小题中第m天利润达到最大值，若要使第（m+1）天的利润比第m天的利润至少多48元，则第（m+1）

天每只粽子至少应提价几元？

P/G6/只）

o915v天

6.为了扶持大学生自主创业,市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电

子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款.已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资

为2500元，公司每月需支付其它费用15万元,该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如

图所示.

（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额-生产成本-员工工资-其它费用），该

公司可安排员工多少人？

（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？

406080x（7L）

7.在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的

生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工.已知生产这种产品的成本价为每件20元.经

过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单

'40-x(25<x<30)

价（元）之间的函数关系式为:

x'25-0.5x(30<x<35)

（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）

（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？

（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是

盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？

（3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部

分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款.若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，

到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围.

四、反比例函数的实际应用

1.小万利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关

信息如下表所示.

销售量P（件）P=50-x

当时，q=30+—X；

2

销售单价q（元/件）

525

当214X<40时，q=20+------

X

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式；

（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大?最大利润是多少？

2.月电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入

生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售

价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这

种电子产品的年利润为Z（万元）.（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润;若上一年亏损，则亏损计

（1）请求出y（万）与X（元/件）之间的函数关系式；

（2）求出第一年这种电子产品的年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值;

（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润z（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况,

决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x>8）,当第二年的年利润不低于103万元时,

请结合年利润z（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围.

模块二圆

一、与圆的切线有关的计算与证明

1.如图，AABC内接于。0,AB是直径，00的切线PC交BA的延长线于点P,OFIIBC交AC于点E,交PC于点

F,连接AF.

(1)判断AF与。。的位置关系并说明理由;

(2)若。。的半径为4,AF=3,求AC的长.

2.已知如图，以内△ABC的AC边为直径作00交斜边AB于点E,连接E0并延长交BC的延长线于点D,点F为

BC的中点，连接EF.

(1)求证：EF是。0的切线；

(2)若。。的半径为3,ZEAC=60,求AD的长.

C

3.如图，AB是。。的直径，点F,C是。。上两点，且AR=FC=CB,连接AC,

AF,过点C作CDLAF交AF延长线于点D,垂足为D.

(1)求证：CD是。。的切线;

(2)若CD=2，L求。。的半径.

4.如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D,E,且

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)已知半圆的半径为5,BC=12,求AD的长.

5.如图所示，MN是。。的切线，B为切点，BC是。。的弦且NCBN=45‘，过C的直线与。0,MN分别交于A,D

两点，过C作CEJLBD于点E.

(1)求证：CE是。0的切线；

(2)若ND=30'，BD=2+2若，求。0的半径r.

nN

6.如图，在RtZ^ABC中，ZB=90,NBAC的平分线交BC于点D,E为AB上的一点，DE=DC,以D为圆心，DB

长为半径作。D,AB=5,EB=3.

(1)求证：AC是。D的切线;

(2)求线段AC的长.

7.如图，AB是。。的直径，AM,BN分别切于点A,B,CD交AM,BN于点D,C,DO平分NADC.

(1)求证：CD是。0的切线：

(2)若AD=4,BC=9,求OD的长.

R

8.如图，已知BC是。。的直径，点A,D在。。上，ZB=2ZCAD,在BC的延长线上有一点P,使得NP=NACB,

弦AD交直径BC与点E.

(1)求证：DP与。0相切；

(2)判断AOCE的形状，并证明你的结论；

(3)若CE=2,DE=5,求线段BC的长度.

9.如图，AH是。。的直径，AE平分NFAH,交。。于点E,过点E的直线FG1.AF,垂足为F,B为半径0H上一点,

点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上.

(1)求证：直线FG是。。的切线；

(2)若CD=10,EB=5,求。。的直径.

10.如图，在心△ABC中，NC=9O,BD是角平分线，点。在AB上，以点。为圆心，OB为半径的圆经过点D,

交BC于点E.

(1)求证：AC是。O的切线；

(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.

11.如图，在直角坐标系中，G)M经过原点0(0,0),点A(J80)与点8(0,-痣)，点D在劣弧。4上，连接BD

交x轴于点C,且/C0D=/CB0.

(1)求。M的半径；

(2)求证：BD平分/ABO；

(3)在线段BD的延长线上找一点E,使得直线AE恰好为OM的切线，求此时点E的坐标.

12.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90,以AC为直径作。0,交AB边于点D,过点。作0E〃AB,交BC边于点E.

(1)试判断ED与。0位置关系，并给出证明;

3

(2)如果。0的半径为一，ED=2,求AB的长.

2

13.如图，AB是。。的直径，M是线段0A上一点，过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点E,直线CF

交EN于点F,且NECF=/E.

(1)求证：CF是。。的切线；

(2)设00的半径为1,且AC=CE=g,求AM的长.E

14.如图，。。为4ABD的外接圆,E为4ABD的内心,DE的延长线交。。于C.

(1)如图1,求证：CE=AC；

(2)如图2,AB为。0的直径,AB=1O,AD=8.

①求SAX/"：；

AE

②求在的值.

15.如图，。。中，直径CD_L弦AB于E,AMJ_BC于M,交CD于N,连AD.

(1)求证：AD=AN；

(2)若AB=4j^,ON=1,求。。的半径.

二、与圆有关的弧长与面积计算

1.如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的。0分别与BC,AC交于点D,E,过点

D作。0的切线DF,交AC于点F.

(1)求证：DFXAC;

C

(2)若。。的半径为4,NCDF=22.5,求阴影部分的面积.

2.如图，在内△ABC中，ZC=90,NBAC的角平分线AD交BC边于D.以AB上某一点。为圆心作00,使。。

经过点A和点D.

(1)判断直线BC与O0的位置关系，并说明理由；

(2)若AC=3,ZB=30°.

①求。。的半径；

②设。。与AB边的另一个交点为E,求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积.(结果保留根号和

71)

3.如图，AB是。。的直径，延长弦BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE_LAC,垂足为E.

(1)判断直线DE与。。的位置关系，并证明你的结论；

(2)若OO的半径为6,NBAC=60,延长ED交AB延长线于点F,求阴影部分的面积.

4.如图，AB与。。相切于点C,OA,OB分别交。。于点D,E,CD=CE.

(1)求证：OA=OB；

(2)已知AB=4百，0A=4,求阴影部分的面积.

5.如图，AA6C中，以AB为直径的。。交AC于点D,NDBC=NBAC.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若。。的半径为2,ABAC=3Q,求图中阴影部分的面积.

6.如图，以等边三角形ABC一边AB为直径的0。与边AC、BC分别交于点D、E,过点D作DF_LBC,垂足为F.

(1)求证：DF为。的切线；

(2)若等边三角形ABC的边长为4,求DF的长;

(3)求图中阴影部分的面积.

三、与圆有关的相似三角形的证明与计算

1.如图，四边形ABCD内接于对角线AC为。。的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE

的中点，连接DB,DC,DF.

(1)求NCDE的度数；

(2)求证：DF是。。的切线；

(3)若AC=2正DE,求且2的值.

AD

R

2.如图，△ABC是。。的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D,E是BD中点，连接CE.

(1)求证：CE是。0的切线；

(2)若AC=4,BC=2,求BD和CE的长.

3.如图，在平面直角坐标系中，OP经过x轴上一点C,与y轴分别相交

于A、B两点，连接AP并延长分别交。P,x轴于点D,点E,连接DC并

延长交y轴于点F,若点F的坐标为(0,1),点D的坐标为(6,-1).

(1)求证：DC=FC；

(2)判断OP与x轴的位置关系，并说明理由：

(3)求直线AD的解析式.

4.如图，。。是RtZXABC的外接圆，ZABC=90,点P是。。外一点，PA切。。于点A,且PA=PB.

(1)求证：PB是。0的切线；

(2)已知PA=2，^,BC=2,求。0的半径.

5.如图，在RtZ\ABC中，ZABC=90-,D是AC的中点，。。经过A、B、D三点，CB的

延长线交。。于点E,F为AC延长线上一点，且NF=/BAC.

(1)求证：EF为。0的切线；

(2)若CD=CF=2,求sin/CAB的值.

B

6.如图，AB是。。的直径，点P在AB的延长线上,弦CE交AB于点D.连接OE、AC,且NP=NE,

ZP0E=2ZCAB.

(1)求证：CE1AB；

(2)求证:PC是。。的切线；

(3)若BD=20D,PB=9,求。。的半径.

7.如图，在。O中，AB为直径，C为弧AB的中点,弦CD与OB交于点F,在AB的延长线上有点E,且EF=ED

(1)求NADC的度数；

(2)求证：DE是。0的切线；

D

(3)连接BD,若OF：OB=1：3,。。的半径R=3,求——的值.

ADC

8.如图，己知点E在AABC的边AB上，ZC=90,NBAC的平分线交BC于点D,且D在以AE为直径的。O

上.

(1)证明：BC是。0的切线；

(2)若DC=4,AC=6,求圆心0到AD的距离；

9.如图，AB是。O的直径，点C是。。上一点，AD_LDC于D,且AC平分NDAB,延长DC交AB的延长线于点P,

弦CE平分NACB,交AB于点F,连接BE.

(1)求证：PD是。0的切线;

（2）若4c=9,BE=l41,求线段PC的长.

BC3

E

10.已知AB是。。的直径，P是AB延长线上一点，PC切于C,CD_LAB交。。于另一点D,连接PD.

(1)求证：PD是。。的切线；

(2)若PD=3,PB=1,求。。的半径.

11.如图，已知。0是△ABC的外接圆，AD是00的直径，且BD=BC,延长AD到E,且有NEBD=NCAB.

(1)求证：BE是。。的切线；

(2)若BC=JLAC=5,求圆的直径AD及切线BE的长.

0E

12.如图，AB是。。的直径，。。_1_弦设于点F,交。。于点E,连结CE、AE、CD,若NAEC=NODC.

(1)求证：直线CD为。。的切线；

(2)若AB=5,BC=4,求线段CD的长.

13.如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径作OO,交BC于点D,交CA的延长线于点E,连接AD、DE.

(1)求证：D是BC的中点；

(2)若DE=3,BD-AD=2,求。。的半径;

(3)在(2)的条件下，求弦AE的长.

BrDC

14.如图，直线EF交。。于A、B两点，AC是。。直径，AD平分NCAE交。。于点D,且DE_LEF,垂足为E.

(1)求证：DE是。0的切线；

(2)若DE=4cm,AE=2cm,求。。的半径.

15.如图，在△ABC中，ZC=90,NBAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE1.AD交AB于点E,以AE为直

径作。。.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若AC=3,BC=4,求BE的长.

16.如图，AB是。0的直径，点D事AE上一点，且/BDE=NCBE,BD与AE交于点F.

(1)求证：BC是。。的切线；

(2)若BD平分NABE,求证：DE?=DF.DB；

(3)在(2)的条件下，延长ED,BA交于点P,若PA=AO,DE=3,求。0的半径.

17.如图，AB是。。的直径，C、G是。。上两点，且AC=CG,过点C的直线CD_LBG于点D,交BA的延长线于点

E,连接BC,交0D于点F.

(1)求证：CD是。。的切线；

若"=2,求NE的度数;

FD3

(3)连接AD,在(2)的条件下，若CD=VL求AD的长.

18.如图，AABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN,若/MAC=NABC.

(1)求证：MN是半圆的切线；

(2)设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G,过点D作DE_LAB于E,交AC于F.求证：FD=FG；

(3)在(2)的条件下，若ADFG的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求A5CG的面积.

19.如图所示，AB是。。的直径，OC_LAB,弦CD与OB交于点F,过圆心。作0G1IBD,交过点A所作的切

线于点G,连结GD并延长与AB的延长线交于点E.

(1)求证：GD是。。的切线；

(2)试判断ADEF的形状，并说明理由；

(3)若OF:OB=1:3,的半径为3,求AG的长.

20.如图，在A46C中，AB=AC,以AC为直径的。。交8C于点D,交AB与点E,过点D作。垂

足为F,连接OE.

(1)求证：直线。尸与。。相切；

(2)若AE=7,BC=6,求AC的长.

21.如图，已知AB是。0的直径，点C在。。上，过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,ZCOB=2ZPCB.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)求证：BC=-AB；

2

(3)点M是AB的中点，CM交AB于点N,若AB=4,求的值.

\f

四、圆和相似、锐角三角函数

1.如图，D为。0上一点，点C在直径BA的延长线上，NCDA=NCBD.

(1)求证：CD是。0的切线；

2

(2)过点B作。0的切线交CD的延长线于点E,若3C=6,tanNCD4=-,求BE的长.

3

2.如图，已知AB是。0的直径，点P在BA的延长线上，PD切。于点D,过点B作BE垂直于PD,交PD的延长线

于点C,连接AD并延长，交BE于点E.

(1)求证：AB=BE；

3

(2)若PA=2,COSB=-,求半径的长.

5r

3.如图，AA6C中，AB=AC,点D为BC上一点，且AD=DC,过A,B,D三点作。0,AE是。。的直径，连结DE.

(1)求证：AC是。。的切线；

4

(2)若sin/C=—，AC=6,求。。的直径.

4.如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC=10,AB=12,以BC为直径作。。交AB于点D,交AC于点G,DF1AC,垂

足为F,交CB的延长线于点E.

(1)求证：直线EF是。。的切线；

(2)求cosE的值.

5.如图1,AB为半圆的直径，。为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D,AB的延长线交直

线CD于点E.

(1)求证：AC平分NDAB；

(2)若AB=4,B为0E的中点，CF±AB,垂足为点F,求CF的长；

(3)如图2,连接0D交AC于点G,若一=一，求sin/E的值.

GA4

6.如图，AABC内接于。0,AB为直径，NCBA的平分线交AC于点F,交。O于点D,DELAB于点E,且交

AC于点P,连接AD.

(1)求证：ZDAC=ZDBA；

(2)求证：P是线段AF的中点；

12

(3)若。。的半径为5,AF=y,求tan/ABF的值.

7.如图，以AABC的边AB为直径的。O与边